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专题05 二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训（45道）
【选取全国各地区最新题型】
【二次函数图象与系数的关系选填压轴题型专训 】
1．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知抛物线 （ 为常数，且 ）经过点
，下列结论： ；②该抛物线的对称轴为直线 ；③若点
都在该抛物线上，则 ；④关于x的方程 的解为 .其中正确的个数有
（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质、解一元二次方程等，将点 代入抛物线解析式求
出a，b，可判断①；根据对称轴为直线 可判断②；根据开口方向及各点到对称轴的距离，可判断
③；将a，b的值代入 ，解一元二次方程可判断④．
【详解】解：将点 代入抛物线 ，
得： ，解得 ，
即抛物线的函数表达式为 ．
，故①正确；
该抛物线的对称轴为直线 ，故②错误；
该抛物线的开口向上，对称轴为直线 ， ，
，故③错误；关于 的方程 为 ，
解得 ，故④错误，
综上可知，正确的个数有1个，
故选D．
2．（2024·河北唐山·模拟预测）抛物线 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，直线
与抛物线都经过点 ．下列说法：① ；② ；③若 与 是抛物线上
的两个点，则 ；④方程 的两根为 ， ；⑤当 时，函数
有最大值．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用图象的信息与已知条件求得a，b的关系式，利用待定系数法和二次函数的性质对每个结论进
行逐一判断即可得出结论．
【详解】解： 抛物线的开口方向向下，
抛物线的对称轴为直线
，
，
故①的结论正确；抛物线 经过点
故②的结论正确；
抛物线的对称轴为直线
点 关于直线 对称的对称点为
，
当 时， 随 的增大而减小
故③的结论不正确；
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线经过点
抛物线一定经过点 ，
抛物线 与 轴的交点的横坐标分别为 ，1，
方程 的两根为 ， ，
故④的结论正确；
直线 经过点 ，
，
，
．
函数，
当 时，函数 有最大值，
故⑤的结论不正确．
综上，结论正确的有：①②④，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数
图象上点的坐标的特征，二次函数与一元二次方程的联系，利用图象的信息与已知条件求得 ， 的关系
式是解题的关键．
3．（2024·湖北鄂州·模拟预测）如图，二次函数 （ ）的图象关于直线 对称，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B．若抛物线与x轴交于 ， 两点，则
C．
D．对任意实数t，总有
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与 轴的交点，能根据所给函数图象得出 ， ，
的正负，再利用抛物线的对称性来求解，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出 ， 之间的等量关
系，再结合抛物线与 轴的交点情况可解决问题．【详解】解：由图知开口向下，
，
与 交于正半轴，
，
图象关于直线 对称，
，
，
，A选项错误；
若抛物线与x轴交于 ， 两点，
，则 ，故B选项正确；
，
，
由图知，当 时， ，
不成立，故C选项错误；
当 时，有 ，故D选项错误．
故选：B．
4．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，已知抛物线 （a、b、c为常数，且 ）的对称轴
为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，与 轴的交点 在 ， 之间（不含端点），则
下列结论正确的有多少个（ ）① ；
② ；
③ ；
④若方程 两根为 ，则 ．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，根据题干可得 ， ， ，即可
判断①错误；根据对称轴和一个交点求得另一个交点为 ，即可判断②错误；将c和b用a表示，即
可得到 ，即可判断③正确；结合抛物线 和直线 与 轴得交点，即可判
断④正确．
【详解】解：由图可知 ，
∵抛物线 的对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，
∴ ， ，
则 ，
∵抛物线 与 轴的交点 在 ， 之间，
∴ ，
则 ，故①错误；
设抛物线与 轴另一个交点 ，∵对称轴为直线 ，且该抛物线与 轴交于点 ，
∴ ，解得 ，
则 ，故②错误；
∵ ， ， ，
∴ ，解得 ，故③正确；
根据抛物线 与 轴交于点 和 ，直线 过点 和 ，如图，
方程 两根为 满足 ，故④正确；
故选：B．
5．（2024·天津南开·三模）如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C，且 ．则下列结论：① ；② ；③ ；④方程
有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：①由抛物线开口方向得 ，由抛物线的对称轴位置可
得 ，由抛物线与 轴的交点位置可得 ，则可对①进行判断；②根据抛物线与 轴有两个交点，则△ ，作判断；③利用 可得到 ，再把 代入 即可作出判断；④根
据一元二次方程根的判别式可以作出判断．
【详解】解：① 抛物线开口向下，
，
抛物线的对称轴在 轴的右侧，
，
抛物线与 轴的交点在 轴上方，
，
，所以①正确；
② 抛物线与 轴有两个交点，
，
，
，
所以②错误；
③ ， ，
，
把 代入 得 ，
，
所以③错误；
④对于方程 ， ，
∵ ，
∴
方程 有两个不相等的实数根，本小题结论正确；，
所以④正确；
本题正确的有：①④2个，
故选：C．
6．（2024·内蒙古赤峰·三模）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图所示，现给以下结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确结论的个数有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与 的关系，然后根据对称
轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①由抛物线可知： ，
对称轴 ，
，
，故①正确；
②由对称轴可知： ，
，
抛物线过点 ，
，
，故②正确；
③ 关于 的对称点为 ，
时， ，故③正确；
④抛物线与 轴有两个交点，
，
即 ，
，故④正确；
故正确的有：①②③④．故选：D．
7．（2024·河北唐山·模拟预测）如图所示，已知二次函数 的图象与 轴交于 ，
两点，与 轴的正半轴交于点 ，顶点为 ，则下列结论：① ；② ；③当
是等腰三角形时， 的值有 个；④当 是直角三角形时， 的值有 个；其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由二次函数 的图象与 轴交于 两点，得对称轴为直线 ，
从而得 ，故①正确，当 时， ，进而得 ， ，故②错误；先求
得点 ，当 时， ， ，当 时， ， ，从而得
的值有 个，故③正确；由二次函数 ，得顶点 ，进而得
，再分类讨论即可得解．
【详解】解： 二次函数 的图象与 轴交于 两点，
对称轴为直线 ，
，
，
故①正确，
当 时， ，，
，
，
故②错误；
二次函数 ，
点 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
当 是等腰三角形时， 的值有 个，
故③正确；
二次函数 ，
顶点 ，
，
若 ，可得 ，
，
，
若 ，可得 ，
，
，
当 是直角三角形时， 或 ，
的值有 个，
故④错误，故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及性质，根据二次函数的性质判断各项符号，勾股定理以及等腰
三角形，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键．
8．（2024·湖北恩施·二模）如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为 ，且经过
点 ．下列说法：
① ；
② ；
③ ；
④若 ， 是抛物线上的两点，则 ；
⑤ （其中 ）．
其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查根据函数图象判断式子符号，根据抛物线开口方向、与y轴的交点位置、对称轴位置可
判断①；将点 代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据 ， 到对称轴的距离，结合
开口方向可判断④；根据二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断⑤．
【详解】解：由图可知，二次函数图象开口向下，与y轴的交点位于正半轴，
， ，
对称轴为直线 ，
，
，，故①正确；
图象经过点
，即 ，故③错误；
， ，
，
，故②正确；
， ，二次函数图象开口向下，
若 ， 是抛物线上的两点，则 ，故 正确；
， ，
， ，
对称轴为直线 ，图象开口向下，
函数的最大值为 ，
当 时， ，
当 时， ，故⑤正确；
综上可知，正确的有①② ⑤，共4个，
故选D．
9．（2024·山东烟台·一模）如图，抛物线 （ ）与x轴交于点 ， ，其中
，下列四个结论：① ；② ；③ ；④不等式 的解
集为 .其中正确结论的是（ ）A．①② B．②③ C．①③④ D．①④
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用二次函数的图象和性质依次判断即可，掌握二次函数的图
象和性质是求解本题的关键．
【详解】解： 抛物线开口向上，对称轴在 轴右边，与 轴交于正半轴，
， ， ，
，
①正确．
当 时， ，
，
②错误．
抛物线过点 ，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
③正确．
如图：
设 ， ，由图知， 时， ，
故④正确．
故选：C．
10．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，抛物线 交 轴于点 ， 对称
轴为 ，与 轴的另一个交点为 ， 为抛物线的顶点．下列结论：
；② ；③ ；④ ；⑤若 是等腰直角三角形，
则 ．其中结论正确的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象分析出基本信息，然后逐项判断即可．
【详解】由函数图象可知， ， ， ，
，故①正确；
抛物线对称轴为直线 ， 、 关于对称轴对称，
的坐标为 ，
当 时，函数值 ，
即： ，故②正确；
对称轴为直线 ，
， ， ，
，
，故③正确；
由 点坐标可得： ，
将 代入可得： ，
，即： ，故④正确；
由题意， 、 是关于对称轴对称的， 为顶点，
当 是等腰直角三角形，则
又 ，
；故⑤错误；
∴正确的有：①②③④，
故选：C．
11．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，二次函数 的图象关于直线 对称，与x轴交于
， 两点．若 ，则下列四个结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与x轴的交点，根据所给函数图象中抛物线的对称
轴可得出a，b之间的等量关系，再结合抛物线与x轴的交点情况及点A横坐标的取值范围即可解决问题．
【详解】解：由题知，
A，B两点关于直线 对称，
又 ，
且 ， ，
所以 ．故A正确，不符合题意．
由抛物线的对称轴是直线 得， ，
则 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
故B错误，符合题意．
因为抛物线与x轴有两个交点，
所以 ，
又当 时，函数值小于0，
即 ，
所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 ，
故C正确，不符合题意．
因为 当 时，函数值 ，
故D正确，不符合题意．
故选：B
12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是二次函数 图像的一部分，对称轴为直线 ，
则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．当 时，
D．若 ， ， 在该函数图像上，则
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断 与0的关系，然后根据对称轴 判定 ；根据当 时，
，即 ，然后由函数图象对称性可得，当 与 时，函数值相同，根据
图象即可判断 ．
【详解】解：如图：根据抛物线对称性补全图象得：
∵抛物线开口方向向下，交 轴于正半轴，
∴ ， ，
又∵对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∴ ，故B错误，不符合题意；
由函数图象可得，当 时， ，即 ，故A正确，符合题意；
∴由函数图象可得当当 时，有可能 ，C错误，不合题意；
由函数图象对称性可得，当 与 时，函数值相同，
∵ ，
∴由函数的增减性可得： ，D错误，不合题意；
故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数 决定抛物线的开口
方向，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决
定对称轴的位置：当 与 同号时（即 ），对称轴在 轴左； 当 与 异号时（即 ），对称轴
在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与 轴交点，抛物线与y轴交于 ．
13．（2024·江苏常州·二模）如图，二次函数 的图像过点 ，抛物线的对称轴是
直线 ，顶点在第一象限，给出下列结论：① ；② ；③ ；④若 、
（其中 ）是抛物线上的两点，且 ，则 ．其中， 的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
由题意知， ， ，则 ，可得 ，可判断①的正误；由题意知， 关于对称轴
对称的点坐标为 ，可知当 时， ，可判断②的正误；由 ，可得
，将 代入得， ，可判断③的正误；由 ，可知 、
关于对称轴对称，则 ，可判断④的正误．
【详解】解：由题意知， ， ，
∴ ，
∴ ，①正确，故不符合要求；由题意知， 关于对称轴对称的点坐标为 ，
∴当 时， ，②正确，故不符合要求；
∵ ，
∴ ，
将 代入得， ，③错误，故符合要求；
∵ ，
∴ 、 关于对称轴对称，则 ，④正确，故不符合要求；
故选：C．
14．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数 ( 、 、 为常数，且 )的图象顶
点为 ，经过点 ；有以下结论：① ；② ；③ ；④ 时， 随 的
增大而增大；⑤对于任意实数 ，总有 ，其中正确的有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，①根据抛物线的开口方向向下即可判定；②先运用二次函
数图像的性质确定 、 、 的正负即可解答；③将点A的坐标代入即可解答；④根据函数图像即可解答；
⑤根据顶点以及开口方向即可求解．
【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则 ，故①正确；② 抛物线的顶点为 ，
， ，
，
，
抛物线与 轴的交点在正半轴，
，
，故②错误；
③ 抛物线经过点 ，
，即 ，故③正确；
④ 抛物线的顶点为 ，且开口方向向下，
时， 随 的增大而减小，即④错误；
⑤ 抛物线的顶点为 ，抛物线开口向下，
当 时， 是最大值，
对于任意实数 ，总有 ，
则⑤正确；
综上，正确的共有 个．
故选：B．
15．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线 交x轴于 ， ，交y轴负半
轴于点C，顶点为D，下列结论：① ；② ；③若方程 的两根分别为m，
n，则 ；④当 是等腰直角三角形时， ；⑤抛物线上有两点 、 ，且
，若 ，则 ．正确的有（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】依据题意，由抛物线 交 轴的负半轴于点 ，从而令 ，又对称轴是
直线 ，故可判断①；抛物线过 ，从而 ，又 ，即 ，进而
，最后可以判断②；依据 ，代入方程 ，可化为 ，根据一
元二次方程根与系数关系即可判断③；由 是等腰直角三角形， 为顶点，从而 ，结合顶
点为 ，对称轴是直线 ，故 ，再由抛物线为 ，又抛物线过点
，计算可以判断④；根据 ，判断出点 在直线 左侧，点 在直线 右侧，根据二次
函数增减性即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线 交 轴的负半轴于点 ，开口向上，
∴令 ．
∵
∴对称轴是直线 ，
∴ ． ，
∴ ，故①错误．
∵抛物线过 ，
∴ ．
又 ，即 ，∴ ．
∴ ，故②错误．
∵ ，
则 可化为 ，即 ，
若方程 的两根分别为m，n，即方程 的两根分别为m，n，
则 ；故③正确；
是等腰直角三角形，
又 为顶点，
∵抛物线 交x轴于 ， ，
故设顶点为 ，对称轴是直线 ，
，
∴可设抛物线为 ，
又抛物线过点 ，
∴ ．
∴ ，故④正确．
因为 ，
所以点 在直线 左侧，点 在直线 右侧，
又因为 ，
则 ．
因为抛物线的对称轴为直线 ，且开口向上，
所以 ，故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及二次函数与一元二次方程
之间的关系是解题的关键．16．（2024·四川广元·二模）如图， 已知二次函数 (a，b，c是常数)的图象关于直线
对称， 则下列五个结论∶ ① ； ② ； ③ ；④ (m为任
意实数)；⑤ ．其中结论正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的
关键；
由图象可知： ， ，根据对称轴及a与b的符号关系可得 ，则可判断①②，由对称轴是直线
，且与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，当 时， 可判断③；由当 时，函数有
最大值，可判断④；由 及 ，可判断⑤．
【详解】解： 抛物线开口往下，
，
抛物线与y轴交于正半轴，
，
抛物线的对称轴为 ，
，
，
，故①正确．
即 ，故②正确．
抛物线的对称轴为直线 ，且 时，函数值小于零，
抛物线与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，
当 时，函数值小于零，即 ，故③正确．
抛物线的对称轴为直线 ，且开口向下，
当 时，函数值最大，
当 时， ，
当 时， ，
则 ，
，
所以 ，故④正确．
由函数图象可知，
当 时，函数值小于零，
则 ，
，
所以 ，故⑤正确．
综上所述：正确的有 ，
故选：D．
17．（2024·山东菏泽·一模）如图是二次函数 图象的一部分， 是对称轴，且经过点
．有下列判断∶① ；② ；③ ；④若 是抛物
线上两点，则 ，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．③④
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键．
①根据直线 是对称轴，确定 的值；②根据 时， 确定 的符号；
③根据 时， ，求得 ，即可得到结论；
④根据抛物线的对称性，得到 与 的大小关系即可．
【详解】解：∵直线 是对称轴，
∴ ，即 ，
∴ ，故①正确；
∵直线 是对称轴，二次函数 图象经过点 ，
∴抛物线经过点 ，
∴当 时， ，
即 ，故②错误；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小，
∵ ， ， 与 是抛物线上两点，
∴ ，故④正确，
综上，正确的是①③④，故B正确．
故选：B．
18．（2024·湖南永州·二模）如图，已知抛物线 的对称轴是直线 ，直线 轴，且交
抛物线于点 ， ，下列结论错误的是（ ）A． B．
C．若实数 ，则 D．当 时，
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，数形结合思想等知识，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
根据函数图象可知 ，由此可判断出A；根据抛物线的对称轴可得出 ，也可得出函数的最小值，
在 处取到，由此可判断C；令 ，则 ，即抛物线与 轴交于点 ，根据函数图象可直
接判断D；C没有直接条件判断．
【详解】解：根据函数图象可知 ，根据抛物线的对称轴公式可得 ，
，
，
∴ ， ．故A正确，不符合题意；
∵函数的最小值在 处取到，
∴若实数 ，则 ，即若实数 ，则 ．故C正确，不符合题
意；
∵ 轴，
，
令 ，则 ，即抛物线与 轴交于点 ，
∴当 时， ．
∴当 时， ．故D正确，不符合题意；
，∴ ，没有条件可以证明 ．故B错误，符合题意；
故选：B．
19．（2024·广西钦州·二模）如图所示，二次函数 （ ， ， 常数， ）的图象与 轴
交于点 ．有下列结论：① ；②若点 和 均在抛物线上，则 ；
③ ；④ ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的
关系以及与 轴交点问题逐项分析判断即可．
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与 轴正半轴交于一点，
， ．
，
．
．
故①正确．
是关于二次函数对称轴对称，
．
在对称轴的左边， 在对称轴的右边，如图所示，．
故②正确．
图象与 轴交于点 ，
，故③正确
根据函数图象可知，当 时， ，即
故④不正确．
综上所述，正确的有①②③．
故选：C．
20．（2024·新疆喀什·三模）如图，二次函数 图象的顶点为D，其图象与x轴的交点
A、B的横坐标分别为 ，3．与y轴负半轴交于点C，在下面结论中：
① ；
② ；
③当 时， ；
④若 ，且 ，则 ．
其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数
的图象与 轴的交点 、 的横坐标分别为 ， ，得出对称轴为 ，判断①，结合图象过点 ，判断②，根据开口方向顶点的纵坐标为最小值即可判断③，根据二次函数图象的对
称性即可判断④．
【详解】解：① 二次函数 的图象与 轴的交点 、 的横坐标分别为 ， ，
该二次函数图象对称轴为：直线 ，
，即 ，故①错误；
②由题意可知： 图象过点 ，
，
又 ，
，即 ，故②正确；
③ 由①可知，二次函数 图象的顶点为 ，
，
又 在二次函数 中，当 时，
，
，故③正确；
④ 若 ，则 ，
∴ 关于 对称，
，即 故④正确；
故选C．
二、填空题
21．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）抛物线 经过 ， 两点，且
．下列四个结论：① ；② ；③当 时，y随x的增大而减小；④方程必有两个不相等的实数根．则正确的结论有 （填写序号）．
【答案】①④
【分析】本题考查二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，以及二次函数与一元二次方程之间的联系，
结合二次函数的图形与性质，以及二次函数与一元二次方程之间的联系逐项分析即可．掌握二次函数的图
像与性质和各项系数之间的关系是解题关键．
【详解】解：∵抛物线 经过 ， 两点，
∴抛物线的对称轴为 ， ，
∵ ，
∴ ，即：
∴ ，则 ，故①正确；
当 时， ，则 ，即： ，
当 时， ，则 ，即： ，
故②不正确；
当 时，当 时，y随x的增大而增大；
当 时，当 时，y随x的增大而减小；
故③不正确；
方程 整理为： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴方程 必有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论有①④．故答案为：①④．
22．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数 （ ）．图象的顶点为 ，
其图象与 轴的交点 的横坐标分别为 ，下面四个结论： ； ； 只有当
时， 是等腰直角三角形； 使 为等腰三角形的 的值可以有三个．那么，其中正确的
结论是 ．（只填你认为正确结论的序号）
注：二次函数 （ ）图象的顶点坐标为
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的定义，先
根据图象与 轴的交点 的横坐标分别为 确定出 的长及对称轴，由对称轴即可判断 ；根据对
称轴及函数图象即可判断 ；由 为等腰直角三角形，必须保证 到 轴的距离等于 长的一半，
得到 ，与 、 联立方程组解答即可判断 ；由 为等腰三角形，
则必须保证 或 或 ，分三种情况利用勾股定理解答即可判断 ；掌握二
次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解： ∵图象与 轴的交点 的横坐标分别为 ，
∴ ，
∴对称轴 ，
∴ ，
∴ ，故本选项正确；
∵对称轴 ，当 时， ，
∴ ，故本选项错误；
要使 为等腰直角三角形，必须保证 到 轴的距离等于 长的一半，而 到 轴的距离就是当 时， 的值的绝对值，
当 时， ，
即 ，
∵当 时， ，
∴ ，
又∵图象与 轴的交点 的横坐标分别为 ，
∴当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
解方程组 得，
，
∴只有当 时， 是等腰直角三角形，
故本选项正确；
要使 为等腰三角形，则必须保证 或 或 ，
当 时，
∵ ， 为直角三角形，
又∵ 的长即为 ，
∴ ，
∵由抛物线与 轴的交点在 轴的负半轴上，
∴ ，
与 、 联立组成方程组得，
，解得 ；
同理当 时，
∵ ， 为直角三角形，
又∵ 的长即为 ，
∴ ，
∵由抛物线与 轴的交点在 轴的负半轴上，
∴ ，
与 、 联立组成方程组得，
，
解得 ；
同理当 时，
在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，此方程无解，
∴满足条件的 只有两个，故本选项错误；
∴正确的结论是 ，
故答案为： ．
23．（23-24九年级上·湖北荆州·期中）抛物线 的对称轴为直线 ，与x轴的一个
交点坐标为 ，其部分图像如图所示，有下列结论：①当 时，则 ，② ， ③当 时， x的取值范围是 ， ④当
时， 有 ．
其中正确结论的序号为 ．
【答案】①④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题
的关键．由图象开口方向可知 ，由对称轴可知 ，与x轴的另一个交点坐标为 ，结合图象
可判断③，根据对称轴可求得 时，函数有最大值为 ，进而可判断①，根据与x轴的一个交点
坐标为 ，可求得 ，进而可知 ，即可判断②，根据当 时，可知
， ， ，得 ，即 ，再结合 ，
，即可判断④．
【详解】解：由图象开口方向可知： ，
∵抛物线对称轴为直线 ，与x轴的一个交点坐标为 ，
∴ ，与x轴的另一个交点坐标为 ，
结合图象可知，当 时， x的取值范围是 ，故③错误；
∴ ，则当 时， ，∴ ，则当 时，函数有最大值，最大值为 ，
当 时， ，
∴当 时，则 ，故①正确；
，故②错误，
当 时，则 ， ， ，即： ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∵ ，则 ，
∴ ，即： ，亦即： ，
∴ ，故④正确；
综上，正确的有①④，
故答案为：①④．
24．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 的图象开口向上，对称轴
为直线 ， 为抛物线上的两点，下列结论中一定正确的是 ．（填序号）
；② ； （ 是一个常数）；④若 ，则 ．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数 决定抛物线的开口
方向，②一次项系数 和二次项系数 共同决定对称轴的位置（左同右异）③常数项 决定抛物线与 轴交
点，抛物线与 轴交于 ．④顶点决定了最值．
由抛物线的开口方向判断 与0的关系，由抛物线对称轴的位置判断 与0的关系；当 时，
；然后由图象确定 ，继而 ，再根据 ，抛物线开
口方向向上，故A点到对称轴距离大于B点到对称轴距离得出 ，继而解不等式即可．【详解】解：①如图所示，抛物线开口方向向上，则 ．
对称轴在 轴右侧，
、 异号，
，
故①正确；
② ，
．
．
．
故②正确；
③根据图示知，当 时， 有最小值；
当 时，有 ，
所以 （ 是一个常数）．
∴
故③正确．
④若 ，
∵抛物线开口方向向上，故A点到对称轴距离大于B点到对称轴距离，
即 ，即
解得： ，故④错误，
综上所述，正确的结论是：①②③．
故答案为：①②③．
25．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）二次函数 （ ， ， 均为常数，且 ）的图像经过点 ，点 ，则下列结论：
① ；
② ；
③若点 ， 在抛物线上，若 ，则 ；
④若关于 的方程 没有实数根，则 ．
其中结论正确的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由 且A、B两点位于y轴两侧，可判断①；由对称轴为 ，可得 ，把
代入抛物线的表达式中可判断②；由 可知 可能在A、B之间，也可能在B
点右侧，而 在B点右侧，分两种情况讨论，可判断③；由方程 没有实数根可得
，由此可判断④．
本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图像与系数的关系．
二次函数系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常
数项c决定抛物线与y轴交点．
【详解】∵ ,
∴抛物线开口向下，
又∵抛物线与x轴的两个交点 、 位于y轴两侧，
∴ ，
故结论①正确；
∵抛物线的对称轴为
∴ ，
由 可知 时， ，
，
，
故结论②错误；∵
∴ 可能在A、B之间，也可能在B点右侧，而 在B点右侧，
，
当点 在A、B之间时 ，此时 ；
当 在B点右侧时， 此时 、 都在对称轴右侧，y随x的增大而减小，
∴ ，
∴当 时， ，
故结论③正确；
若关于x的方程 没有实数根，
则 ，
，
，
故结论④正确．
综上，正确的有①③④
故答案为：①③④
26．（23-24九年级上·福建泉州·期末）抛物线 （a，c是常数且 ， ）经过点
．
下列四个结论：
①该抛物线一定经过点 ；
② ；
③若点 ， 在该抛物线上， ，则 的取值范围为 ：
④若 是方程 的两个根，其中 ，则 ．
其中正确的是 ．（填写序号）
【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的性质及数形结合思想，掌握二次函数的基本性质并会灵活应用是解题的关
键．
根据题意确定抛物线的对称轴，再根据图象与系数的关系逐个判断即可．
【详解】解：① 抛物线经过点 ，
，
，
当 时， ，
该抛物线一定经过 ，
故此项正确；
②由①得： ，
，
，
，
，
，
，
故此项正确；
③抛物线的对称轴为直线 ，
，
当 时，
，
解得， 或 ，
故此项错误．
④ 抛物线 ，对称轴为直线 ，
抛物线 经过点 ， ，
∵ 是方程 的两个根，其中 ，，所以两个根就是抛物线 与直线 交点的横坐标，
，
∴ ，
故此项正确，
故答案为：①②④．
27．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数 （ ， 为常数且 ）经过 ，
且 ，下列结论： ； ； 若关于 的方程 有整数解，则符合
条件的 的值有 个； 当 时，二次函数的最大值为 ，则 .
其中一定正确的有 .（填序号即可）
【答案】 / / / / /
【分析】本题考查了二次函数的性质，当 时， ，则 ，根据 得
，根据 ， 得 ，根据 得 ，则 ，即可判断 正确，
根据 ， 得 ，即可得点 在 轴的下方，根据抛物线的对称轴为直线 ，
， 得抛物线与直线 交点的横坐标为整数的有 ，则关于x的方程
有整数解，则符合条件的 的值有 个，故 正确；根据抛物线对称轴为直线
，与 轴的交点为 ，得抛物线过 ，根据当 时，二次函数的最大值为 得
或 ，即可得；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数 ，当 时， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ 正确，
∵ ， ，
∴ ，
∴点 在 轴的下方，
∵抛物线的对称轴为直线 ， ， ，
∴抛物线与直线 交点的横坐标为整数的有 ，
∴关于 的方程 有整数解，则符合条件的 的值有 个，
故 正确；
∵抛物线对称轴为直线 ，与 轴的交点为 ，
∴抛物线过 ，
∵当 时，二次函数的最大值为 ，且 ，
∴ ，
∴ ，
故 错误，
综上， 正确，
故答案为： ．
28．（23-24九年级上·山东青岛·期末）二次函数 （ ）的图象如图所示，对称轴是直线
，下列结论：① ；②方程 （ ）必有一个根大于2且小于3；③若 ，是抛物线上的两点，那么 ；④ ；⑤对于任意实数 ，都有 ，其
中正确的结论是 ．
【答案】①②⑤
【分析】①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出 的正负；
②将方程转化为函数与x轴的交点，利用已知交点和对称轴找出另一交点的范围；
③根据二次函数图象的性质：当图象开口向上，离对称轴越近的点y值越小；
④用a来表示改变函数解析式，根据图象，令 ，得到 ，即 ，因为 ，所以得
出 ；
⑤化简不等式，用a表示b，根据 及不等式的性质得到只含有m的不等式，解不等式即可．
【详解】解：①根据图象可知 ，
∵对称轴是直线 ，
，即 ， ， ．故①正确．
②方程 ，即为二次函数 与x轴的交点，
根据图象已知一个交点 ，关于 对称，
∴另一个交点 ．
故②正确．
③∵对称轴是直线 ，
，
∴点 离对称轴更近， ，
故③错误．④ ， ， ，
根据图象，令 ， ， ， ， ，
故④错误．
⑤ ， ，
即证： ， ，
∴m为任意实数， 恒成立．
故⑤正确．
综上①②⑤正确．
【点睛】本题以二次函数为背景考查了二次函数图象与系数的关系，考察查学生在函数图象中数形结合的
能力．运用待定系数法，二次函数图象与x轴的交点，利用图象求出a、b、c的范围以及用特殊值法代入
解析式中得到特殊的式子是解决问题关键．这类题型是中考常考题，很有参考价值．
29．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数 的图象过点 ，
， ，且交 轴的正半轴于点 ，下列结论： ； ； 若直线
与抛物线只有一个公共点 ，则 ； 抛物线上的两点 ， ， 在
的左边，若 ，则 ； ，请将所有正确的序号填在横线上 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系及二次函数的性质，抛物线与 轴的交点，抛物线的对称
性等知识点，根据二次函数的图象进行逐项分析即可，灵活运用有关知识来分析是解题的关键．
【详解】∵图象过点 ， ， ，
∴抛物线对称轴为直线 ， ，
∴与 轴交于点 ，即有 ，故 正确；
∵交 轴的正半轴于点 ，
∴抛物线开口向下，∴ ， ， ，则 ，故 正确；
由抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，则 ，
∴代入 得： ，
∴抛物线 ，直线 与抛物线只有一个公共点 ，
∴ ，整理得：
∴ ，解得： ，
∴直线 ，代入得： ，
∴ ，故 正确；
∵抛物线上的两点 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
即 ，
∴ ，故 错误；
∵ ，
∴ 错误，
∴ 正确；
故答案为： ．
30．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）二次函数 （ 为常数， ）的图象开口
向下，与 轴交于 和 ，且 ．有下列结论：① ；② ；③若方程有两个不相等的实数根，则 ；④当 时，若方程 有四个
根，则这四个根的和为 ，其中，正确结论的
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称性及 和 可得抛物线对称轴的位置，
由抛物线开口向下， 可得a与b的符号，由抛物线开口向下，抛物线与x轴有2个交点可得
，从而判断①②，由抛物线与直线 有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1，可判断③，由
可得函数 的对称轴，由函数的对称性可得四个根的和，从而判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，在y轴左右两侧，
∴抛物线与y轴交点在x轴上方，即 ，
∴ ，①正确．
∵ ，
∴ ，
∵抛物线经过 ，
∴ ，
∴
∴ ，②正确．
∵抛物线开口下，
∴抛物线与直线 有两个交点时，抛物线顶点纵坐标大于1，
即 ，∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根时 ，③正确．
∵ ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
方程 的根为函数 与直线 的交点横坐标，
由函数的对称性可得 ．
∴④错误．
所以，正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
31．（23-24九年级上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）二次函数 的部分图象如图，图
象过点 ，对称轴为直线 ，下列结论：① ；② ；③当 时， 的值随 值的
增大而增大；④当函数值 时，自变量 的取值范围是 或 ；⑤若 ，
为函数图象上的两点，则 ；⑥ （ 的实数）．其中正确的结论
是 （填写正确结论的序号）．
【答案】④⑥
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数 决定
抛物线的开口方向和大小．当 时，地物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和二
次项系数 共同决定对称轴的位置．当 与 同号时（即 ，对称轴在 轴左；当 与 异号时（即），对称轴在 轴右．常数项 决定抛物线与 轴交点位置：抛物线与 轴交于 ．也考查了二次
函数图象上点的坐标特征．
根据函数图象可得 ，即可判断①；利用 时， 可对②进行判断；根据二次函数的
性质可对③进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，然后利用抛物线
在 轴下方对应的自变量的范围可对④进行判断；由抛物线对称轴和增减性，则可对⑤进行判断；根据函
数值以及最值可判断⑥．
【详解】解：根据图象可得： ，
，所以①错误；
∵抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
∴ 时， ，
∴ ，即 ，所以②错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ，
∴当 时， 的值随 值的增大而增大，所以③错误；
∵抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
∴当函数值 时，自变量 的取值范围是 或 ，所以④正确；
当 时，若 ， 为函数图象上的两点，则 ，故⑤错误；
当 时，y有最大值，最大值为 ，
当 时， ，
即 （ 的实数），故⑥正确；
故答案为：④⑥．
32．（23-24九年级上·湖北·阶段练习）已知抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为
其中 ，与x轴的一个交点位于 和 之间，则下列结论：
① ；
② ；③若该抛物线经过点 ， ，则
④若关于x的一元二次方程 无实数根，则 ．
其中正确的结论是 ．(只填序号)
【答案】 /
【分析】①本题③考③查①了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握性质是解题的关键，根据顶
点坐标，根的判别式，点到对称轴的距离大小比较计算判断即可．
【详解】∵抛物线 (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 其中 ，与x轴的一个
交点位于 和 之间，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
故①正确；②错误；
∵ ， ，距离对称轴越远，函数值越小，
∴ ，
故③正确；
∵关于x的一元二次方程 无实数根，
∴ ，
∴ ，
即
∵ ，
则 ．
故④错误；故答案为：①③．
33．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图所示，二次函数 的图像的对称轴是
直线 ，且经过点 ．有下列结论：① ；② ；③ （ 为常数）；
④ 和 时函数值相等；⑤若 ， ， 在该函数图像上，则 ；⑥
．其中错误的结论是 （填序号）．
【答案】①⑤
【分析】根据二次函数图像与性质逐项判断即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴ ，
∵抛物线对称轴是直线 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵经过点 ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，故②正确；
∵当 时，函数取得最大值，最大值为 ，
∴当 时， ，
∴ ，故③正确；∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴直线 和直线 与对称轴距离相等，则 和 时的函数值相等，故④正确；
∵抛物线的对称轴是直线 ，且开口向下，
∴离对称轴 越近，函数值越大，
∴ ，故⑤错误；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，故⑥正确；
故答案为：①⑤．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，灵活掌握利用二次函数图像与性质解决代数式符号问题的解法是
解决问题的关键．
34．（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）若抛物线 过点 和 两点，且顶点
在第二象限．
（1）若该抛物线的对称轴 ，则 ．
（2）设 ，则P的取值范围是 ．
【答案】
【分析】（1）根据题意，列方程组求解即可得到答案；
（2）根据题意得到 ，代入使 ，再由顶点在第二象限，分类讨论，确定抛物线开口方向，
进而得到 ，利用不等式性质求出范围即可．
【详解】解：（1） 抛物线 过点 和 两点，
，
抛物线的对称轴 ，
，
，解得 ，
，
故答案为： ；（2） 抛物线 过点 和 两点，
，
，
，
顶点坐标为 ，且顶点在第二象限，
，
当抛物线开口向上时， ，则 ， ，与顶点在第二象限矛盾，
抛物线开口向下，则 ，
，
，则 ，解得 ，
，
，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数图像与性质，涉及待定系数法确定函数系数、顶点坐标及利用二次函数图像与
性质确定式子范围，熟练掌握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
35．（2023·广东广州·二模）已知二次函数 满足：（1） ； （2） ；
（3）图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ．
① ； ② ； ③ ； ④ ．
【答案】①②④
【分析】由 可得图像过 点，由 、 可得 可判断①；图像与x
轴有2个交点，且两交点间的距离小于2，则另一交点坐标在 右侧，再代入解析式可判断②且图像
对称轴一定在x轴的正半轴，即 ；再结合a，b异号可判定③；由 可得 ，再代入 可得 ，然后再根据不等式的性质给两边同除以 即可解答．
【详解】解：∵
∴图像过 点
∵ ， ，
∴ ，故①正确；
∵图像与x轴有2个交点，且两交点间的距离小于2
∴图像一定不过 ，且另一交点坐标在 右侧，
∴ ，即②正确；
∴图像对称轴一定在x轴的正半轴，
∴ ，
∵a，b异号，
∴ ，故③此选项错误；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， 故④选项正确．
故答案为①②④．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、不等式的性质等知识点，理解二次函数的性质是解答本题的关
键．
36．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）点A，B的坐标分别为 和 ，抛物线
的顶点在线段 上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），给出下列
结论：① ；②当 时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小
值为 ；④当四边形 为平行四边形时， ．其中正确的是 ．【答案】 /
②④④②
【分析】根据顶点在线段 上抛物线与y轴的交点坐标为 可以判断出c的取值范围，得到①错误；
根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定x=1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对
称性求出此时点C的横坐标，即可判断③错误；令y=0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的
长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB=CD，然后列出方程求出a的值，判断出④
正确．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为 和 ，
∴线段 与y轴的交点坐标为 ，
又∵抛物线的顶点在线段 上运动，抛物线与y轴的交点坐标为 ，
∴ ，（顶点在y轴上时取“=”），故①错误；
∵抛物线的顶点在线段 上运动，
∴当 时，y随x的增大而增大，
因此，当 时，y随x的增大而增大，故②正确；
若点D的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线 ，
根据二次函数的对称性，点C的横坐标最小值时，对称轴为直线 ，点C的横坐标为 ，故
③错误；
令 ，则 ，∴ ，
根据顶点坐标公式可知： ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
解得 ，故④正确；
综上所述，正确的结论有②④．
故答案为②④．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及平行四边形的性质，对于二次函数 （a，b，c
为常数，a≠0），其对称轴是直线： ；．当 时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称
轴的右侧y随x的增大而增大；当 时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的
增大而减小．
37．（23-24九年级上·福建泉州·期中）抛物线 的最低点为 ，其中 ，抛物线
与x轴交于点 ，则下列结论中，正确的结论有 ．
① ；② ；③ ；④关于x的方程 有两个不相等实数根．
【答案】①②③
【分析】画出大致图形，再结合二次函数的性质分析即可．
【详解】∵ 的最低点为 ，其中 ，抛物线与x轴交于点∴函数图像大致如图所示：
∵抛物线 的最低点为 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故①正确；
∵抛物线与x轴交于点 ，
∴当 时， ；
当 时， ；
∴ ，
∴ ，
故②正确；
∵ ，
∴
∵
∴∴
整理得：
∵
∴
∴ ，解得
∴
故③正确；
∵抛物线 的最低点为 ，
∴直线 与 没有交点
∴关于x的方程 没有实数根
故④错误．
综上所述，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，数形
结合是解题的关键．
38．（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，二次函数 （ ）的图象过点 ，且
与x轴相交于 ， 两点，其中 ， ．现给出以下结论：① ；②
；③ ；④方程 的解为 ， ．其中正确的是 ．
（写出所有正确结论的序号）【答案】①②③④
【分析】由抛物线的开口方向判断出 ；由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系；根据对称轴在y轴的
右侧，可得a，b异号，从而可得 ；根据对称轴的位置判断①；根据顶点的纵坐标大于2判断②；根
据图象经过点 ，且 和 时， 判断③；将 与 联立，判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，
∴ ，
∵抛物线与x轴相交于 ， 两点，其中 ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线的顶点的纵坐标大于2，
∴ ，
∴ ，即 ，故②正确；
∵ （ ）的图象过点 ，
∴ ，
由图象知，当 时， ，当 时， ，
∴ ， ，
由 ， ，得 ，
∴ ，
由 ， ，得 ，
∴ ，故③正确；
由 ， ，得 ，∴ ，
∴ ，
∴方程 的解为 ， ．故④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④．
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，涉及到抛物线的对称轴、顶点坐标、与x轴的交点、与一元二
次方程的关系等，有一定难度，熟练运用数形结合思想是解题的关键．
39．（23-24九年级上·湖北咸宁·阶段练习）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标
为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x 和x，
1 2
且x＜x，则﹣5＜x＜x＜1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确结论的
1 2 1 2
是 ．
【答案】②③④
【分析】根据抛物线图象判断参数符号判断①，由顶点坐标可得b＝4a、c＝﹣5a，进而判断②；由方程
有两个根 和 ，且 ，即可判断③；讨论 ，结合根与系数关系求四
个根的和判断④．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，①错误；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣ ＝﹣2， ＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为 ，
∴16a﹣4b+c＝16a﹣16a﹣5a＝﹣5a＜0，②正确；∵抛物线 交x轴于（﹣5，0），（1．0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根 和 ，且 ，则 ，③正确；
若方程 有四个根，设方程 的两根分别为 ，
则 ＝﹣2，可得 ，
设方程 的两根分别为 ，则 ＝﹣2，可得 ，
所以这四个根的和为﹣8，④正确．
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数a决定
抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和
二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时
（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物
线与x轴交点个数由△决定： 时，抛物线与x轴有2个交点； 时，抛物线与x
轴有1个交点； 时，抛物线与x轴没有交点，熟练掌握二次函数图像与系数的关系是解题的
关键．
40．（23-24九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，已知顶点为（-3，-6）的抛物线 经过点
（-1，-4），则下列结论：① ② ③若点 在抛物线上，则 ④关
于 的一元二次方程 的两根为-5和-1 ⑤ ，其中正确的有 ．【答案】①②④
【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系及其与一元一次不等式的关系，以及二次函数的对称性可以
求解．
【详解】由图象知，抛物线与x轴有两个不同的交点，只是左边那个没画出来而已，
∴由二次函数与一元二次方程的关系可知，Δ=b2-4ac＞0，从而b2＞4ac，故①正确；
已知该抛物线是开口向上，顶点为（-3，-6），故ax2+bx+c≥-6正确，从而②正确；
由抛物线的对称轴为x=-3，点（-2，m），（-5，n）在抛物线上，则点（-2，m）离对称轴的距离为1，而
点（5，n）离抛物线的距离为2，开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，从而m＜n，故③错误；
由图象可知，x=-1为关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-4的一个根，由二次函数的对称性，可知-5为另一
个根，从而④正确；
∵抛物线 顶点为（-3，-6），经过点（-1，-4），
∴抛物线解析式可以化为： ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，故⑤错误；
综上，正确的是①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】本题属于二次函数图象的综合问题，考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一元一次不等
式，及二次函数的对称性，难度中等．
41．（23-24·四川·一模）已知二次函数 的对称轴是直线 ，图像如图所示．给出
下面五个结论：① ；② ；③ ；④ 为实数，且 ；⑤
．其中正确的有 写出所有正确结论的序号 ．【答案】②③④
【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴直线，图像与坐标轴的交点及其二次函数的最值逐项判断即可．
【详解】∵二次函数的图像开口向下，对称轴直线在y轴的右边，且y轴交于正半轴，
∴ ， ， ，
∴ ，故①不正确；
∵二次函数 的对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵二次函数的图像与x轴有两个交点，
∴ ，故③正确；
∵二次函数的图像开口向下，
∴二次函数有最大值，且 时， ，
∴当 ，且 时， ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
由图像可得，当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故⑤不正确，
故答案为：②③④
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．42．（19-20九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图是二次函数 ， ， 是常数， 图像
的一部分，与 轴的交点 在 和 之间，对称轴是直线 ．对于下列说法：① ；②
；③ ；④ 为实数）；⑤当 时， ．其中正确的是 ．（填
序号）
【答案】①②④
【分析】由抛物线的开口方向判断 与0的关系，然后再根据对称轴判定 与0的关系，得到 ；
当 时， ；然后由图像确定当 取何值时， ．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1
∴
∴
∴ ，
故②正确；
∵a≠0
∴ ，故①正确；
∵与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间
结合题意，当 时，
∴
故③错误；
∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是x=1，且与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间
设点A坐标为当 时，
故⑤错误；
将 代入a+b≥m（am+b）
∴
∴
∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下
∴
∴
∵ 恒成立
∴a+b≥m（am+b）成立，故④正确；
故答案为：①②④
【点睛】本题考查了二次函数、不等式的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求
解．
43．（23-24九年级下·湖北武汉·阶段练习）已知抛物线 的顶点坐标为 ，且与x轴
的一个交点在点 和 之间．下列结论：① ；② ；③ ；④一元二
次方程 有两个不相等的实数根．其中正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称
轴及抛物线与x轴交点情况画出大致图象，根据二次函数与一元二次方程的关系，利用根的判别式进行推
理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：∵抛物线顶点坐标为 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∵与x轴的一个交点在点 和 之间，图象大致如下图：∴当 时， ，即 ，故①结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②结论错误；
∵抛物线顶点坐标为 ，
∴抛物线 与直线 有唯一交点，
即方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ 故③结论正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 且 ，
∴ ，
∴一元二次方程 有两个不相等的实数根，
故④结论正确．
故答案为：①③④．
【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用二次函数的系数画出大致图像，会利用对称轴
求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的联系，利用根的判别式判断方程的根．44．（23-24·四川绵阳·一模）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣2，0），且对称轴为直线x＝1，其部分图象
如图所示，对于此抛物线有如下四个结论： ac 0； 9a+3b+c 0； 若m n 0，则x＝1+m时的函数
① > ② > ③ > >
值大于x＝1﹣n时的函数值； 点（﹣ ，0）一定在此抛物线上．其中正确结论的序号是 （填写所有
④
正确结论的序号）．
【答案】②④
【分析】利由抛物线的位置可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为
（4，0），代入解析式则可对②进行判断；由抛物线的对称性和二次函数的性质可对③进行判断；抛物线
的对称性得出点（-2，0）的对称点是（4，0），由c=-8a 即可得出- =4，则可对④进行判断．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（-2，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（4，0），
∴x=3时，y＞0，则9a+3b+c＞0，故②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∴横坐标是1-n的点的对称点的横坐标为1+n，
∵若m＞n＞0，
∴1+m＞1+n，
∴x=1+m时的函数值小于x=1-n时的函数值，故③错误；∵抛物线的对称轴为- =1，
∴b=-2a，
∴抛物线为y=ax2-2ax+c，
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点（-2，0），
∴4a+4a+c=0，即8a+c=0，
∴c=-8a，
∴- =4，
∵点（-2，0）的对称点是（4，0），
∴点（- ，0）一定在此抛物线上，故④正确，
故答案为：②④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛
物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置；常数项c决定抛物线与y
轴交点位置；抛物线与x轴交点个数由Δ决定．
45．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，函数 的图象过点 和 ，下列判断：
① ；
② ；
③ ；
④ 和 处的函数值相等．
其中正确的是 （只填序号）．
【答案】①③④【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与 轴的交点即可判断①；根据 、 的符号得出 ，即可
得到 ，根据 时， 得到 ，即可得到 ，即可判断②；根据抛物线
与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④．
【详解】解： 抛物线开口向下，
，
抛物线交 轴于正半轴，
，
，
，
，故①正确，
， ，
，
，
时， ，则 ，
，
，故②错误，
的图象过点 和 ，
方程 的根为 ， ，
方程 的根为 ，
，
，故③正确；
的图象过点 和 ，
抛物线的对称轴为直线 ，，
和 处的函数值相等，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数 决定
抛物线的开口方向：当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和二次项系
数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时（即 ，对称轴在 轴左；当 与 异号时（即 ，
对称轴在 轴右；常数项 决定抛物线与 轴交点：抛物线与 轴交于 ；△决定抛物线与 轴交点个数：
△ 时，抛物线与 轴有2个交点；△ 时，抛物线与 轴有1个交点；△
时，抛物线与 轴没有交点．
