文档内容
押北京卷 8 题
圆锥曲线
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
抛物线的性质 2023·北京卷T6
可以预测 2024 年新 圆锥曲线以客观题进行考查，难度一般，纵
高考命题方向将继续 观近几年的试题，分别考查抛物线、椭圆与
椭圆的性质 2022·北京卷T8
以圆锥曲线展开命 双曲线等知识点，同时也是高考冲刺复习的
题． 重点复习内容。
双曲线的方程 2021·北京卷T11
1．（2023·北京卷T6）已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上．若 到直线 的距离为
5，则 （ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【解析】因为抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，点 在 上，
所以 到准线 的距离为 ，又 到直线 的距离为 ，
所以 ，故 ，故选D.
2．（2019·北京·高考真题）已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b【答案】B
【解析】椭圆的离心率 ,化简得 ,故选B.
3．（2023·北京卷T4）已知双曲线C的焦点为 和 ，离心率为 ，则C的方程为
．
【答案】
【解析】令双曲线 的实半轴、虚半轴长分别为 ，显然双曲线 的中心为原点，焦点在x轴上，其半
焦距 ，
由双曲线 的离心率为 ，得 ，解得 ，则 ，
所以双曲线 的方程为 .
1. 椭圆离心率
e= c (01) e2 =
c2
=
a2 +b2
=1+
b2
=1+
(b) 2
⇒e=
√
1+
(b) 2
a a2 a2 a2 a a
，
3.椭圆定义的应用技巧
（1）椭圆定义的应用主要有：判断平面内动点的轨迹是否为椭圆，求焦点三角形的周长、面积及椭圆的
弦长、最值和离心率等；
（2）与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、｜PF ｜＋｜PF ｜＝2a，得到a，c
1 2
的关系.
4.根据条件求椭圆方程的主要方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程；
（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n），不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n
的值即可.
5.求椭圆离心率的方法
（1）直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解；
（2）列出含有a，b，c的齐次方程（或不等式），借助于b2＝a2－c2消去b，转化为含有e的方程（或不
等式）求解；
√ b2
（3）利用公式e＝ 1− 求解.
a2
6.求双曲线标准方程的两种方法
（1）待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，
c的值；
（2）定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.
1.双曲线几何性质的综合应用涉及知识较宽，如双曲线定义、标准方程、对称性、渐近线、离心率等多方
面的知识，在解决此类问题时要注意与平面几何知识的联系.
7.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路
（1）若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解；
（2）若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
8.求抛物线标准方程的方法
（1）定义法：若题目已给出抛物线的方程（含有未知数p），那么只需求出p即可；
2）待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝
（
ax（a≠0），a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay（a≠0），这样就减
少了不必要的讨论.
1．已知 在抛物线 上，则 到 的焦点的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 在抛物线 上， ，解得： ， 抛物线准线方程为： ，
由抛物线定义知：点 到 的焦点的距离为 ，故选D.
2．若椭圆 的焦距为2，则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】当 时， ，解得 ，则离心率为 ，
当 时， ，解得 ，则离心率为 ，故选C
3．已知抛物线 的顶点在原点，焦点 在坐标轴上，点 关于其准线的对称点为 ，则 的方程为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，设抛物线的方程为 ，
可得焦点坐标 ，准线方程为 ，
设焦点 关于准线 的对称点为 ，可得 ，解得 ，
因为点 关于其准线的对称点为 ，可得 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，故选A.
4．过点 且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为所求双曲线与双曲线 有相同的渐近线，所以设其方程为 ，又点
在双曲线上，所以 ，解得 ，
则双曲线方程为 ，故选B．5．已知 是椭圆 的两个焦点，焦距为4．若 为椭圆 上一点，且 的周长为14，则椭圆
的离心率 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】焦距为4，即 ，
为椭圆 上一点， 的周长为14，即 ，
所以椭圆 的离心率 ，故选B．
6．已知双曲线 的渐近线方程为 ，则其离心率为（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
依题意可得 ，所以离心率 ，故选B
7．已知椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为方程 表示椭圆，所以 ，
从而 ，解得 ，
所以 ，则椭圆 的长轴长为 ，故选C.8．已知双曲线 的一个焦点为 ，则双曲线 的一条渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知 ，即双曲线方程为 ，
所以其渐近线为 ，故选A
9．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且 与椭圆 有公共的
焦点，则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意双曲线 的一条渐近线方程为 ，所以 ，又 与椭圆
有公共的焦点，所以 ，
解得 ，从而 的方程为 ，故选A.
10．已知双曲线 1（a＞0，b＞0），若其焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的渐近线方
程为（ ）
A．y＝±x B．y＝± x
C．y＝±2x D．y＝± x
【答案】C
【解析】因为焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为 ± ＝0，即bx±ay＝0，所以2a＝ ＝b.故双曲线的渐近线方程为y＝± x＝±2x.
11．若椭圆 ＋y2＝1的两个焦点分别为F ，F ，过F 作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，
1 2 1
则PF ＝（ ）
2
A． B． C． D．4
【答案】C
【解析】由题意，知F (－ ，0)，所以点P横坐标为－ ，代入椭圆方程，得 ＋y2＝1，解得
1
y＝± .由定义知PF ＝2a－PF ＝4－ ＝ .
2 1
12．已知 是抛物线 上的一点， 是抛物线 的焦点， 为坐标原点，当 时，
，则抛物线 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】过 作准线的垂线，垂足为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，
则 ，
又 ，则 ，
所以 ，
解得 ，所以抛物线 的方程为 .
故选：A.13．若椭圆 的离心率为 ，则 .
【答案】2或
【解析】当 时，焦点在 轴上，则 ， ，
则 ；
当 时，焦点在 轴上，则 ，
则 .
14．抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为 .
【答案】 /0.5
【解析】抛物线 的焦点 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
所以点 到直线 的距离为 .
15．已知抛物线 上的点 到该抛物线焦点 的距离为 ，则 等于 ．
【答案】
【解析】抛物线 ，即 ，所以准线方程为 ，
因为抛物线上的点 到该抛物线焦点 的距离为 ，
所以 ，解得 .
16．双曲线以椭圆 的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的2倍，求该双曲线的方程为
．
【答案】
【解析】因为椭圆方程为 ，
则
所以其焦点坐标为 ，
离心率为 ，
则双曲线的焦点为 ，
离心率为 ，
即 ，所以 ，
则 ，
所以双曲线的方程为 .
17．已知直线 与椭圆 和交于A，B两点，且点 平分弦AB，则m的值为
．
【答案】3【解析】设 坐标为 ，则 ，
作差可得 ，则 ，
根据题意可得 ， ，则 ，解得 .
当 时，联立 ，可得 ，
其 ，满足题意；故 .
18．已知抛物线 的焦点为 ，若 是该抛物线上一点，点 ，则 的最小值
.
【答案】5
【解析】抛物线的准线方程为 ，
则 的最小值为 到准线的距离，即为 .
19．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， 、两条渐近线的夹角正切
值为 ，则双曲线 的标准方程为
【答案】
【解析】设双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ， ，因为 ，所以 ，从而 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，又 ，所以 ， ，
所以双曲线 的标准方程为 .
20．在平面直角坐标系 中，已知 的顶点 ， ，点 在椭圆 上，则
．
【答案】
【解析】由椭圆的方程可得 ， ，所以 ，
所以可得 为椭圆的焦点，
由椭圆的定义可知 ，
在 中，由正弦定理可得 ．
