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专题 05 二次函数的综合题专训之等腰三角形、直角三角形存在性问
题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题..................................................................................1
题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题..................................................................................7
题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题.........................................................................14
B综合攻坚・能力跃升
题型一、二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题
1.解题思路：先设动点坐标（含参数），结合二次函数表达式确定顶点、交点等关键坐标；再分三种情况
（两腰为已知边、一动一静边、两动边）讨论等腰三角形构成。
2.解题技巧：用两点间距离公式将边长转化为含参数的代数式，简化计算；利用二次函数对称性减少分类，
结合图形范围验根防漏解。
3.解题方法：以代数方程法为主，列边长相等的方程求解参数；辅以几何法（如垂直平分线性质）快速定
位可能点，最后结合函数定义域确定有效解。
1．如图，抛物线 （a、c为常数， ）与x轴交于点 两点，与y轴交于点
C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的一个动点，连接 ，若 是以 为底边的等腰三角形，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)点P的坐标为 或 ．
【分析】本题考查用待定系数法解抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点、求直线的解析式、直线与抛
物线的交点、等腰三角形的性质、二元一次方程组的解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
（1）将点A，B代入抛物线解析式中，转化为解二元一次方程组，解方程组，即可解答；
（2）求出点C的坐标，可判断出 是等腰直角三角形．由 是以 为底边的等腰三角形，可知 ，连接 ，即 平分 ．
过点P作 轴于点D， 轴于点E，则 ．
设点P的坐标为 ，则 ，求出m值，即可解答．
【详解】（1）解：将 代入 ，
得
解得
该抛物线的函数表达式为 ．
（2）当 时， ，则点C的坐标为 ，
是等腰直角三角形．
由 是以 为底边的等腰三角形，可知 ，连接 ，
点P，O在线段 的垂直平分线上，则 ，即 平分 ．
过点P作 轴于点D， 轴于点E，则 ．
设点P的坐标为 ，则 ，
，
解得 ，
点P的坐标为 或 ．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点
且 的面积为8，D是 中点．(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求 面积的最大值．
(3)若点G是该抛物线对称轴上的一点，且 是等腰三角形，请直接写出点G 的坐标
【答案】(1)
(2)2
(3) 或 或
【分析】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、二次函数的图象与性质、
两点坐标距离公式等知识，正确求得函数解析式是解答的关键．
（1）先求得点B坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可；
（2）先由待定系数法可得直线 的函数解析式为为 ，而D是 中点，有 ，过点P作
轴交 于点Q，设 ，则 ，即得
，则 ，由二次函数性质可得
面积的最大值是2；
（3）设 ，分当 时、当 时、当 时三种情况，结合两点坐标距离公式求解
即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ 的面积为8，
∴ ，解得 ，
∴ ，
将 ， 代入 得：
，解得 ，抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：设直线 为 ，将 代入得： ，解得 ，
直线 为 ，
， ，D是 中点，
，
过点P作 轴交 于点Q，如图：
设 ，则 ，
，
，
， ，
时， 有最大值，最大值为2；
即 面积的最大值是2；
（3）解：由 得抛物线的对称轴为直线 ，
根据题意，设 ，
∴ ， ， ，
若 是等腰三角形，分三种情况：
当 时， ，
则 ，解得 ，不合题意，舍去；
当 时， ，
则 ，解得 ，此时 ；
当 时， ，则 ，解得 或 ，
此时 或 ，
综上，满足条件的点P的坐标为 或 或 ．
3．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．过点 的直线与 轴交于点 ，
与抛物线交于点 ，连接 ，已知 ．
(1)求 的长．
(2)求 的面积．
(3)抛物线对称轴上是否存在一点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)4
(2)7
(3) 或 或 或 或
【分析】（1）先求出点A和点E的坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点B的坐标即
可得到答案；
（2）先求出点C坐标，再求出直线 解析式，进而求出点D的坐标，最后根据三角形面积计算公式求解
即可；
（3）分 三种情况，根据两点距离计算公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解； ，
∴ ，
点 坐标为 点 坐标为 ．
将点 分别代入 中得
解得
抛物线解析式为 ．在 中，当 时，则 ，
解得 ，
点 坐标为 ，
∴ ．
（2）解；设直线 的解析式为 ，
∴ ，，
．
把点 代入 ，得 解得
直线 的解析式为 ．
联立
解得
；
（3）解：∵抛物线解析式为 ，
∴对称轴为直线 ，
∵ ，
∴ ．
设 ，
①当 时， ，
解得 ，
；②当 时， ，
解得
或 ；
③当 时， ，
解得
或 ．
综上，点 的坐标为 或 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义等
等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
题型二、二次函数的综合题专训之直角三角形存在性问题
1.解题思路：先确定抛物线与坐标轴交点等定点（如 A、B），设抛物线上动点 P(x,y)，分∠A=90°、
∠B=90°、∠P=90°三类讨论直角顶点。
2.解题技巧：用勾股定理（PA²+PB²=AB²等）或斜率乘积为-1（垂直）列方程，借抛物线表达式消y，结
合x范围验根。
3.解题方法：代数法为主，列坐标方程求解；辅以几何法（过A、B作垂线交抛物线得P），结合图形验证
直角合理性。
4．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，交 轴于点 ，连接 ， ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点 为抛物线对称轴上一点，是否存在点 ，使 为直角三角形？若存在，请直接写出点 的坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点 的坐标为 ， ， ，
【分析】（1）把A，B两点坐标代入抛物线的解析式，构建方程组求出b，c的值即可；
（2）分三种情形：当 为斜边时，当 为斜边时，当 为斜边时，再利用勾股定理分别求解即可．【详解】（1）解：将点 ， 的坐标分别代入 ，
得
解得
∴该抛物线的函数表达式为 ．
（2）解：存在．理由如下：
由抛物线的函数表达式知，抛物线的对称轴为直线 ，
∵ ，
当 时， ，
∴ ，
∴设点 ．
由点 ， ， 的坐标，得
， ，
．
当 为斜边时， ，
整理得： ，
解得 或 ，
∴点 或 ；
当 为斜边时， ，
解得 ，
∴点 ；
当 为斜边时， ，解得 ，
∴点 ．
综上所述，点 的坐标为 ， ， ， ．
【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法等知识，解题的关键
是掌握待定系数法，学会用分类讨论的思想思考问题．
5．如图，抛物线 经过点 ， ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点P为对称轴上的一点，若使 最小，求出此时点P的坐标：
(3)设抛物线的顶点为D， 轴于点E，在y轴上是否存在点M使得 是直角三角形?若存在，请
直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；
（2）连接 交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时 最小，即 最小，求出
直线 解析式为 ，得出当 时， ，即可得出答案；
（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标
为 ，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过点 ， ， ，
∴ ，
解得： ，∴抛物线的解析式为： ；
（2）解：如图1中，连接 交对称轴于点P，
根据对称性可知： ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 最小，即 最小，
设直线 解析式为 ，则 ，
解得 ，
∴直线 解析式为 ，
∵对称轴为直线 ，
∴当 时， ，
∴点P坐标 ．
（3）在y轴上存在点M，能够使得 是直角三角形．
理由如下：
∵ ，
∴顶点D的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
设点M的坐标为 ，则：
， ，
①当A为直角顶点时，由勾股定理，得 ，
即 ，解得 ，
所以点M的坐标为 ；
②当D为直角顶点时，由勾股定理，得 ，
即 ，
解得 ，
所以点M的坐标为 ；
③当M为直角顶点时，由勾股定理，得 ，即
，
解得 或 ，
所以点M的坐标为 或 ；
综上可知，在y轴上存在点M，能够使得 是直角三角形，此时点M的坐标为 或 或
或 ．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾
股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键．
6．如图，抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，
已知 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使 是直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果
不存在，请说明理由；
(3)点M是线段BC上的一个动点，过点M作x轴的垂线，与抛物线相交于点N，当点M移动到什么位置时，
使 的面积最大？求出 的最大面积及此时M点的坐标．【答案】(1)
(2)存在满足条件的点 ，其坐标为 或
(3)点M为 的中点， 的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为
【分析】（1）由 的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出 点坐标，则可表示出 、 和 的长，分 、 两种情
况分别得到关于 点坐标的方程，可求得 点坐标；
（3）由 、 的坐标可求得直线 的解析式，可设出M点坐标，则可表示出N点的坐标，从而可表示出
的长，可表示出 的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点M的坐标．
【详解】（1）解： 在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线解析式为 ；
（2） ，
抛物线对称轴为直线 ，
当 时， ，
，且 ，
，
点 在对称轴上，
可设 ，
， ，
当 时， ，
解得 ，此时 点坐标为 ；
当 时，
解得 （与 重合，舍去）或 ，此时 点坐标为 ；综上可知：存在满足条件的点 ，其坐标为 或 ；
（3）当 时，即 ，解得 或 ，
， ，
设直线 解析式为 ，
由题意可得 ，解得 ，
直线 解析式为 ，
点M是线段 上的一个动点，
可设 ，则 ，
，
，
，
当 时， 有最大值，最大值为4，
此时 ，
，即M为 的中点，
点M为 的中点， 的面积最大，最大面积为4，此时M点坐标为 ．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、
方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用 点的坐标表示出
和 是解题的关键，在（3）中用M点坐标表示出 的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，
综合性较强，难度适中．题型三、二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题
1.解题思路：确定抛物线定点（如A、B），设动点P，分∠A、∠B、∠P为直角顶点三类，每类需满足
“直角”+“两直角边相等”。
2.解题技巧：用坐标表边长，结合勾股定理（直角）与距离相等（等腰）列方程，借抛物线消y；利用斜率
（垂直时积为-1）简化计算，结合图形限x范围。
3.解题方法：代数法联立直角与等腰方程求解；几何法构造全等（如过P作横纵垂线，使直角边等长），
验证交点合理性。
7．如图，将抛物线 向右平移 个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为 ，与 轴交于点 ，
且 为等腰直角三角形．
(1)求 的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点 ，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】(1)1
(2)在图中的抛物线上存在点C，使 为等腰直角三角形，点C的坐标为
【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解
题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解
决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置．
（1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据 为等腰直角三
角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；
（2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接 ，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的
判定定理找出 为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标．
【详解】（1）解：∵将抛物线 向右平移 个单位得到新抛物线，
∴新抛物线的解析式为 ，
∴新抛物线的顶点为 ，
∴ ，
当 时， ，
∴点B的坐标为 ，即 ，∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，解得： 或0（舍去），
∴a的值为1；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接 ，交抛物线的对称轴于点D，则
， ， ，
∵ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 、 为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
由（1）得点B的坐标为 ，对称轴为直线 ，
∴点C的坐标为 ，
故在图中的抛物线上存在点C，使 为等腰直角三角形，点C的坐标为 ．
8．如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线 与x轴交于 、B两点，与y
轴交于点C，且关于直线 对称．
(1)当 时，求y的取值范围；(2)如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点 ， 在对称轴右侧抛物线上，若 为等腰
直角三角形， ，试证明： 为定值．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等三角形
的判定和性质是解题关键．
（1）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围；
（2）分别过 、 作直线 的垂线，垂直为 、 ，根据 为等腰直角三角形，可得
，得到 ， ，得 根据
，即得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于 、B两点，且对称轴为 ，
．
∵抛物线 与x轴交于 两点，
．
． ．
．
∴当 时， ．
∵当 时， ，
当 时， ．
故 的取值范围为 ；
（2）证明：分别过 、 作直线 的垂线，垂直为 、 ．
则 ．
．
又 为等腰直角三角形，
， ．
．．
．
， ．
， ，
， ．
．
∵ ， ，
∴ ．
．
．
为定值．
9．如图，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ，连接 ．若点
在线段 上运动（点 不与点 重合），过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交 轴于点 ．设
点 的横坐标为 ．
(1)求拋物线的函数表达式．
(2)若 ，求 的值．
(3)在点 的运动过程中，是否存在 使得 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出 的值；若不存
在请说明理由．
【答案】(1)抛物线解的函数表达式为
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识：
（1）根据题意设 代入 ，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）设 ，得 ， ，求出 ， ，
根据 列方程，求出方程的解即可；（3）先证明 是等腰直角三角形，得 ，再分 和 两种情况列出关
于 的方程，求出方程的解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 与 轴交于 两点，
∴设
代入 ，得
解得：
∴抛物线解的函数表达式为 ；
（2）解：设直线 的解析式为 ，
把 , 代入解析式得，
，
解得，
∴直线 的解析式为 ；
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为
∴ ， ，
∴ ； ，
∵ ，
∴ ，
整理得， ，
解得， 或 （不合题意，舍去）
∴ ；
（3）解：由②知 ， ， ，
∵ ，
∴ ，又 轴，
∴
∴ ，
若 是等腰直角三角形，则有：
①当 时，连接 ，如图，
∴ ，
∵
∴
∴ 轴，
∴
∴ ，
解得， 或 （不合题意，舍去）
②当 时，如图，连接 则 作 于点K，
则 且 轴，
∴
∵
∴∴ ，
∵
∴
解得， 或 （不符合题意，舍去），
综上，当 或 时， 为等腰直角三角形
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与x轴交于 两点，A点在原点的左侧，
B点的坐标为 ，与y轴交于 点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)在直线 上找一点Q，使得 为等腰三角形，写出Q点坐标．
【答案】(1) ；
(2)Q点坐标为 或 或 或 ．
【分析】（1）根据点 的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）设点 的坐标为 ，利用两点之间的距离公式可得 ， ， 的值，再分 、
和 三种情况，分别建立方程，解方程即可得．
【详解】（1）解：将点 代入二次函数 得： ，
解得 ，
则这个二次函数的表达式为 ；
（2）解：设点 的坐标为 ，∵ ，
∴ ， ， ，
①当 时， 为等腰三角形，
则 ，即 ，
解得 或 （此时点 与点 重合，不符合题意，舍去），
当 时， ，
所以此时点 的坐标为 ；
②当 时， 为等腰三角形，
则 ，即 ，
解得 或 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ；
③当 时， 为等腰三角形，
则 ，即 ，
解得 ，
此时 ，
所以此时点 的坐标为 ，
综上，点 的坐标为 或 或 或 ．
【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的综合问题、等腰三角形的定义、一元二次方程的应
用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
2．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，作直线 ，其中点 ，
点 ．(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点 在线段 上运动（点 不与点 ， 重合），过点 作 轴的垂线，交抛物线于点 ，交 轴于
点 ，是否存在点 使得 为等腰直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点 的坐标为 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键．
（ ）把点 ， 点 代入 即可求解；
（2）分当 时和当 时两种情况分析即可；
【详解】（1）解：∵抛物线 过点 ，点 ，
∴ ，解得： ，
∴该抛物线的解析式为 ；
（2）存在，理由：
令 ，则 ，
解得 ，
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
∵ ， ，
∴ ， ，解得 ，
∴ ，直线 的解析式为 ，
设点E的坐标为 ，则 ， ，
∵ 轴，
∴ ，
∴ ；当 时， ，如图 ，
∴ ，即 解得： ， （舍去），
∴此时 ；
当 时，如图 ，作 于点 ，则有 ，
∴ ，解得： ， （舍去），
∴此时 ；
综上可知：点 的坐标为 或 ．
3．如图，抛物线 与直线 相交于 两点，抛物线与x轴的另一个交点是
点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是抛物线上的一个动点（不与 重合），过点P作 轴于点D，交直线 于点E，连接
，是否存在点P，使 为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由．【答案】(1)
(2)存在点P，使 为直角三角形，且点P的坐标为 或
【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、勾
股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式、全面分类是解题的关键；
（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出点C的坐标，然后设点 ，则 ， ，利用两点间的距离公式
表示出 ，再分三种情况：当 、 、 时，利用勾股定理列出
方程求解即可．
【详解】（1）解：把 代入直线 ，得 ，
∴ ，
把 代入抛物线的解析式可得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式是 ；
（2）解：对于 ，当 时， ，
解得 ，
∴ ，
设点 ，则 ， ，
∴ ， ，
，
若 为直角三角形，
则当 时， ，
∴ ，即
解得： 或 （舍去）；
此时点P的坐标为 ；
当 时， ，
∴ ，即
解得： ；此时点P的坐标为 ；
当 时， ，
∴ ，
解得： （舍去）；
综上，存在点P，使 为直角三角形，且点P的坐标为 或 ．
4．如图，已知在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴相交
于点 ．
(1)求抛物线的解析式和顶点 的坐标；
(2) 的面积；
(3)点 在抛物线上，且 是以 为底的等腰三角形，求 点的坐标．
【答案】(1) ； ；
(2)
(3) 或
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，涉及到了二次函数的图象性质，割补法求三角形面积，等腰三
角形的判定等知识点，熟悉掌握各知识点是解题的关键．
（1）把 ， 代入 运算求解即可；
（2）利用割补法运算求解即可；
（3）根据等腰三角形的性质推出 ，列方程运算求解即可．
【详解】（1）解：把 ， 代入 可得：
，
解得： ，
∴ ，∵ ，
∴顶点坐标 ；
（2）解：过点 作 ，交 轴于点 ， ，垂足为 如图所示：
∵ ，
∴ ，
把 代入 可得： ，
解得： 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ；
（3）解：令 且满足 ， ， ，
∵ 是以 底的等腰三角形，
∴ ，即 ，
化简得： ，
由 ，
解得： 或 ，
∴点 的坐标为 或 ．
5．如图，抛物线 ： ( )与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点为
．(1)求抛物线 的解析式和顶点 的坐标；
(2)将抛物线 上下平移，请问在平移后的抛物线 上是否存在点 ，使得 是以 为腰，点 为直
角顶点的等腰直角三角形，若存在请求出平移的方式．
【答案】(1) ，顶点 的坐标为
(2)存在，将抛物线 向上平移 个单位或向下平移 个单位
【分析】（ ）利用待定系数法可求出抛物线 的解析式，进而把解析式转化为顶点式可求出顶点 的坐
标；
（ ）设平移后解析式为 ，过点 作 的垂线并在垂线上取一点 ，使得 ，记
上方的点为 ，下方的点为 ，连接 ，则 为等腰直角三角形，过点 作 轴于点 ，
可证 ，可得 ， ，得到点 坐标为 ，进而把点 坐标代
入 可得 ，即可得将抛物线 向上平移 个单位；同理可得点 坐标为
，进而可得将抛物线 向下平移 个单位，即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象
和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点 ，
∴ ，
∴ ，
将点 代入得， ，
解得 ，
∴该抛物线 的解析式为 ，
∵ ，
∴顶点 的坐标为 ；（2）解：存在，理由如下：
∵将抛物线 上下平移，
∴ ，抛物线对称轴 ，
∴设平移后解析式为 ，
过点 作 的垂线并在垂线上取一点 ，使得 ，记 上方的点为 ，下方的点为 ，连接 ，
则 为等腰直角三角形，
过点 作 轴于点 ，
则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 坐标为 ，
把 代入 得， ，
解得 ，
∴将抛物线 向上平移 个单位；
同理可得点 坐标为 ，
把 代入 得， ，解得 ，
∴将抛物线 向下平移 个单位；
综上，将抛物线 向上平移 个单位或向下平移 个单位，平移后的抛物线 上存在点 ，使得 是
以 为腰，点 为直角顶点的等腰直角三角形．
6．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， 两点（点 在点 的左
侧），与 轴交于点 ，点 是直线 下方的抛物线上一动点．
(1)求线段 的长；
(2)过 点作 轴的平行线交直线 于点 ，求线段 的最大值；
(3)在直线 找一点 ，使得 为等腰三角形，直接写出 点坐标．
【答案】(1)
(2)线段 的最大值为
(3) 点坐标为 或 或 或
【分析】（1）先求解 的坐标，再进一步可得答案；
（2）如图，求解 ，设 ， ，求解直线 的解析式为 ．可得
，可得 ，再进一步求解即可；
（3）分情况讨论：①当点 与点 重合时，满足 为等腰三角形，②当 时，过点 作
于点 ，如图，③当 时，过点 作 于点 ，如图，过点 作 于点
，如图，再进一步解答即可．
【详解】（1）解：在 中，令 得 ，
或 ，
， ，
；
（2）解：如图，当 时， ，
∴ ，
点 是直线 下方的抛物线上一动点，
设 ， ，
设直线 的解析式为 ，
， ，
直线 的解析式为 ．
过 点作 轴的平行线交直线 于点 ，
，
，
，
当 时， 有最大值为 ．
线段 的最大值为 ．
（3）解：① ，
，
，
当点 与点 重合时，满足 为等腰三角形，
；②当 时，过点 作 于点 ，如图，
， ，
，
点 的纵坐标为 ，
点 在直线 上，
，
．
；
③当 时，过点 作 于点 ，如图，
，
， ．
，
，，
；
当 时，过点 作 于点 ，如图，
，
．
∴ ，
，
，
，
∴ ．
综上，在直线 找一点 ，使得 为等腰三角形， 点坐标为 或 或 或
．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，求解二次函数的与坐标轴的交点坐标，等腰三角形的判定
与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线，切线的分类讨论是解本题的关键．
7．已知：如图，抛物线 与坐标轴分别交于点 ， ， ，点 是线段 上方抛
物线上的一个动点，过点 作 轴的垂线，交线段 于点 ，再过点 作 轴交抛物线于点 ．(1)求抛物线解析式；
(2)当点 运动到什么位置时， 的长最大．求出 点坐标
(3)是否存在点 使 为等腰直角三角形？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时， 的长最大，点 的坐标为
(3)存在，点 坐标为 或 时，使 为等腰直角三角形
【分析】（1）利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；
（2）先求出直线 的解析式，再设出点 的坐标，然后求出点 的坐标，再列出 的长度的表达式，
确定 取最大值时求出点 的坐标即可；
（3）先设出点 的坐标，然后表示出 的长度，再根据抛物线的对称性表示出 的长度，列出关于点
的横坐标的方程，求出点 的横坐标，即可确定点 的坐标．
【详解】（1）解： 抛物线 过点 ， ，
，
解得： ，
抛物线解析式为 ；
（2）解： 时， ，
，
直线 解析式为 ，
点 在线段 上方抛物线上，
设 ，
，，
，
当 时， 的长最大，
此时，点 的坐标为 ；
（3）解：存在点 使 为等腰直角三角形，
设 ，则 ，
，
抛物线 ，
对称轴为直线 ，
轴交抛物线于点 ，
、 关于对称轴对称，
，
，
，
为等腰直角三角形， ，
，
①当 时， ，
，
解得： （舍去）， ，
，
②当 时， ，
，
解得： ， （舍去），
，
综上所述，点 坐标为 或 时，使 为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的各种性质并用含字母的式子表示出线段的
长度是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
抛物线 与抛物线 在第一象限交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求抛物线 的函数表达式；
(2)若以 ， ， 为顶点的三角形为直角三角形，求 的值；
(3)当 时，过点 的直线 与抛物线 在第二象限交于点 ，与抛物线 的另一交点
为 ，求四边形 的面积 与 的函数关系式．
【答案】(1)
(2)2或
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意设 ，分① ；② ；③ 三种情况
讨论，利用直角三角形的性质列出方程，解出 的值，得到点 的坐标，代入抛物线 即可求出 的值；
（3）联立抛物线 和直线 的解析式，得到 ，再联立抛物线 和直线
的解析式，同理可得 ，得出 ，再利用 即可求
解．
【详解】（1）解：代入 和 到抛物线 得， ，
解得： ，
抛物线 的函数表达式为 ．
（2）解：由（1）得， ，
抛物线 ，令 ，则 ，
，
又 ，
，
第一象限点 在抛物线 上，
设 ，
①若 ，则点 和点 的纵坐标相同，
，
解得： （舍去）；
②若 ，则点 和点 的纵坐标相同，
，
解得： 或 （舍去），
，
代入 到抛物线 得， ，
解得： ；
③若 ，取 的中点为 ，则 ，
，
，
解得： 或 （舍去）或 （舍去），
，
代入 到抛物线 得， ，
解得： ；
综上所述， 的值为2或 ．
（3）解：联立 ，
消去 整理得： ，直线 与抛物线 交于点 、 ，
，
联立 ，
消去 整理得： ，
同理可得， ，
，
四边形 的面积
，
四边形 的面积 与 的函数关系式为 ．
【点睛】本题考查了二次函数与几何综合、待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、直角三
角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会运用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
9．如图，在等腰三角形 中， ，点 在 轴上，点 在 轴上，点 ，抛物线
的图象经过点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)把 沿 轴正方向平移，当点 落在抛物线上时，求 扫过区域的面积；
(3)在抛物线上是否存在异于点 的点 ，使 是以 为直角边的等腰直角三角形?如果存在，请求出所有符合条件的点 的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)9.5
(3)存在，
【分析】（1）将点C的坐标代入抛物线的解析式，可求得b的值，从而可得到抛物线的解析式；
（2）过点C作 轴，垂足为点K，首先证明 ，从而可得到 ， ，
于是可得到点A、B的坐标，然后依据勾股定理求得 的长，然后求得点D的坐标，从而可求得三角形平
移的距离，最后，依据 扫过区域的面积为 ，求解即可；
（3）当 时，过点P作 轴，垂足为G，先证明 ，从而可得到点P的
坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可，当 ，过点P作 轴，垂足
为点F，同理可得到点P的坐标，然后再判断点P的坐标是否满足抛物线的解析式即可．
【详解】（1）解：∵点 在二次函数的图象上，
，解得： ，
∴二次函数的解析式为 ；
（2）解：过点C作 轴，垂足为K．
为等腰直角三角形，
．
又 ，
．
又 ，
．
在 和 中，
，，
， ．
， ．
∴当点B平移到点D时，设 ，
则 ，解得 （舍去）或 ．
由题意可得 扫过区域的面积为平行四边形 和 的面积和，
即 ；
（3）解：存在；
当 时，过点P作 轴，垂足为G．
为等腰直角三角形，
， ．
．
又 ，
．
在 和 中，
，
，
， ，
∴ ．
当 时， ，
∴点 不在抛物线上．
当 ，过点P作 轴，垂足为F．同理可知： ，
， ，
．
当 时， ，
∴点 在抛物线上，
综上，所有符合条件的点P的坐标为 ．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、
平移的性质、全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
10．如图，已知抛物线 与 轴相交于 两点，与 轴相交于点 ．
(1)求拋物线的表达式．
(2)点 为抛物线上的一个动点，且在直线 的上方，试求 面积的最大值．
(3)点 是线段 上异于 的动点，过点 的直线 轴于点 ，交抛物线于点 ．当 为直
角三角形时，请直接写出点 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】对于（1），将点 代入关系式得出答案；对于（2），过点P作 轴，垂足为M，交 于点D，再设点P的横坐标为m，可得
，求出 ，根据二次函数的最值可得答案；
对于（3），分两种情况讨论，即当 和 时两种情况，结合等腰直角三角形的性质
可得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线 与x轴相交于点 ，
得 ，
解得 ，
∴抛物线的关系式为 ；
（2）解：当 时， ，
∴点 ．
设直线 的关系为
∵点 ， ，
∴
解得 ，
∴ ．
过点P作 轴，垂足为M，交 于点D，
设点P的横坐标为m，则 ，则 ，
∴ ，
．
∵ ，
∴抛物线开口向下，
当 时， 的最大值为 ；（3）解： ．
如图，当 时， 轴，
∴点C与点M关于对称轴 对称，
∴点 ；
如图所示，当 ，过点M作 轴，垂足为F，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
设 ，则点 ，
∴ ，
解得 （舍去）， ，∴点 ．
故答案为：点 或 ．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求二次函数的最值，等腰直角三角形的判定，二
次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键．
