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专题 05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈
现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
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模型1.对角互补模型（相似模型）...............................................................................................................2
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模型1.对角互补模型（相似模型）
四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，
△
结论：如图，过点O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，则：①△ODE OHF；②
证明：∵OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分别为D，H，∴∠EDO＝∠FHO＝90°， ∼△
∵∠C＝90°，∴四边形OHCD为矩形，∴∠DOH＝90°，DO＝CH ∴∠DOF+∠HOF＝90°，
∵∠EOF＝90°，∴∠DOF+∠DOE＝90°，∴∠HOF＝∠DOE，∴△ODE OHF，∴ ，
∼△
∠C＝∠OHD＝90°，点O是AB的中点，∴H为BC中点，∴BH＝CH，∴BH＝DO，∴
∵
∵∠C＝∠OHD＝90°，∠B＝∠B，∴△OHB ACB，∴ ，∴
2）对角互补相似 2 ∼△
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
结论1：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；则①△ECG DCF；②CE＝CD·
. ∼△
证明：法1：∵CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G；∴∠EGC＝∠DFC＝90°，
∵∠AOB＝90°，∴四边形OGCF为矩形，∴∠GCF＝90°，CF=OG，∴∠FCD+∠DCG＝90°，∵∠DCE＝90°，∴∠GCE+∠DCG＝90°，∴∠GCE＝∠FCD，∴ECG DCF，∴ ，
∼△
∵CF=OG，∴ ，∵在Rt COG中， ，∴CE＝CD·
△
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
结论2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；则：①△CFE COD；②CE＝CD· .
证明：法1：∵CF⊥OC，∴∠OCF＝90°，∴∠OCE+∠ECF＝90∼°△，
∵∠DCE＝90°，∴∠OCE+∠DCO＝90°，∴∠ECF＝∠DCO，
∵∠AOB＝90°，∠OCF＝90°，∴∠COE+∠DOC＝90°，∴∠COE+∠CFO＝90°，
∴∠DOC＝∠CFO，∴CFE COD，∴ ，∵在Rt OCF中， ，∴CE＝CD· .
3）对角互补相似3
∼△ △
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°。
结论：如图，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E、F；则：①△DAE DCF；②A、B、C、D四
点共圆。 ∼△
证明：∵∠B+∠D=180°，∠A+∠C=180°，∴A、B、C、D四点共圆。
∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，
∵∠BAD+∠C=180°，∠BAD+∠DAE=180°，∴∠C=∠DAE，∴△DAE DCF；
∼△
例1．（23-24九年级下·河南周口·阶段练习）已知在 中， ， ， ，D为
边上的一点．过点D作射线 ，分别交边 于点E、F．(1)当D为 的中点时：①如图1，若 ， ， 与 的数量关系是________； 与
是否相等？________（填“是”或“否”）；
②将 绕点D旋转到图2位置时，①中 与 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
(2)改变点D的位置，当点D是 的三等分点时，直接写出 的值．
例2．（2023·广西河池·校联考一模）综合与实践
【问题情境】在 中， ， ， ，在直角三角板 中， ，将
三角板的直角顶点 放在 斜边 的中点处，并将三角板绕点 旋转，三角板的两边 ，
分别与边 ， 交于点 ， ．
【猜想证明】如图 ，在三角板旋转过程中，当 为边 的中点时，试判断四边形 的形状，并说
明理由．
【问题解决】如图 ，在三角板旋转过程中，当 时，求线段 的长．例3．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）在菱形 中， ，点 在对角线 上运
动（点 不与点A，点C重合）， ，以点 为顶点作菱形 ，且菱形 与菱形
的形状、大小完全相同，即 ， ，在菱形 绕点 旋转的过程中， 与
边 交于点E， 与边 交于点F．
【特例感知】（1）如图1，当 ， 时，则 ， ， 之间满足的数量关系是______；
【类比探究】（2）如图2，菱形的边长为8， ，求 的值（用含k的代数式表示）；
【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接 ， ， ，求 的长度．
例4．（2021·辽宁朝阳·中考真题）如图，在Rt ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点
O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时
针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 ＜ ，请直接写出 的值（用
含k的式子表示）．例5．（2023浙江校考二模）（1）特例感知：如图1，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC
边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，
点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在 ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点
E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点
F，当AE＝4AF时，求AF的长．
例6．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角 中， ， ，过
点 作射线 ， 为射线 上一点， 在边 上（不与 重合）且 ， 与
交于点 ．（1）求证： ；（2）求证： ；（3）如果 ，求证：
．例7．（23-24九年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，ΔABC是等边三角形， 点 是 边上的一点， 以
点 为顶点的 ， 射线 、 分别交 、 于点 、
(1)如图①，当点 为 中点时，判断 与 的数量关系，并证明；
(2)如图②，当 时，判断 与 的数量关系，并证明；
(3)若 ， ， 时，请直接写出 的长．1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt MPN中，
∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于△点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝_△_______．
2．（2023年河南周口一模）如图，在菱形 中， ， ，对角线 ， 交于点 ，
， 分别是 ， 边上的点，且 ， ， 与 交于点 ，则 的值为
．
3．（2024·河南南阳·三模）【问题再现】如图（ ），正方形 的对角线相交于点 ，正方形
与正方形 的边长相等．在正方形 绕点 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积
（即四边形 的面积）始终等于正方形 面积的 ．
【初步探究】小明在证明上述问题时，发现题目中正方形 这一条件主要用到的信息是，图中一些线段之间也有特殊的关系．深入思考后他为大家编了如下题目：如图（ ），
中， ， ， 是边 的中点．以 为顶点作 ， 交线段 于
点 ， 交线段 于点 ．请完成以下问题：问题（1）：四边形 的面积是 面积的
________．
问题（2）：猜想线段 之间的等量关系，并说明理由．
【延伸探究】爱动脑的小军在小明问题的基础上进行了延伸，让 绕点 旋转， 交直线 于点
E， 交直线 于点 ，连接 ．若 ， ，请直接写出 的面积．
4．（2023·广东佛山·二模）【课本再现】
(1)正方形 的对角线相交于点 ，正方形 与正方形 的边长相等，如图1摆放时，易得
重叠部分的面积与正方形 的面积的比值是 ；在正方形 绕点 旋转的过程中（如图2），上
述比值有没有变化？请说明理由．
(2)【拓展延伸】如图3，在正方形 中， 的顶点 在对角线 上，且 ，
，将 绕点 旋转，旋转过程中， 的两边分别与 边和 边交于点 ， ．
①在 的旋转过程中，试探究 与 的数量关系，并说明理由；
②若 ，当点 与点 重合时，求 的长．5．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知，∠ACB＝90°，CD是∠ACB的平分线，点P在CD上，CP=
．将三角 板的直角顶点放置在点P处，绕着点P旋转，三角板的一条直角边与射线CB交于点E，另一
条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G．
(1)如图，当点F在射线CA上时，①求证：PF＝PE．②设CF＝x，EG＝y，求y与x的函数解析式并写出
函数的定义域．(2)连接EF，当△CEF与△EGP相似时，求EG的长．
6．（2024·河南安阳·三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动．
模型感知：小明同学善于观察思考，如图 ，在 和 中， ，他发现当两个直角
三角形共斜边时，取斜边中点 ，根据斜边中线等于斜边的一半，易知 ，由圆的定义
可知， 四点共圆，则有 ，其依据是______．
操作判断：小明同学把等腰直角三角板 的直角顶点 绕着直角三角板 的斜边中点旋转，其中
，直线 与 相交于点 ，边 与 相交于点 ．
（ ）如图 ，当 时，线段 与 的数量关系是______．
深入探究：（ ）将图 中的 旋转到图 所示的位置，请判断 与 的数量关系是否发生变化，
并说明理由．应用：（ ）如图 ，已知 ，若等腰直角三角板 绕点 继续旋转，边 与
的交点 始终在线段 上，当点 为 的三等分点时，直接写出 的面积．7．（23-24河南九年级期中）已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝6，D为BC边上的一点．过
点D作射线DE⊥DF，分别交边AB，AC△于点E，F．
(1)当D为BC的中点，且DE⊥AB，DF⊥AC时，如图①， ______．
(2)①若D为BC的中点，将∠EDF绕点D旋转到图②位置时， ______．
②若改变点D的位置，且 时，求 的值，请就图③的情形写出解答过程．
(3)如图③连接EF，当BD＝______时，△DEF与△ABC相似．
8．（2023年广东省广州市中考二模数学试题）在 中， ，点D为边
的中点．(1)尺规作图，过点D作 交边 于点E；(2)求 的长；
(3)点P为射线 上的一动点，点Q为边 上的一动点，且 ，若 ，求 的长．9．（2023·江苏镇江·统考二模）【问题情境】数学活动课上，老师出示了有关正方形的一个问题：已知正
方形 的边长为6，E为对角线 上一动点（不与点A、C重合），连接 ，过E作 交
于点G，探索线段 、 有何数量关系？
（1）数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：如图1，过点E分别作 、 的垂线 、
，证明 ，发现 和 的数量关系是_________．
【问题探究】该小组小丽同学受此问题启发，对上面的问题进行了探究，并提出了如下问题：
（2）如图2，过点G作 交AC于点F， 的长度是否发生变化？若不变，请求出这个不变的值；
若变化，请说明理由；
【深度探究】如图3，连接 交 于点H．（3）图中 的面积S的取值范围为_________；
（4）若 ，则 的长是_________．
10．（2023·四川成都·统考中考真题）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探
究．
在 中， ，D是 边上一点，且 （n为正整数），E是 边上的动点，
过点D作 的垂线交直线 于点F．【初步感知】(1)如图1，当 时，兴趣小组探究得出结论： ，请写出证明过程．
【深入探究】(2)①如图2，当 ，且点F在线段 上时，试探究线段 之间的数量关系，
请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 之间数量关系的一般结论（直
接写出结论，不必证明）
【拓展运用】(3)如图3，连接 ，设 的中点为M．若 ，求点E从点A运动到点C的过程中，
点M运动的路径长（用含n的代数式表示）．
11．（23-24九年级上·江西吉安·期中）问题：如图1，等边三角形 的边长为6，点O是 和
的角平分线交点． ，绕点O任意旋转 ，分别交 的两边于D，E两点．求
四边形 面积．
讨论：
①小明：在 旋转过程中，当 经过点B时， 一定经过点C．
②小颖：小明的分析有道理，这样我们就可以利用“ ”证出 ．
③小飞：因为 ，所以只要算出 的面积就得出了四边形 的面积．
老师：同学们的思路很清晰，也很正确．在分析和解决问题时，我们经常会借用特例作辅助线来解决一般
问题：请你按照讨论的思路，直接写出四边形 的面积：
（2）应用方法：①特例：如图2， 的顶点O在等边三角形 的边 上， ， ，边 于点
E， 于点D，求 的面积．
②探究如图3，已知 ，顶点O在等边三角形 的边 上． ， ， 的面
积为x， 的面积为y，求 的值．
③应用：如图4，已知 ，顶点O在等边三角形 的边 的延长线上， ， ，
的面积为a， 的面积为b，请直接写出a与b的关系式．
12．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）完成下面各题：（1）如图1，等腰 中， ，
点 为斜边 中点，点 是 边上一点（不与 重合），将射线 绕点 逆时针旋转90°交 于点
．学习小组发现，不论点 在 边上如何运动， 始终成立．请你证明这个结论；
【类比迁移】（2）如图2， ， ， ，点 为斜边 中点，点 是 延长线
上一点，将线段 绕点 逆时针旋转60°得到 ，点 恰好落 的延长线上，求 的值；
【拓展提升】（3）如图3，等腰 中， ， ，点 是 边上一点，且
，以 为边在 的上方作等边 ， 交 于点 ，连接 ， ，取 的中点 ，连
接 ，当 时，求 的面积．13．（2024·重庆·九年级校联考期中）如图，△ACB中，CA＝CB，∠ACB＝120°．
(1)如图1，点M、N分别在CA、CB上，若CA＝CB＝8，D为AB的中点，∠MDN＝60°，求CM+CN的值．
(2)如图2，∠ABP＝120°，点E、F在AB上，且∠ECF＝60°，射线BP交CE的延长线于点P，求证：
PB+AF＝PF．(3)如图3，在△ACB的异侧作△AGB，其中AG＝3，BG＝6，在线段BG上取点Q，使BQ＝
2．当AG绕着点G运动时，求CQ的最大值．
14．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）（1）【问题初探】苏科版教材八年级下册第九章《中心对称
图形—平行四边形》复习题中有这样的问题：如图1正方形 的边长为 ， 的顶点 在正方形
两条对角线的交点处， ．将 绕点 旋转， 的两边分别与正方形 的
边 和 交于点 和点 （点 与点 ， 不重合），问：在旋转过程中，四边形 的面积会发
生变化吗？证明你的结论．爱思考的浩浩和小航同学分别探究出了如下两种解题思路：
浩浩：如图 ，充分利用正方形对角线垂直、相等且互相平分等性质证明了 ，则
，那么 ，这样，就实现了四边形 的面
积向 面积的转化；
小航：如图 ，也是考虑到正方形对角线的特征，过点 分别作 于点 ， 于点 ，证明
，从而将四边形 的面积转化成了小正方形 的面积．
通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段
与 的和也是一个定值，为 ．（2）【类比探究】①如图2，矩形 中， ， ，点 是 边的中点， ．点
在 上，点 在 上，则四边形 的面积为 ； ；
②如图3，若将（1）中的“正方形 ”改为“ ，边长为 的菱形 ，其他条件不变，
当 ”时，四边形 的面积还是一个定值吗？是，请求出来；不是，请说明理由；
③如图4，在②的条件下，当点 在对角线 上运动，顶点 与 点的距离为 ，且 旋转至
时， 的长度为 ．
15．（2023·山东泰安·二模）点P在四边形 的对角线 上，直角三角板 绕直角顶点P旋转，
其边 、 分别交 、 边于点M、N．
(1)【操作发现】如图①，若四边形 是正方形，当 时，可知四边形 是正方形，显然
．当 与 不垂直时，判断确定 、 之间的数量关系； ．（直接写出结论即可）
(2)【类比探究】如图②，若四边形 是矩形，试说明 ．
(3)【拓展应用】如图③，改变四边形 、 的形状，使四边形 内接于圆，其他条件不变，
且满足 ， ， 时，求 的值．
