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专题 05 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问
题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题..................................................................................1
题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题..................................................................................7
题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题.........................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题
1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况
（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。
2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，
结合图形范围验根防漏解。
3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定
位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。
1．如图，抛物线 （a、c为常数， ）与x轴交于点 两点，与y轴交于点
C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点，连接 ，若 是以 为底边的等腰三角形，求点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点
且 的面积为8，D是 中点．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求 面积的最大值．
(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且 是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
3．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．过点 的直线与 轴交于点 ，
与抛物线交于点 ，连接 ，已知 ．
(1)求 的长．
(2)求 的面积．
(3)抛物线对称轴上是否存在一点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题
1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如 A、B），设抛物线上动点 P(x,y)，分∠A=90°、
∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。
2.解题技巧：用勾股定理（PA²+PB²=AB²等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结
合x范围验根。
3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证
直角合理性。
4．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，连接 ， ．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 ，使 为直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
5．如图，抛物线 经过点 ， ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P为对称轴上的一点，若使 最小，求出此时点P的坐标：
(3)设抛物线的顶点为D， 轴于点E，在y轴上是否存在点M使得 是直角三角形?若存在，请
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由
6．如图，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，
已知 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果
不存在，请说明理由；
(3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，
使 的面积最大？求出 的最大面积及此时M点的坐标．题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足
“直角”+“两直角边相等”。
2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率
（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。
3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），
验证交点合理性。
7．如图，将抛物线 向右平移 个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为 ，与 轴交于点 ，
且 为等腰直角三角形．
(1)求 的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点 ，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交于 、B两点，与y
轴交于点C，且关于直线 对称．
(1)当 时，求y的取值范围；
(2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点 ， 在对称轴右侧抛物线上，若 为等腰
直角三角形， ，试证明： 为定值．
9．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，连接 ．若点
在线段 上运动（点 不与点 重合），过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交 轴于点 ．设
点 的横坐标为 ．(1)求拋物线的函数表达式．
(2)若 ，求 的值．
(3)在点 的运动过程中，是否存在 使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出 的值；若不存
在请说明理由．
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 两点，A点在原点的左侧，
B点的坐标为 ，与y轴交于 点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在直线 上找一点Q，使得 为等腰三角形，写出Q点坐标．
2．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，作直线 ，其中点 ，
点 ．(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 在线段 上运动（点 不与点 ， 重合），过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交 轴于
点 ，是否存在点 使得 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线 与直线 相交于 两点，抛物线与x轴的另一个交点是
点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是抛物线上的一个动点（不与 重合），过点P作 轴于点D，交直线 于点E，连接
，是否存在点P，使 为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由．
4．如图，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴相交
于点 ．
(1)求抛物线的解析式和顶点 的坐标；
(2) 的面积；
(3)点 在抛物线上，且 是以 为底的等腰三角形，求 点的坐标．
5．如图，抛物线 ： ( )与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点为
．(1)求抛物线 的解析式和顶点 的坐标；
(2)将抛物线 上下平移，请问在平移后的抛物线 上是否存在点 ，使得 是以 为腰，点 为直
角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式．
6．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左
侧），与 轴交于点 ，点 是直线 下方的抛物线上一动点．
(1)求线段 的长；
(2)过 点作 轴的平行线交直线 于点 ，求线段 的最大值；
(3)在直线 找一点 ，使得 为等腰三角形，直接写出 点坐标．
7．已知：如图，抛物线 与坐标轴分别交于点 ， ， ，点 是线段 上方抛
物线上的一个动点，过点 作 轴的垂线，交线段 于点 ，再过点 作 轴交抛物线于点 ．
(1)求抛物线解析式；
(2)当点 运动到什么位置时， 的长最大．求出 点坐标
(3)是否存在点 使 为等腰直角三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
抛物线 与抛物线 在第一象限交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)若以 ， ， 为顶点的三角形为直角三角形，求 的值；
(3)当 时，过点 的直线 与抛物线 在第二象限交于点 ，与抛物线 的另一交点
为 ，求四边形 的面积 与 的函数关系式．
9．如图，在等腰三角形 中， ，点 在 轴上，点 在 轴上，点 ，抛物线
的图象经过点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)把 沿 轴正方向平移，当点 落在抛物线上时，求 扫过区域的面积；
(3)在抛物线上是否存在异于点 的点 ，使 是以 为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出
所有符合条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
10．如图，已知抛物线 与 轴相交于 两点，与 轴相交于点 ．(1)求拋物线的表达式．
(2)点 为抛物线上的一个动点，且在直线 的上方，试求 面积的最大值．
(3)点 是线段 上异于 的动点，过点 的直线 轴于点 ，交抛物线于点 ．当 为直
角三角形时，请直接写出点 的坐标．
