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专题 05 二次函数图象和性质与系数的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、二次函数中含参数的图像和性质
类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题
类型三、二次函数图像与各项系数符号问题
类型四、二次函数中含参数的综合问题
压轴专练
类型一、二次函数中含参数的图像和性质
①长方体/正方体（6个面，12条棱，8个顶点；相对面平行且相等）；
②圆柱体（2个圆形底面，1个长方形侧面）；
③圆锥体（1个圆形底面，1个扇形侧面）；
④棱锥体（1个多边形底面，若干三角形侧面）.
例1．在平面直角坐标系中，拋物线 经过点 ， ．则下列说法错误的是
（ ）
A．若 ，抛物线的对称轴为直线
B．若 且 ，则 的取值范围为 或
C．若 ，则抛物线的开口向下
D．若 ，点 在该拋物线上， 且 ，则有
【变式1-1】已知二次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数图象的顶点坐标为
B．当 时， 的值随 的增大而增大C．当 ， 时， 的取值范围是
D．当 时， 的最大值为8，则 或
【变式1-2】二次函数 ，有下列结论：
①该函数图象过定点 ；
②当 时，函数图象与 轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在 轴的右侧；
④当 时，点 ， 是曲线上两点，若 ， ，则 ．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1-3】（23-24九年级上·天津河北·期末）已知二次函数 为非零常数， ，
当 时， 随 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当 时， 随 的增大而减小；
②若图象经过点 ，则 ；
③若 ， 是函数图象上的两点，则 ；
④若图象上两点 ， 对一切正数 ，总有 ，则 ．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题
①长方体/正方体（相对面平行且相等，前后面相等，左右面相等，上下面相等，相邻面垂直，共棱处成
90度，棱长关系固定）
②圆柱体（底面特征，两个底面完全相同，底面都是圆形，侧面特征，展开为矩形，宽度等于底面周
长，高度等于圆柱高度）
③圆锥体（底面特征，圆形底面，侧面特征，扇形展开图，扇形半径是斜高，弧长等于底面周长）
例2．已知二次函数 的部分函数图象如图所示，则一次函数 与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数
在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】若二次函数 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数
与反比例函数 在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【变式2-3】已知反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 和一次函数 在同一
平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
类型三、二次函数图像与各项系数符号问题
1.长方体/正方体：①数量关系（8个顶点，12条棱，6个面）；②位置关系（每个顶点连接3条棱，每
个面有4条棱，每条棱连接2个面）
2.棱柱：①数量关系（顶点数=2n（n为底面边数），棱数=3n，面数=n+2）；②位置关系（
侧棱平行，底面形状相同）
3.棱锥：①数量关系（顶点数=n+1，棱数=2n，面数=n+1）；②位置关系（侧棱交于顶点，n个三角形侧
面）.
例3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴是直线
，且过点 ，有以下结论：① ；② ；③ （m为任意
实数）；④若方程 的两根为 ， ，且 ，则 ，⑤ ，其中说法
正确的有 ．【变式3-1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线 与 轴交于点 和
点 ，以下结论正确的是 ．（填写序号）
① ；② ；③ ；④当 时， ；⑤ 为任意实数，则 ，
⑥若 ，且 ，则 ．
【变式3-2】二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，
抛物线与y轴交点在 和 之间（不与 重合）．下列结论：① ；② ；③
；④当 时， ；⑤a的取值范围为 ．其中正确结论有
（填序号）【变式3-3】二次函数 的图象如图所示．下列结论：① ；② ；③若
为任意实数，则有 ；④ ；⑤若 且 ，则 ．其
中正确结论有
类型四、二次函数中含参数的综合问题
①长方体/正方体（6个面，12条棱，8个顶点；相对面平行且相等）；
②圆柱体（2个圆形底面，1个长方形侧面）；
③圆锥体（1个圆形底面，1个扇形侧面）；
④棱锥体（1个多边形底面，若干三角形侧面）.
例4．已知二次函数 ．
(1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）．
(2)当 时，二次函数的最小值为 ，求此时二次函数的解析式．
【变式4-1】已知二次函数 ，其中 ．
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)若 ，当 时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值；
(3)若 ， 是图象上不同的两点，当 时，求m的值．
【变式4-2】已知抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线 的顶点坐标；
(2)平移抛物线 ，使其顶点在直线 上，得到抛物线 ．（ⅰ）若抛物线 的顶点关于坐标原点 的对称点在抛物线 上，求抛物线 的解析式；
（ⅱ）若点 ， 在抛物线 上，当 时，都有 ，求抛物线 顶点纵坐标的最大
值．
【变式4-3】已知二次函数 ．
(1)若二次函数经过点 ，
①求二次函数解析式；
②当 时，求 的取值范围；
(2)若 ，点 、 、 在二次函数图象上，请比较 的大小．
一、单选题
1．二次函数 的图象上有 ， 两点．下列选项正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数 （a，b为常数，且 ）的图象与二次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．3．下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象
形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时， 随 的增大而减小；④该函数的图象的顶点
在函数 的图像上，其中正确的有 （ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图是抛物线 的一部分，抛物线的对称轴为直线 ，有以下5个结论：
① ； ② ； ③ ；
④ ⑤ ，
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题
5．已知抛物线 关于 对称，其部分图象如图所示，则 ．
6．已知点 ， ， 在二次函数 的图象上，则 ， ， 之间的大
小关系是 （用“ ”连接）．
7．已知抛物线 ，点 ， 是抛物线上两点，且 ．（1）抛物线的对称轴为 （用含有 的式子表示）；
（2）当 时，始终满足 ，则 的取值范围是 ．
8．如图，已知抛物线 图象的对称轴是直线 ，且过点 ，顶点在第一象限，
其部分图象如图所示．下列命题中：① ；② ；③对于任意实数m，都有 ；
④ 是抛物线 上的两个点，若 且 ＞2，则 ．
真命题的序号是 ．
三、解答题
9．已知二次函数 （ 是常数且 ）．
(1)若 ，求出该函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数图象经过原点，当 时，函数的最大值恰好是 ，求 的值．
10．在平面直角坐标系 中，已知点 在二次函数 的图象上．
(1)若 ，求二次函数 的顶点坐标；
(2)若对于 ，有 ，求实数 的取值范围．
11．已知二次函数 为常数，且
(1)若函数图象过点 ，求a的值．
(2)当 时，函数的最大值为M，最小值为N，若 ，a的值．
12．已知二次函数 ．
(1)若二次函数经过 ，求二次函数的解析式；(2)当 时，函数有最大值为6，求t的值；
(3)在二次函数图象上任取两点 ， ，当 时，总有 ，求t的取值范围．
13．已知二次函数 （ ）．
(1)若函数经过 ，求二次函数的解析式；
(2)若点 ，点 均在函数图象上，求 的值；
(3)当 时，函数最大值为7，求 的值．
14．已知，二次函数 ，x与y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … t m p n …
(1)当 时，
若 ，求二次函数解析式．
①若 ，求证： ．
②(2)若 ，且当 时，函数y有最大值，求a的取值范围．
15．已知二次函数 （ 为常数）的图象的顶点坐标为 ．
(1)求二次函数的表达式．
(2)已知点 在 的图象上， ．
①若 ，请比较 与 的大小并说明理由．
②若 （ 为常数），当 时，求 的范围并说明理由．
