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押北京卷 15 题
分段函数与函数的零点
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
分段函数的性质 2023·北京卷T15
可以预测2024年新高 分段函数的综合问题或函数的零点中填空
考命题方向将继续分 题较难，纵观近几年的新高考试题，分别
分段函数开放题 2022·北京卷T14 段函数的综合问题或 考查分段函数的性质、函数的零点，同时
函数的零点作为压轴 备考也需强化函数的性质和数形结合的应
题展开命题． 用，也是高考冲刺复习的重点复习内容。
函数零点 2021·北京卷T15
1．（2023·北京卷T15）设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
2．（2022·北京卷T14）设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为 ；
a的最大值为 ．
3．（2021·北京卷T15）已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ， 恰 有2个零点；②存在负数 ，使得 恰有1个零点；
③存在负数 ，使得 恰有3个零点；
④存在正数 ，使得 恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
1.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分
段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
2.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
3.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检
验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
4.判断函数零点个数的方法：
(1)利用零点存在定理判断.
(2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根.
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利
用两个函数图象的交点求解.在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性.
5.利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
1．已知函数 ，若 存在最小值，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2．定义运算 则函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 ，若存在非零实数 ，使得 成立，则实数a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为（ ）.
A． B． C． D．
5．已知函数 ,其中 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．函数 一定存在最大值 B．函数 一定存在最小值
C．函数 一定不存在最大值 D．函数 一定不存在最小值
6．已知函数 ，其中 ，且 ．给出下列三个结论：
①函数 是单调函数；
②当 时，函数 的图象关于直线 对称；
③当 时，方程 根的个数可能是1或2．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
7．函数 ，定义 ，则 满足（ ）A．只有最小值，没有最大值 B．既有最大值，又有最小值
C．只有最大值，没有最小值 D．既无最大值，也无最小值
8．已知函数 ，若方程 有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 关于 的方程 .有四个不同的实数解 ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．关于函数 ，给出下列结论：
① 是偶函数且在在 上单调递减；
②方程 一定有实数解；
③如果方程 （ 为常数）有解，则解的个数一定是偶数.
则正确结论的个数（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
11．已知函数 ，给出下列四个结论：
①若 ，则函数 至少有一个零点；
②存在实数 ， ，使得函数 无零点；
③若 ，则不存在实数 ，使得函数 有三个零点；
②对任意实数 ，总存在实数 使得函数 有两个零点.其中所有正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．关于函数 ，其中 ， ，给出下列四个结论：
甲：6是该函数的零点；
乙：4是该函数的零点；
丙：该函数的零点之积为0；
丁：方程 有两个根.
若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误结论是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
13．设函数
①若 ，则 的最小值为 .
②若 有最小值，则实数 的取值范围是 .
14．已知函数 ，
（1）若 ，则 的最大值是 ；
（2）若 存在最大值，则 的取值范围为 .
15．函数 .若 ，则 的值为 ；若 有两个零点，则 的取值范
围是 .
16．设函数 ，其中 .
①若 ，则 ；
②若函数 有两个零点，则a的取值范围是 .17．已知函数 ，那么 ；当方程 有且仅有3个不同的
根时，实数 的取值范围是 .
18．已知函数 ，关于x的方程 有3个不同的解，则m的取值范围是
.
19．已知函数
①当 时， 的值域为 ；
②若关于 的方程 恰有 个正实数解，则 的取值范围是 ．
20．设函数 ，
①若 有两个零点，则实数 的一个取值可以是 ；
②若 是 上的增函数，则实数 的取值范围是 ．
