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专题 05 二次函数图象和性质与系数的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、二次函数中含参数的图像和性质
类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题
类型三、二次函数图像与各项系数符号问题
类型四、二次函数中含参数的综合问题
压轴专练
类型一、二次函数中含参数的图像和性质
①长方体/正方体（6个面，12条棱，8个顶点；相对面平行且相等）；
②圆柱体（2个圆形底面，1个长方形侧面）；
③圆锥体（1个圆形底面，1个扇形侧面）；
④棱锥体（1个多边形底面，若干三角形侧面）.
例1．在平面直角坐标系中，拋物线 经过点 ， ．则下列说法错误的是
（ ）
A．若 ，抛物线的对称轴为直线
B．若 且 ，则 的取值范围为 或
C．若 ，则抛物线的开口向下
D．若 ，点 在该拋物线上， 且 ，则有
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质：
若 ，把点 代入 ，求出a的值，可求出抛物线解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；求出抛物线与x轴的另一个交点为 ，再根据二次函数的图象，即可求解；
若 ，把点 代入 可得 ，再由 ，可得 ， ，从而
得到抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线 ，然后根据 ，可得
，再根据 ，可得 到对称轴的距离大于 对称轴的距离，即可求解．
【详解】解：当 时，点 ，
把点 代入 得： ，
解得： ，
∴该函数解析式为 ，
∵ ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；选项A说法正确，不符合题意；
令 ，则 ，
解得： ，
∴抛物线与x轴的另一个交点为 ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
∴当 时，m的取值范围为 或 ；选项B说法正确，不符合题意；
若 ，
把点 代入 得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴抛物线开口向下，选项C说法正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 到对称轴的距离大于 对称轴的距离，
∴ ．选项D说法错误，符合题意；
故选：D．
【变式1-1】已知二次函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数图象的顶点坐标为
B．当 时， 的值随 的增大而增大
C．当 ， 时， 的取值范围是
D．当 时， 的最大值为8，则 或
【答案】D
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．根据条件和二次函数
的性质，逐项分析判断原说法的正误即可．
【详解】解：A、当 时， ，顶点坐标是 ，故原说法
错误，不符合题意；
B、当 时， ，当 时， 的值随 的增大而增大，但前提条件没有说
，故原说法错误，不符合题意；C、当 时， ，当 时， ，解得 ，故原说法错误，不符合题意；
D、抛物线对称轴是直线 ．
若 ，则 时， 的最大值为8，
∴ ，
∴ ；
若 ，则 时， 的最大值为8，
∴ ，
∴ ．
∴当 时， 的最大值为8，则 或 ，正确，符合题意；
故选：D．
【变式1-2】二次函数 ，有下列结论：
①该函数图象过定点 ；
②当 时，函数图象与 轴无交点；
③函数图象的对称轴不可能在 轴的右侧；
④当 时，点 ， 是曲线上两点，若 ， ，则 ．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将抛物线整理为
，即可判断①，将 代入并计算 即可判断
②，计算抛物线的对称轴并根据 即可判断③；根据题意确定对称轴的范围后可确定 、 的位置，
再根据增减性即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】解： ，
当 时， ，该函数图象过定点 ，故①正确；
当 时， ，
，
函数图象与 轴无交点，故②正确；
抛物线的对称轴为： ，
，
，
当 时，对称轴在 轴左侧，当 时，对称轴在 轴右侧，故③错误；
，
，
， ，
， 在对称轴左侧， ， 在对称轴右侧，
，
抛物线开口向上，在对称轴左侧， 随 增大而减小，在对称轴右侧， 随 增大而增大，
当 时， ，
当 时， ，
此时， ，
，
，
，故④错误，
故选：B．
【变式1-3】（23-24九年级上·天津河北·期末）已知二次函数 为非零常数， ，当 时， 随 的增大而增大，则下列结论正确的是（ ）
①当 时， 随 的增大而减小；
②若图象经过点 ，则 ；
③若 ， 是函数图象上的两点，则 ；
④若图象上两点 ， 对一切正数 ，总有 ，则 ．
A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解
答本题．
【详解】解：①：∵二次函数 为非零常数， ，
，
又∵当 时， 随 的增大而增大，
∴ ，开口向下，
∴当 时， 随 的增大而减小，
故①正确；
②：∵二次函数 为非零常数， ，当 时， 随 的增大而增大，
，
若图象经过点 ，则 ，
得 ，
，
∴ ，
故②错误；
③：又∵对称轴为直线 ， ，
∴ ，∴若 ， 是函数图象上的两点，2021离对称轴近些，则 ，
故③正确；
④若图象上两点 ， 对一切正数n，总有 ， ，
∴该函数与x轴的两个交点为 ，
∴ ，
解得 ，
故④正确；
∴①③④正确；②错误．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二
次函数的性质解答．
类型二、一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判断问题
①长方体/正方体（相对面平行且相等，前后面相等，左右面相等，上下面相等，相邻面垂直，共棱处成
90度，棱长关系固定）
②圆柱体（底面特征，两个底面完全相同，底面都是圆形，侧面特征，展开为矩形，宽度等于底面周
长，高度等于圆柱高度）
③圆锥体（底面特征，圆形底面，侧面特征，扇形展开图，扇形半径是斜高，弧长等于底面周长）
例2．已知二次函数 的部分函数图象如图所示，则一次函数 与反比例函数
在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的图象，根据二次函数的图象确定 ，
， ，再去判断一次函数与反比例函数的图象即可．
【详解】∵二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图象开口向上，与x轴有两个交点，
∴ ， ，
∴一次函数 的图象位于第一，二，三象限，排除选项A，C；
由二次函数的部分函数图象可知，点 在x轴上方，
∴ ，
∴ 的图象位于第一，三象限，
据此可知，符合题意的是B，
故选：B．
【变式2-1】二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数
在同一直角坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，根据二次函数的图象得出 ， ，
， ，从而得出 ，即可判断一次函数图象所经过的象限，由当 时，，即可判断反比例函数的图象所经过的象限，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：抛物线 开口向上，抛物线对称轴在 轴右侧，交 轴于负半轴，
与 轴有 个交点，
， ， ， ，
，
，
一次函数 的图象经过第一、二、三象限，
在抛物线 中，当 时， ，
反比例函数 经过第一、三象限，
故选：A．
【变式2-2】若二次函数 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数
与反比例函数 在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质，一次函数和反比例函数的图象和性质．观察抛物线的图象
可得 ， ，从而得到一次函数 图象经过第一、二、四象限，反比例函数 图象
位于第一、三象限，即可求解．【详解】解：观察抛物线的图象得：抛物线与y轴交于正半轴，开口向下，且对称轴位于y轴的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴一次函数 图象经过第一、二、四象限，反比例函数 图象位于第一、三象限，
∴一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系的图象可能是
故选：C
【变式2-3】已知反比例函数 的图象如图所示，则二次函数 和一次函数 在同一
平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、一次函数、二次函数图象综合判断、一次函数与反比例
函数图象综合判断
【分析】本题主要考查反比例函数，二次函数，一次函数的性质和图像；先根据抛物线 过原点
排除A，再根据反比例函数图象确定 的符号，再由 的符号确定抛物线 与直线在直角坐标系中的位置即可．
【详解】∵抛物线 的常数项为0，
抛物线一定经过原点，故A错误.
∵反比例函数 的图象在第一、三象限，
，即 同号
当 ，抛物线 的对称轴在 轴左侧，直线 经过第二、三、四象限，故D错误.
当 ，抛物线 的对称轴在 轴右侧，直线 经过第一、二、三象限，故B错误，
C正确．
故选：C．
类型三、二次函数图像与各项系数符号问题
1.长方体/正方体：①数量关系（8个顶点，12条棱，6个面）；②位置关系（每个顶点连接3条棱，每
个面有4条棱，每条棱连接2个面）
2.棱柱：①数量关系（顶点数=2n（n为底面边数），棱数=3n，面数=n+2）；②位置关系（
侧棱平行，底面形状相同）
3.棱锥：①数量关系（顶点数=n+1，棱数=2n，面数=n+1）；②位置关系（侧棱交于顶点，n个三角形侧
面）.
例3．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴是直线
，且过点 ，有以下结论：① ；② ；③ （m为任意
实数）；④若方程 的两根为 ， ，且 ，则 ，⑤ ，其中说法
正确的有 ．【答案】②③④⑤
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解二次函数的开口方向，对称轴，与坐
标轴交点的关系等知识．
根据抛物线开口方向、对称轴、与 轴的交点可对①⑤进行判断；根据抛物线的对称性可知 时，
，可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；根据函数与方程的关系可对④进行判断．
【详解】解： 抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，则 ，
∴ ，所以⑤正确；
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
，所以①错误；
抛物线对称轴是直线 ，且过点 ，
抛物线过点 ，
时， ，
，所以②正确；
抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， 有最小值，
（ 为任意实数），
则 ，所以③正确；
方程 的两根为 ， ，且 ，抛物线与直线 有两个交点 ， ，
由图象可知 ，所以④正确．
故答案为：②③④⑤．
【变式3-1】（24-25九年级上·广东珠海·期中）如图，抛物线 与 轴交于点 和
点 ，以下结论正确的是 ．（填写序号）
① ；② ；③ ；④当 时， ；⑤ 为任意实数，则 ，
⑥若 ，且 ，则 ．
【答案】①③⑥
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定
①②⑤，根据 时 的值判定③，由抛物线图象和性质判定④，利用因式分解可判定⑥．
【详解】解： 抛物线开口向上，则 ，
抛物线 与 轴交于点 和点 ，
对称轴为直线 ，
则 ，
，即 ，故②不正确；
抛物线开口向上，
∴ ，
，
抛物线与 轴的交点在负半轴，则 ，，故①正确；
抛物线 过点 ，
又
，即 ，故③正确；
抛物线 与 轴交于点 和点 ，
当 时，由图象可得 或 ，故④不正确；
对称轴为直线 ， ，
当 时，抛物线有最小值 ，
当 为任意实数，则 ，
即 ，故⑤不正确；
若 ，且 ，
∴ ，
，
整理得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故⑥正确．
综上，正确的有①③⑥．
故答案为：①③⑥．
【变式3-2】二次函数 的部分图象如图所示，图象过点 ，对称轴为直线 ，
抛物线与y轴交点在 和 之间（不与 重合）．下列结论：① ；② ；③；④当 时， ；⑤a的取值范围为 ．其中正确结论有
（填序号）
【答案】③④⑤
【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 ，二次项系数 决定
抛物线的开口方向和大小：当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数 和
二次项系数 共同决定对称轴的位置：当 与 同号时（即 ，对称轴在 轴左；当 与 异号时（即
，对称轴在 轴右；常数项 决定抛物线与 轴交点位置：抛物线与 轴交于 ．根据抛物线的开
口方向、与 轴的交点、对称轴可判断①；由抛物线与 轴的交点及抛物线的对称性可判断②，对称轴为
直线 ，即可判断③；由抛物线与 轴有两个交点，且对称轴为直线 ，即可判断④．由抛物线与y
轴交点在 和 之间（不与 重合）．判断⑤；
【详解】解：∵二次函数 的部分图象如图所示，
∴开口向下，
∵图象过点 ，对称轴为直线 ，
∴
∴
∵抛物线与y轴交点在 和 之间（不与 重合）．
∴
∴
故①错误；∵
∴
故③正确；
∵如图：
则图象过点 ，抛物线开口向下
把 代入
∴
∴
故②错误；
∵则图象过点 ，对称轴为直线
∴抛物线与 轴的另一个交点为
∵抛物线开口向下
∴当 时，
故④正确的；
把 代入 ，
得
∵
∴
∴
∵
∴故⑤正确的
故答案为：③④⑤．
【变式3-3】二次函数 的图象如图所示．下列结论：① ；② ；③若
为任意实数，则有 ；④ ；⑤若 且 ，则 ．其
中正确结论有
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴求得 与 的关系，以及熟练掌握二
次函数与方程、不等式之间的转化，是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断 的大小，根据抛物线与 轴的交点判断 的大小，根据对称轴和抛物线与 轴的
交点情况进行推理，对结论逐一判断，即可解答．
【详解】解：图象的开口向下，与 轴交于正半轴，对称轴在 轴右边，
可得： ， ，故①正确；
根据对称轴为直线 ，抛物线与 轴的交点在 的左边，
可得：抛物线与 轴的另一个交点在 和 之间，
当 时， ，故②正确；
当 时，函数具有最大值为 ，
，即 ，故③错误；
根据 ，可得 ，由②得 ，故④正确；
∵ ，
∴ ，令 ，
则： 在二次函数 上，
，
关于对称轴直线 对称，
根据中点公式可得 ，
，故⑤错误；
故答案为：①②④．
类型四、二次函数中含参数的综合问题
①长方体/正方体（6个面，12条棱，8个顶点；相对面平行且相等）；
②圆柱体（2个圆形底面，1个长方形侧面）；
③圆锥体（1个圆形底面，1个扇形侧面）；
④棱锥体（1个多边形底面，若干三角形侧面）.
例4．已知二次函数 ．
(1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）．
(2)当 时，二次函数的最小值为 ，求此时二次函数的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法求二次
函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象性质．
（1）将函数解析式化成顶点式，即可求解；
（2）根据抛物线开口向上．对称轴为直线 ，得出 在对称轴的左侧，则当
时，y最小为 ，得出 ，解得 ．再根据 ，则 ，得到，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数 ，
∴顶点坐标为 ．
（2）解：∵1＞0，
∴抛物线开口向上．
∵对称轴为直线 ，
∴ 在对称轴的左侧，
∴当 时，y最小为 ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
此时二次函数的解析式为 ．
【变式4-1】已知二次函数 ，其中 ．
(1)求该二次函数图象的对称轴；
(2)若 ，当 时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，求t的值；
(3)若 ， 是图象上不同的两点，当 时，求m的值．
【答案】(1)直线
(2)
(3)
【分析】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）根据二次函数的对称轴公式求解即可；
（2）有 得到表达式，然后求出当 时，二次函数有最小值3，求出当 时，
，然后根据题意得到当 时， ，然后代入求解即可；（3）根据题意得到 ，然后得到点 和点 关于对称轴对称，即可得
到 ．
【详解】（1）∵二次函数
∴对称轴为直线 ；
（2）若 ，
∴二次函数
∴当 时，二次函数有最小值3
∴当 时，
∵当 时，该二次函数的最大值与最小值的差等于9，
∴当 时，
∴
解得 （舍去）或 ；
（3）∵若 ， 是图象上不同的两点，当 时，
∴
由（1）得，该二次函数图象的对称轴为直线
∴点 和点 关于对称轴对称
∴ ．
【变式4-2】已知抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线 的顶点坐标；
(2)平移抛物线 ，使其顶点在直线 上，得到抛物线 ．
（ⅰ）若抛物线 的顶点关于坐标原点 的对称点在抛物线 上，求抛物线 的解析式；
（ⅱ）若点 ， 在抛物线 上，当 时，都有 ，求抛物线 顶点纵坐标的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）抛物线 的解析式为 或 ；（ⅱ）3
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移问题，一次函数图象上的点的坐标
特点，熟知二次函数的相关知识是解题的关键。
（1）利用待定系数法求解函数解析式，再把解析式化为顶点式即可得到答案；
（2）设抛物线 的顶点的横坐标为 ，则抛物线 的顶点坐标为 ，根据关于原点对称的点横纵
坐标互为相反数可推出点 在抛物线 上将 代入 ，得
，解方程即可得到答案；
（ⅱ）设抛物线 的顶点的横坐标为 ，由（ⅰ）得 ，则可得到
， ，进而得到 ，根据 ， ，得
到 ，则 ，再由抛物线 的顶点的纵坐标为 ，可得当 时， 取最大值，最
大值为 ．
【详解】（1）解：将点 代入 中，得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
抛物线 的顶点坐标为 ；
（2）解：（ⅰ）设抛物线 的顶点的横坐标为 ，
抛物线 的顶点在直线 上，抛物线 的顶点坐标为 ，
抛物线 的解析式为 ，
点 关于坐标原点 的对称点为 ，且点 在抛物线 上
∴将 代入 ，得 ，
整理，得 ，
解得 ， ，
抛物线 的解析式为 或 ；
（ⅱ）设抛物线 的顶点的横坐标为 ，
由（ⅰ）得 ，
， 在抛物线 上，
， ，
，
，
，
，
，
，
，抛物线 的顶点的纵坐标为 ，
当 时， 取最大值，最大值为 ．
【变式4-3】已知二次函数 ．
(1)若二次函数经过点 ，
①求二次函数解析式；
②当 时，求 的取值范围；
(2)若 ，点 、 、 在二次函数图象上，请比较 的大小．
【答案】(1)① ；②
(2)
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据自变量的范围求函数值的范围，二次函数的增减性，解
题关键是利用待定系数法求出二次函数解析式．
（1）①把 代入 ，求出 ，就可得二次函数解析式；
②先求出二次函数的最小值，再在自变量范围内求出最大值即可；
（2）先分别求得 ， ， ，判断各自的符号，再比较的大小．
【详解】（1）解：①把 代入 ，得： ，解得 ，
二次函数解析式为 ；
② 在“ ”范围内，
，
对称轴为直线 ，二次项系数为 ，
抛物线的开口向上，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
；
（2）当 时，
当 时，
，
，当 时 ，
，
当 时， ，
．
一、单选题
1．二次函数 的图象上有 ， 两点．下列选项正确的是（ ）
A．当 时， B．当 时，
C．当 时， D．当 时，【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图像上的点和因式分解，比较点 和 的纵坐标大小，需分
析二次函数对称轴及开口方向，结合不同a的取值区间判断函数值关系，解题的关键是比较两个数的大小
用作差法；
【详解】解：求对称轴：二次函数 的对称轴为 .
∴ （代入 ）， （代入 ）.
∴ .
分析表达式 的符号：
当 ： 均为负，乘积为负，故 ，故选项A正确.
当 ： ，乘积为正，故 ，故故选项B、C错误.
当 ： ，乘积为负，故 ，
当 ： 均为正，乘积为正，故 ，但选项D包含 区间，故整体错误.
故选项：A
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数 （a，b为常数，且 ）的图象与二次函数
的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象等知识点，灵活运用利用一次函数的性质和二次函数
的性质是解题的关键．
根据各个选项中的图象，可以判断出一次函数 中a、b的正负情况与二次函数 中a、b的正负情况，然后逐项判断即可解答．
【详解】解：A、由二次函数图象可知： ，由一次函数图象可知： ，故选项A错误，
不符合题意；
B、由二次函数图象可知： ，由一次函数图象可知： ，故选项B正确，符合题意；
C、由二次函数图象可知： ，由一次函数图象可知： ，故选项C错误，不符合题意；
D、由二次函数图象可知： ，由一次函数图象可知： ，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
3．下列关于二次函数 （ 为常数）的结论，①该函数的图象与函数 的图象
形状相同；②该函数的图象一定经过点 ；③当 时， 随 的增大而减小；④该函数的图象的顶点
在函数 的图像上，其中正确的有 （ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．通过
分析二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及特定点代入，逐一验证各结论的正确性．
【详解】解： 二次函数形状由二次项系数决定，原函数为 ，其二次项系数为 ，与
的系数相同，故两函数图象形状相同，结论①正确；
对于 ，当 时，即 ，该函数的图象一定经过
点 ，结论②正确；
由二次函数的性质可知，当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小，结论③错
误；
的顶点坐标为 ，对于二次函数 ，当 时， ，即该函数
的图象的顶点 在函数 的图象上，结论④正确；
综上，正确结论为①②④，共3个，故选：C．
4．如图是抛物线 的一部分，抛物线的对称轴为直线 ，有以下5个结论：
① ； ② ； ③ ；
④ ⑤ ，
其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系， 根据函数图像可知： ， ，由对称轴
直线可知 ，可得出 ，进而可判断①②，由二次函数的对称性可判断③，当 时，
，结合 可判断④，由二次函数的最大值可判断⑤．
【详解】解：根据函数图像可知： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①正确，
，故②正确，
∵抛物线的对称轴为直线 ，
∴当 和 时，y值相等，且当 时， ，
即 ，故③正确，
当 时， ，
∵
∴ ，
∴即
∴ ，故④正确，
∵抛物线开口向下，对称轴为 ，
∴当 时，y有最大值 ，
当 时， ，
∴
∴ ，故⑤正确，
综上：①②③④⑤正确，
故选∶D
二、填空题
5．已知抛物线 关于 对称，其部分图象如图所示，则 ．
【答案】
【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，利用顶点式求出二次函数的解析式，即可得到a和c的值，
然后代入计算解题．
【详解】解：设抛物线的解析式为 ，把 和 代入得：
，解得 ，
∴ ，
∴ ， ，∴ ，
故答案为： ．
6．已知点 ， ， 在二次函数 的图象上，则 ， ， 之间的大
小关系是 （用“ ”连接）．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．已知抛物线 ，点 ， 是抛物线上两点，且 ．
（1）抛物线的对称轴为 （用含有 的式子表示）；
（2）当 时，始终满足 ，则 的取值范围是 ．
【答案】 直线 或
【分析】本题考查了抛物线的对称性质，二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关
键；
（1）令 ，可求得抛物线与x轴的两个交点坐标，即可求得对称轴；
（2）分 与 两种情况考虑，利用二次函数的图象与性质即可求解．
【详解】解：（1）令 ，则 ；
∵ ，
∴ ；即抛物线与x轴交于点 ，
∴抛物线的对称轴为直线 ；
故答案为：直线 ；
（2）当 时， ，
抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，
∵当 ，且 时，始终满足 ，
∴ ，
解得： ；
∴ ；
当 时， ，
抛物线开口向下，抛物线对称轴的右侧，函数值y随自变量的增大而减小；
∵当 ，且 时，始终满足 ，
∴ ，
即 ，
∴ ；
综上， 或 ；
故答案为： 或 ．
8．如图，已知抛物线 图象的对称轴是直线 ，且过点 ，顶点在第一象限，
其部分图象如图所示．下列命题中：① ；② ；③对于任意实数m，都有 ；
④ 是抛物线 上的两个点，若 且 ＞2，则 ．
真命题的序号是 ．【答案】①③
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可
得 ，可判断结论①；由 可判断结论②；由 处函数值最大可判断结论③；
根据 得到点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离可判断结论④．
【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴，
∴ ，
∵二次函数对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵
∴ ，
∴ ，故②错误；
由 得函数的最大值为 ，
∵抛物线开口向下，
∴不论 取何值，都有 ，
∴ ，故③正确；
∵对称轴是直线 ，
∴若 ，即 时，则 ，
∴当 时，点 到对称轴的距离小于点 到对称轴的距离
∵二次函数开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，∴ ，故④错误．
综上所述，正确的选项是①③．
故答案为：①③．
三、解答题
9．已知二次函数 （ 是常数且 ）．
(1)若 ，求出该函数图象的顶点坐标；
(2)若该函数图象经过原点，当 时，函数的最大值恰好是 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或8
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质
是解题关键．
（1）将 代入即可得二次函数的解析式，再将二次函数的解析式化成顶点式即可得其顶点坐标；
（2）先将点 代入求出二次函数的解析式为 ，再分两种情况：① 和② ，利用
二次函数的增减性求解即可得．
【详解】（1）解：当 时， ，即 ，
将二次函数的解析式化成顶点式为 ，
则该函数图象的顶点坐标为 ．
（2）∵函数 图象经过点 ，
∴ ，
∴ 或 （不符合题意，舍去），
∴ ，其对称轴为直线 ，
∴ 时的函数值与 时的函数值相等，即为 ，
由二次函数的性质可知，当 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大．
则分以下两种情况：由①当 时，则在 内，当 时， 的值最大，
∴ ，
解得 ，符合题设；
②当 时，则在 内，当 时， 的值最大，
∴ ，
解得 或 （不符合题设，舍去）；
综上， 的值为 或8．
10．在平面直角坐标系 中，已知点 在二次函数 的图象上．
(1)若 ，求二次函数 的顶点坐标；
(2)若对于 ，有 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线上的点离对称轴越远近，判断函数值大小是解题关键，
（1）根据顶点公式求解即可；
（1）根据抛物线解析式可得：对称轴 ，开口方向向上，抛物线上的点离对称轴越远，函数值
越大，由此得出 ， 根据 ，得不等式组，分类根据 的取值范围化简绝
对值解不等式组即可．
【详解】（1）解：当 时，二次函数为 ，顶点横坐标为 ，
代入 ，得 ，
故顶点坐标为 ．
（2）∵抛物线 的对称轴 ，开口方向向上，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
又∵点 ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
当 时，不等式组化为
，不等式组无解，
当 时，不等式组化为
，解得： ，
当 时，不等式组化为
，不等式组无解，
当 时，不等式组化为
，解得： ，
综上所述： 的取值范围为 或 ．
11．已知二次函数 为常数，且(1)若函数图象过点 ，求a的值．
(2)当 时，函数的最大值为M，最小值为N，若 ，a的值．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是
解题的关键．
（1）把点 代入解析式即可求得a的值；
（2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为 ，即可求得 时， ，进而求
得当 时， ，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解： 二次函数 的图象过点 ，
，
（2）解：由题意， ，
抛物线的顶点为 ，
时， ，
当 时， ，
当 时，当 时， ， ，
，
，
当 时，当 时， ， ，
，，
的值为 或
12．已知二次函数 ．
(1)若二次函数经过 ，求二次函数的解析式；
(2)当 时，函数有最大值为6，求t的值；
(3)在二次函数图象上任取两点 ， ，当 时，总有 ，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2) 或
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的性质及待定系数法主函数解析式．
（1）把 点的坐标代入函数解析式中求出t即可；
（2）根据二次函数解析式得抛物线开口向上，进而得 或 时，函数有最大值6，分别代入 、
，得到关于t的方程，解方程求出t的值，并验证此时最大值为6即可；
（3）抛物线开口向上，得出称轴为直线 ，根据二次函数图象的增减性结合题意可得关于t的不等式，
解不等式即可．
【详解】（1）解：把 代入函数解析式得，
，
∴ ，
∴函数解析式为： ；
（2）解：∵ ，
∴抛物线开口向上，
∴当 时， 或 时，函数有最大值6，若当 时， ，
解得 ，
当 时， ，将 代入得，
，符合题意；
若当 时， ，
解得 ，
当 时， ，将 代入得，
，符合题意；
综上，t的值为8或 ；
（3）解：∵二次函数 ，
∴二次函数图象的对称轴为 ，
∵当 时，总有 ，开口向上，
∴当点 ， 在对称轴同侧时， 随 的增大而减小，则都在对称轴的左侧，即 ，解得
；
当点 ， 在对称轴异侧时，则对称轴左右两端存在函数值的相等的两段范围，无法保证左边的
函数值一定比右边大，即不合题意，
综上所述， ．
13．已知二次函数 （ ）．
(1)若函数经过 ，求二次函数的解析式；
(2)若点 ，点 均在函数图象上，求 的值；
(3)当 时，函数最大值为7，求 的值．【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的对称性和二次函数
的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
（1）把点 代入 ，求出m即可得解；
（2）由题意可得A、B两点关于抛物线的对称轴对称，求出抛物线的对称轴，进而求解；
（3）分 与 两种情况，根据抛物线的性质得到关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：把点 代入 ，得
，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）解：∵点 ，点 均在函数图象上，
∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，
∵抛物线的对称轴是直线 ，
∴ ，
解得： ；
（3）解：当 时，∵ 时，函数最大值为7，且抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
，
∴当 时，函数取到最大值7，
即 ，
解得： ；
当 时，∵ 时，函数最大值为7，且抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，，
∴当 时，函数取到最大值7，
即 ，
解得： ；
综上： 或 ．
14．已知，二次函数 ，x与y的部分对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … t m p n …
(1)当 时，
若 ，求二次函数解析式．
①若 ，求证： ．
②(2)若 ，且当 时，函数y有最大值，求a的取值范围．
【答案】(1)① ；②见解析
(2) 或
【分析】本题主要考查求出函数解析式以及二次函数的性质，解答本题的关键要熟悉函数与坐标轴的交点，
以及这些点代表的意义及函数特征．
（1）①由 可求出 ，再根据对称性求出 ，故可得抛物线的解析式；
②求得 ， ， ，由 得 ，从而可得结论；
（2）分 和 两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解： 当 时，
①
若 时，抛物线 对称轴为直线 ，
解得
二次函数解析式为 ；
当 时， ，
②当 时， ，
当 时， ，
，即 ；
（2）解：若 时，二次函数解析式为 ，
此抛物线的对称轴为直线
若 ， 函数 有最大值，
且 ，解得
若 ，当 时，函数 有最大值顶点的纵坐标，解得
综上所述， 或
15．已知二次函数 （ 为常数）的图象的顶点坐标为 ．
(1)求二次函数的表达式．
(2)已知点 在 的图象上， ．
①若 ，请比较 与 的大小并说明理由．
②若 （ 为常数），当 时，求 的范围并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ，理由见解析；② ，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，
解题的关键是掌握待定系数法和二次函数的性质．
（1）根据顶点坐标得出对称轴，求出 ，再将 代入求解即可；
（2）①根据 ，得出 ，根据 ， ，得出 ．根据，得出 ，即可得 ．即可得出 ．
②根据 ，得出 ，根据 ，
得出 ，结合 ，得出 ，即 ．根据 ，即可得出 ．
【详解】（1）解： 顶点坐标为 ，
，
．
将 代入 ，得 ．
．
（2）解：① ，
，
，
，
．
，
，
．
，
．
② ，，
，
，
，
，
．
，
．
