文档内容
押北京卷 12 题
函数的应用
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
对数函数模型 2022·北京卷T 7
高考中数学应用均是以小题的形式进行考查，难
可以预测 2024
度较易或一般，纵观近几年的新高考试题，分别
年新高考命题方
以函数为背景考查了高中数学应用及其相关运
斜率意义 2020·北京卷T 15 向将继续以实际
算，命题体现了数学背景相关知识点的理解及运
生活实践为背景
算，需要在高考备考中建立此类题型的熟悉度和
展开命题．
解题思维。
恒成立问题 2019·北京卷T 14
1.（2022·北京卷T7）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰
技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，其
中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D
【解析】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C
错误.
当 ， 时，因 , 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
2．（2020·北京·卷T15）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未
达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为 ，用 的大小评价
在 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系
如下图所示.
给出下列四个结论：
①在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
②在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；
③在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；
④甲企业在 这三段时间中，在 的污水治理能力最强．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果
【详解】 表示区间端点连线斜率的负数，
在 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；
甲企业在 这三段时间中，甲企业在 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，
即在 的污水治理能力最强．④错误；
在 时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙
企业强；②正确；
在 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确；
3．（2019·北京卷T14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、
桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一
次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的
80%．
①当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大为
．
【答案】 130. 15.
【解析】(1) ,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付 元.
(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为 元,
元时,李明得到的金额为 ,符合要求.
元时,有 恒成立,即 ,即 元.
所以 的最大值为 .
1.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
2.求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
3.构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到
实际问题的解．
1．我们通常用里氏震级来标定地震规模的大小，里氏震级 与震源中心释放的能量 有关，二者满足关
系式 ，则里氏6.2级地震释放的能量是里氏4.1级地震释放的能量的（ ）
A．2.1倍 B．3.15倍 C． 倍 D． 倍
【答案】C
【解析】当 时，有 ，即 ，即 ，
当 时，有 ，即 ，即 ，
故 . 故选C.
2．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万斤，每种植1斤藕，成本增加
1元．销售额 （单位：万元）与莲藕种植量 （单位：万斤）满足 （ 为常数），若
种植3万斤，利润是 万元，则要使销售利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．7万斤 B．8万斤 C．9万斤 D．10万斤
【答案】B【解析】由题意，利润函数 ，（单位：万元）.
即 ，则 ，解得 .
故 ，则 ，
令 有 ，令 有 ，
故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万斤，故选B
3．在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话
瞬间发出声音的声强为 ，则经过 秒后这段声音的声强变为 ，其中 是一个常数．把混响
时间 定义为声音的声强衰减到原来的 所需的时间，则 约为（参考数据： ）
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ，即 ，等号两边同时取自然对数得
，即 ，所以 ．
故选C．
4．把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是 ℃，空气的温度是 ℃，则t min后该物体的
温度 ℃可由公式 求得．若将温度分别为100℃和40℃的两块物体放入温度是20℃的
空气中冷却，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，至少要经过（ ）（取： ，
）
A．4.14min B．5.52min C．6.60min D．7.16min
【答案】D
【解析】100℃的物体放入20℃的空气中冷却t min后的温度是 ，
40℃的物体放入20℃的空气中冷却t min后的温度是 ，要使得这两块物体的温度之差不超过10℃，则 ，
解得 ，所以至少要经过7.16min，故选D
5．随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求
越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：
，其中D为传输距离，单位是km，F为载波频率，单位是MHz，L为传输损
耗（亦称衰减），单位为dB．若传输距离增加到原来的2倍，传输损耗增加了18dB，则载波频率约增加
到原来的（参考数据： ）（ ）
A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍
【答案】D
【解析】设 是变化后的传输损耗， 是变化后的载波频率， 是变化后的传输距离，
则 ， ， ，
则 ，即 ，从而 ，
即载波频率约增加到原来的4倍，故选D.
6．异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，
某类动物的新陈代谢率 与其体重 满足 ，其中 和 为正常数，该类动物某一个体在生长发育过
程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设初始状态为 ，则 ， ，
又 ， ，即 ，
， ， ， ， ，故选D．
7．从甲地到乙地的距离为 ，经过多次实验得到一辆汽车每小时耗油量 （单位： ）与速度（单位： ） 的关系式为 ，从甲地到乙地这辆车
的总耗油最少时，其速度 为（ ）
A．60 B．80 C．100 D．110
【答案】B
【解析】由题意可得总耗油量为
,
由于 为开口向上的二次函数，对称轴为
故速度为80 时，总耗油量最小，故选B
8．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下：
每户每月用水量 水价
不超过 的部分 2.5元
超过 但不超过 的部分 5元
超过 的部分 7.5元
若某户居民本月交纳的水费为65元，则此户居民本月用水量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设用户的用水量为 ，缴纳的水费为 元，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， .
令 ，解得 .则此户居民本月用水量为 .
故选：A.
9．中医药在疫情防控中消毒防疫作用发挥有力，如果学校的教室内每立方米空气中的含药量y（单位：
毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示．在药物释放过程中，y与x成正比；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为 （a为常数），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 毫克以下，
学生方可进教室，根据图中提供的信息，从药物释放开始到学生能进入教室，至少需要经过（ ）
A．0.4h B．0.5h C．0.7h D．1h
【答案】C
【解析】由题意知，点 在函数 的图象上，
所以 ，解得 ，所以 ，
由 ，可得 ，所以 ，解得 ，
所以从药物释放开始，到学生回到教室至少需要经过的 小时.
故选C.
10．研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长 （月）与肿瘤细胞含量 的关系，其函数解析式为
，其中 为参数．经过测算，发现 （ 为自然对数的底数）．记 表示第
一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意， ，而 ，则 ，即 ，
又 ，解得 ，所以 ，故选D11．中国的 技术领先世界， 技术中的数学原理之一是香农公式： ，它表示在被高
斯白噪音干扰的信道中，最大信息传送速率 取决于信道带宽 ､信道内所传信号的平均功率 ､信道内
部的高斯噪音功率 的大小，其中 叫做信噪比.若不改变带宽 ，而将信噪比 从1000提升至2500，
则 大约增加了（ ）（附： ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，不妨设 时，对应的最大信息传送速率为 ， 时，对应的最大信息传送
速率为 ，则
，
故将信噪比 从1000提升至2500，则 大约增加了 ，故选B.
12．某公司的收入由保险业务收入和理财业务收入两部分组成.该公司 年总收入为 亿元，其中保
险业务收入为 亿元，理财业务收入为 亿元.该公司经营状态良好、收入稳定，预计每年总收入比前
一年增加 亿元.因越来越多的人开始注重理财，公司理财业务发展迅速.要求从 年起每年通过理财
业务的收入是前一年的 倍，若要使得该公司 年的保险业务收入不高于当年总收入的 ，则 的值
至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为该公司 年总收入为 亿元，预计每年总收入比前一年增加 亿元，所以 年的
总收入为 亿元，因为要求从 年起每年通过理财业务的收入是前一年的 倍，
所以 年通过理财业务的收入为 亿元，所以 ，解得 .故 的值至少为
，故选A.
13．从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度 （单位：m）和时间 （单位：s），近似满足函数关系 .问小球在 到 这段时间内的平均速度是 .
【答案】
【解析】当 时，初始高度为 米，
当 时， 米，
所以平均速度为 ，
14．某食品的保鲜时间 （单位：小时）与储存温度 （单位： ）满足函数关系 （
为自然对数的底数， 为常数）．若该食品在0 的保鲜时间设计192小时，在22 的保鲜时间是48
小时，则该食品在33 的保鲜时间是 小时．
【答案】24
【解析】由题意得 ，即 ，
所以该食品在 的保鲜时间是：
．
15．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数不超过30，游客需付给旅行社飞机票每张900
元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止.写出
飞机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式；
【答案】答案见解析
【解析】由题意，当 时， ；当 时， .
则机票的价格y(单位：元)关于人数x(单位：人)的函数关系式为： .
16．西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现，鲑鱼的游速v（单位： ）
可以表示为 ，其中M表示鱼的耗氧的单位数.当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止
时耗氧量的单位数的27倍时，它的游速是 .
【答案】【解析】设大西洋鲑鱼静止时的耗氧量为 ，则 ，可得 ，
将 代入 ，得 ，
所以它的游速为 .
17．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本 （单位：元/（ 千克））与上市时间
（单位：天）的数据如下表：
时间 60 100 180
种植成本 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 与上市时间 的变化关系： ，
， ， ．利用你选取的函数，计算西红柿种植成本最低时的上市天数是
；最低种植成本是 元/（ 千克）．
【答案】 120 80
【解析】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当 和 时种植成本相等，
再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用函数 描
述．
将表中两组数据 和 代入，
可得 ，解得 ，
所以 ．
令 ，可得 ，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/（ 千克）．
18．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是 （单位： ），环境温
度是 （单位： ），其中 、则经过t分钟后物体的温度 将满足 （
且 ）．现有一杯 的热红茶置于 的房间里，若经过3分钟后物体的温度为 ，则经过6分钟后物体的温度为 .
【答案】
【解析】由题知 ，3分钟后物体的温度是 ，即 ，
则 ，得 ，
所以 ，所以 ，
将 代入可得 ，
19．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值 （单位： ）定义为 .其中 为声
场中某点的声强度，其单位为 为基准值.若 ，则其相应的声强级为
.
【答案】130
【解析】因为 ， ，
所以其相应的声强级为 .
20．在精准扶贫工作中，某单位帮助农户销售当地特色产品，该产品的成本是 30 元/千克，产品的日销
售量 P(千克)与销售单价 x(元/千克)满足关系式 ，要使农户获得日利润最大，
则该产品销售单价 x(元/千克)为 .
【答案】42
【解析】由题意可知农户的日利润 ，
由二次函数的单调性可知：
若 ，有 时， ；
若 ，有 时， ；故 时，日利润取得最大值 .
