文档内容
专题06 一元二次方程48道压轴题型专训（8大题型）
【题型目录】
题型一 配方法的应用压轴题
题型二 根的判别式压轴题
题型三 根据一元二次方程根的情况求参数压轴题
题型四 换元法解一元二次方程压轴题
题型五 一元二次方程根与系数的关系压轴题
题型六 营销问题压轴题
题型七 与图形有关的问题压轴题
题型八 动态几何压轴题
【经典例题一 配方法的应用压轴题】
1．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）一元二次方程 （a，b，c为常数，且 ）的两个根
分别为 则下列命题判断正确的是（ ）
①若 ，则 也是方程 的一个根．
②若x 也为方程 和方程 的一个根，则 一定为零．
2
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确
C．①②都错误 D．①②都正确
2．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）新定义：关于 的一元二次方程 与
称为“同族二次方程”．例如： 与 是“同族二次方程”，现有关于 的一元
二次方程 与 是“同族二次方程”，则代数式的 最小值
是 ．
3．（2024八年级下·浙江·专题练习）用配方法说明，无论 取何值，代数式 的值总小于0．4．（23-24八年级下·广东佛山·期中）学习了公式法 后，老师向同学们提出了如下问
题：
①将多项式 因式分解：
①
②求多项式 的最小值．
②由①，得 ，因为 ，所以 ．所以，当 时，
的值最小，且最小值为 ．
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式 因式分解；
(2)求多项式 的最小值：
5．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）教科书中这样写道：“形如 的式子称为完全平方式”，
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，
再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，
不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、
最小值等问题．
例如：分解因式： ．
解：原式
再如：求代数式 的最小值．
解： ，当 时， 有最小值，最小值是 ．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式： （应用配方法）
(2)当 为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值．
(3)利用配方法，尝试求出等式 中 ， 的值．
6．（23-24八年级下·福建福州·期中）阅读与思考：
【阅读材料】我们把多项式 及 叫做完全平方公式．如果一个多项式不是完全平方
公式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项．使整个式子
的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，可以求代数式的最大值或最
小值．
例如：求代数式 的最小值．
，可知当 时， 有最小值，最小值是 ．
再例如：求代数式 的最大值．
，可知当 时， 有最大值．最大值是 ．
(1)求 的最小值为_____， 的最小值为_____；
(2)若多项式 ，试求M的最小值；
(3)如图，学校打算用长 米的篱笆围一个长方形的菜地，菜地的一面靠墙(墙足够长)，求围成的菜地的最
大面积．【经典例题二 根的判别式压轴题】
1．（2021·安徽亳州·模拟预测）若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况
是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．有两个实数根
2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）若关于x的方程 无解，则m的取值
范围是 ．
3．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)若该一元二次方程有实数解，求 的取值范围；并试从 ， ， 三个数中，选取一个数作为 的
值，求该方程的解；
(2)当 时，原方程有一根为 ，求 的值．
4．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段练习）已知关于 的方程 ．
(1)求证：无论 取何值，方程总有实数根；
(2)若方程的根为整数，求 的值．
5．（2021九年级·浙江·专题练习）已知关于x的方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若此方程有两个整数根，求正整数k的值；
（3）若一元二次方程（k+1）x2+（3k﹣1）x+2k﹣2＝0满足|x﹣x|＝3，求k的值．
1 26．（23-24九年级上·江苏镇江·阶段练习）已知：关于 的一元二次方程 （ 是
整数，且 ）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是正整数，则 ；此时方程的两个根是 ．
【经典例题三 根据一元二次方程根的情况求参数压轴题】
1．（23-24九年级上·重庆合川·期末）已知等腰 的底边长为5．其腰长恰好是方程
的根，则m的值是（ ）
A．2 B．4 C．1 D．3
2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）定义：如果一元二次方程 满足 ，
那么我们称这个方程为“蝴蝶”方程．已知关于x的方程 是“蝴蝶”方程，且有两个
相等的实数根，则下列结论中正确的是 ．（填序号）
① ；② ；③ ；④ ．
3．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）我们规定：对于任意实数 有 ，其中
等式右边是通常的乘法和减法运算，如： ．
(1)求 的值；
(2)已知关于 的方程 有两个实数根，求 的取值范围．4．（23-24九年级上·福建厦门·期中）定义：如果一元二次方程 满足 ．那
么我们称这个方程为“凤凰”方程．
(1)已知 是“凤凰”方程．且有两个相等的实数根．试求a与c的关系；
(2)已知关于x的方程 是“凤凰”方程，且两个实数根都是整数．求整数m的值．
5．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）“主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字
母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以达把一些陌生的代数式或方程转化为我们熟悉的
代数式或方程．例如：当 时，方程 可以看作关于x的一元二次方程．若把a看成“主
元”，x看作常数，则可以把原方程化为： ，这就是一个关于a的一元一次方程了．
(1)已知 ，对于方程 ，若把x看成“主元”，a看成常数，则方程 是关于
x的______；若把a看成“主元”，x看作常数，则可以把原方程化为： ，这就是一个关于
a的______．（在横线上填写“A”或“B”）
A．一元一次方程 B．一元二次方程
(2)若 ，求 的值；(3)关于x，y的方程 有解，求y的最小值．
6．（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：不论k取何值，方程总有实数根；
(2)已知方程的两根为 ， ，且满足 ，求 的值；
(3)已知方程的两根为 ， （ 目 ），设 ，求y的最小值．
【经典例题四 换元法解一元二次方程压轴题】
1．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）若关于x的一元二次方程 有一根为 ，
则一元二次方程 必有一根为（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
2．（2022·四川泸州·一模）请阅读下列材料：
解方程：（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0．
解法如下：
将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，
原方程可化为y2﹣5y+4＝0，
解得y＝1，y＝4．
1 2
（1）当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝± ；
（2）当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝± ．综合（1）（2），可得原方程的解为x＝ ，x＝﹣ ，x＝ ，x＝﹣ ．
1 2 3 4
参照以上解法，方程x4﹣x2﹣6＝0的解为 ．
3．（23-24九年级上·广东深圳·阶段练习）阅读下列材料：
解方程： ．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 ①，
解这个方程得： ， ．
当 时， ．∴ ；当 时， ，∴
以原方程有四个根： ， ， ， ．
这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)用换元法解方程：
(2) 三边是 ， ， ，若两直角边 ， 满足 ，斜边 ，求
的面积．
4．（22-23九年级上·山西运城·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
要解方程 ，我们发现这是一个一元四次方程，不容易直接求解，如果注意到 ，根
据该方程的特点，我们可以这样做：
解：设 ，
那么 ，于是原方程可变为 ，
解得 ， ．
当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
∴原方程有四个根 ， ， ， ．
我们把以上这种解决问题的方法叫做换元法．
任务：
(1)上述解方程的过程体现的数学思想主要是（ ）
A．分类讨论思想 B．转化思想 C．数形结合思想 D．公理化思想
(2)仿照上面的方法，解方程 ；
(3)若实数m、n满足 ，则 的值是 ．
5．（23-24八年级下·江苏南通·阶段练习）阅读下列材料：
解方程： ．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，
它的解法通常是：
设 ，那么 ，于是原方程可变为 …①，
解这个方程得： ．
当 时， ．∴ ；
当 时， ，∴所以原方程有四个根： ．
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
(1)解方程 时，若设 ，则原方程可转化为 ；并求出x
(2)利用换元法解方程： ．
6．（22-23八年级下·安徽亳州·阶段练习）阅读材料，解答问题.
解方程： .
解：把 视为一个整体，设 ，则原方程可化为 ．
解得： ， ，
或 ，
， ．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解决下列问题：
(1)解方程 ；
(2)已知 ，求 的值.【经典例题五 一元二次方程根与系数的关系压轴题】
1．（23-24九年级上·湖北武汉·期中）已知 ， 是方程 的两根，则代数式
的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·四川·阶段练习）已知对于两个不相等的实数 、 ，定义一种新的运算：
，如 ，已知 ， 是一元二次方程 的两个不相等
的实数根，则 ．
3．（23-24九年级上·福建宁德·期中）已知关于x的方程 有两个实数根 ，其中
．
(1)若 ，求 的值；
(2)一次函数 的图像上有两点 ，若 ，求m的值；
(3)边长为整数的直角三角形，其中两直角边的长度恰好为 和 ，求该直角三角形的面积．
4．（23-24九年级上·全国·单元测试）如果方程 有两个实数根 ， ，那么 ，
，请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知 ， 是方程 的二根，则(2)已知 、 、 满足 ， ，求正数 的最小值．
(3)结合二元一次方程组的相关知识，解决问题：已知 和 是关于 ， 的方程组
的两个不相等的实数解．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，求出的 值，
若不存在，请说明理由．
5．（22-23九年级上·福建泉州·期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若 ，方程的两个实数根分别为 （其中 ），若y是m的函数，且 ，求这个函数
的解析式．
(3)若m为正整数，关于x的一元二次方程 的两个根都是整数，a与
分别是关于x的方程 的两个根．求代数式 的值．
6．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）已知方程①： 为关于x的方程，且方程①的解为
非正数；方程②： （k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程．(1)求k的取值范围；
(2)如果方程②的解为负整数， ， 且k为整数，求整数m的值；
(3)当方程②有两个实数根 ， 满足 ，且k为正整数，试判断
是否成立？并说明理由．
【经典例题六 营销问题压轴题】
31．（23-24八年级下·山东滨州·期末）某超市以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的
价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）
之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克干果降价3元时，超市获利多少元？
(3)若超市要想获利2090元，且让顾客获得更大实惠，这种干果每千克应降价多少元？
32．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐，预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游”套票的2倍．
(1)若“亲子两人游”套票的预售额为21000元，“家庭三人行”套票的预售额为10500元，且“亲子两人
游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“亲子两人游”套票的价格.
(2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票400张，由于预售的火爆，
景区决定将“亲子两人行”套票的价格（1）中价格的基础上增加 元，而“家庭三人行”套票在（1）
中“家庭三人行”套票票价上增加了a元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少32a套，“家庭三人
行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求a的值．
33．（23-24九年级下·重庆·开学考试）某零食店销售牛轧糖、雪花酥2种糖果，如果用800元可购买5千
克牛轧糖和4千克雪花酥，用1000元可购买10千克牛轧糖和2千克雪花酥．
(1)求牛轧糖、雪花酥每千克的价格分别为多少元？
(2)已知该零食店在12月共售出牛轧糖50千克、雪花酥30千克．春节将近，1月份超市将牛轧糖每千克的
售价提升 元，雪花酥的价格不变，结果与12月相比牛轧糖销量下降了 千克，雪花酥销量上升 千
克，但牛轧糖的销量仍高于雪花酥，销售总额比12月多出250元，求 的值．
34．（2021·重庆巴南·模拟预测）一时蔬小店某一天用150元购进了30斤平菇和20斤莴笋．销售时，每斤
平菇的平均售价比每斤莴笋的平均售价的2倍少1元，该小店销售完所进的平菇和莴笋后获利60元．
（1）这一天，该小店销售莴笋的平均售价是每斤多少元？
（2）接着第二天，该小店又用150元购进了30斤平菇和20斤莴笋，其中，平菇和莴笋的进价与第一天的进价相同．销售时受到一些因素的影响，每斤莴笋的平均售价比第一天的平均售价增加了 ，但
莴笋的销售量与第一天的销售量相同；每斤平菇的平均售价比第一天的平均售价增加了 ，但平菇的销
售量比第一天的销售量下降了 ，最终第二天的总销售额与第一天的总销售额相等，求a的值．
35．（2021·重庆九龙坡·一模）美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着
尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报……3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销
售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的 ．
（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？
（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）
中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份枯梗的销售额将比（1）
中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．
36．（23-24九年级上·重庆渝中·期末） 年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小
伟利用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜” 吨，利用网
络平台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为 元/千
克，水果商贩上门收购的价格为 元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每
销售 吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高 元/千克．设网上销售价格为 元/千克，本地自产自销
的价格仍然为 元/千克．
（1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的 ，
求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？
（2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为 万元，其中本地自产
自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？【经典例题七 与图形有关的问题压轴题】
1．（2023·江苏苏州·一模）如图，一块正方形地砖的图案是由4个全等的五边形和1个小正方形组成的，
已知小正方形的面积和五边形的面积相等，并且图中线段a的长度为 ，则这块地砖的面积为（ ）
A．50 B．40 C．30 D．20
2．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知四边形 ， ， 在 上，
三角形 是等边三角形，若 ， ，则 的长度等于 ．
3．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成（较小的
直角边长都为 ，较大的直角边长都为 ，斜边长都为 ），用它可以验证勾股定理：如果直角三角形两条
直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 ．(1)请你利用图1验证勾股定理；
(2)在图1中，大正方形的面积是49，小正方形的面积是4，求直角三角形的直角边长 的值；
(3)学完勾股定理后，已知一个的三角形的三边长，均可利用勾股定理求出其面积．如图2，在 中
， ， ，试求 的面积．
4．（2024·贵州遵义·一模）小红根据学习轴对称的经验，发现其中线段之间、角之间存在着紧密的联系．
他以等腰三角形为背景展开了拓展探究．如图①，在等腰直角三角形中， ， ，点D直线
右侧的一动点．作点 关于直线 的对称点为点 ，连接 ，直线 与直线 交于点 ，连接
， ．
(1)【动手操作】
当 时，根据题意，在图①上画出图形，
在不添加辅助线和字母的前提下直接写出两对你认为相等的角，
第一对相等的角：____________，第二对相等的角____________；
(2)【问题探究】
根据（1）所画图形，猜想 的大小以及 ， ， 的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图②，在等腰三角形中， ， ，其余条件不变，如图②，当 时，若
， ，请继续研究并求 的值．5．（23-24九年级上·福建三明·期中）综合与实践：阅读材料，并解决以下问题．
(1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关
于一元二次方程的几何解法：以 为例，求解过程如下：
①变形：将方程 变形为 ；
②构图：画四个长为 ，宽为 的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；
③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为 ，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正
方形面积之和，即 ，因此，可得新的一元二次方程 ，∵ 表
示边长，∴ ，即 ．
这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程 可以得到原方程的
另一个根是________．
(2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程 的一个正根（写出完整的求解过程，并在画
图区画出示意图、标明各边长）．
(3)拓展应用：一般地对于形如： 一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面
积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么 ________， ________，方程
的一个正根为________．6．（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为
一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，
把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生
增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想――转
化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因
式分解把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解．
(1)问题：方程 的解是______；
(2)拓展：用“转化”思想求方程 的解；
(3)应用：如图，已知矩形草坪 的长 ，宽 ，小华把一根长为10m的绳子的一端固定
在点B，沿草坪边沿 走到点P处，把长绳 段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿 走到
点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求 的长．【经典例题八 动态几何压轴题】
1．（2024九年级下·江苏·专题练习）如图，在 中， ， ， ，动点P从点
A开始沿边 向点B以 的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以 的速度移动，若
P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中， 的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁朝阳·一模）如图，菱形 中， ， 交于 ， ， ，动点 从
出发沿 方向以每秒 匀速直线运动到 ，动点 从 出发沿 方向以每秒 匀速直线运动到 ，
若 ， 同时出发，问出发后 s时， 的面积为菱形 面积的 ？
3．（23-24八年级下·山东烟台·期中）如图， 中， ， ， ．(1)如图1，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动（到达点 即停止运动），点 从 点开始
沿 边向点 以 的速度移动（到达点 即停止运动）．如果点 ， 分别从 ， 两点同时出发．
①经过多少秒钟， 的面积等于 ；
②线段 能否将 分成面积为 的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由；
(2)如图2，若 点沿射线 方向从 点出发以 的速度移动，点 沿射线 方向从 点出发以
的速度移动， ， 同时出发，直接写出几秒后， 的面积为 ．
4．（2024八年级下·上海·专题练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
，点 从 开始沿 边向 以每秒 的速度移动，点 从 开始沿 边向 以每秒 的
速度移动，如果点 、 分别从 、 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止．设运动时间为 秒．
(1)求证：当 时，四边形 是平行四边形；
(2) 是否可能平分对角线 ？若能，求出当 为何值时 平分 ；若不能，请说明理由；(3)若 是以 为腰的等腰三角形，求 的值．
5．（23-24九年级上·吉林延边·阶段练习）在 中， ， ，动点 从点 出
发，在线段 上以每秒 个单位长度的速度向点 运动，到达点 停止运动，设运动时间为 秒．
(1)求 的面积；
(2)如图①，过点 作 、交 于点 、若 与 的面积和是 的面积的 ，求 的值；
(3)如图②、点 在射线 上，且 ，以线段 为边向 上方作正方形 ．在运动过程中，
若设正方形 与 重叠部分的面积为 ，求 的值．
6．（23-24八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以每秒2个单位的速度沿着折线
先由A向D运动，再由D向C运动，点Q以每秒1个单位的速度由B向A运动，当其中一动点到达终点时，
另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．(1)两平行线 与 之间的距离是__________．
(2)当点P、Q与 的某两个顶点围成一个平行四边形时，求t的值．
(3)，以，为一组邻边构造平行四边形，若的面积为，求t的值．
