文档内容
押北京卷 19 题
圆锥曲线解答题
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
椭圆方程，直线
2023·北京卷T19
斜率
圆锥曲线大题难度较难，纵观近几年的新高
可以预测2024年
考试题，主要以椭圆为背景考查斜率及面积
椭圆方程，证明 新高考命题方向
2022·北京卷T19 问题、方程求解及探究问题、证明问题、范
问题 将继续以椭圆为
围问题等知识点，同时也是高考冲刺复习的
背景展开命题．
重点复习内容。
椭圆方程，范围
2021·北京卷T20
问题
1.（2023·北京卷T19）已知椭圆 的一个顶点为 ，焦距为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点 作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，
N，当 时，求k的值．
【解】（1）解：依题意可得 ， ，又 ，
所以 ，所以椭圆方程为 ；
（2）解：依题意过点 的直线为 ，设 、 ，不妨令 ，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ，解得 ，所以 ， ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
直线 的方程为 ，令 ，解得 ，
所以
，
所以 ，
即
即
即
整理得 ，解得
2.（2022·北京卷T19）．已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、下顶点，
B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．【解】（1）依题意，得 ，则 ，
又 分别为椭圆上下顶点， ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）因为椭圆 的方程为 ，所以 ，
因为 为第一象限 上的动点，设 ，则 ，
易得 ，则直线 的方程为 ，
，则直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，即 ，
而 ，则直线 的方程为 ，
令 ，则 ，解得 ，即 ，
又 ，则 ， ，
所以，
又 ，即 ，
显然， 与 不重合，所以 .
3.（2021·北京卷T20）已知椭圆 一个顶点 ，以椭圆 的四个顶点为顶点的
四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交
交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
【解】（1）因为椭圆过 ，故 ，
因为四个顶点围成的四边形的面积为 ，故 ，即 ，
故椭圆的标准方程为： .
（2）
设 ，
因为直线 的斜率存在，故 ，
故直线 ，令 ，则 ，同理 .直线 ，由 可得 ，
故 ，解得 或 .
又 ，故 ，所以
又
故 即 ，
综上， 或 .
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解
2.若直线 与圆雉曲线相交于 ， 两点，
由直线与圆锥曲线联立，消元得到 （ ）
则：
则：弦长或
3. 处理定点问题的思路：
（1）确定题目中的核心变量（此处设为 ），
（2）利用条件找到 与过定点的曲线 的联系，得到有关 与 的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点 ，使得无论 的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于
与 的等式进行变形，直至找到 ，
①若等式的形式为整式，则考虑将含 的式子归为一组，变形为“ ”的形式，让括号中式子等于
0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去 变为
常数.
4. 处理定值问题的思路：
联立方程，用韦达定理得到 、 （或 、 ）的形式，代入方程和原式化简即可.
1．已知椭圆 的左顶点为 ，上、下顶点分别为 ， ，直线 的方程为
．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2) 是椭圆上一点，且在第一象限内， 是点 关于 轴的对称点．过 作垂直于 轴的直线交直线于点 ，再过 作垂直于 轴的直线交直线 于点 ．求 的大小．
【解】（1）因为直线 的方程为 ，
所以 ， ，即 ， ，所以 ，
所以椭圆方程为 ，离心率
（2）依题意，设 ， ，则 ，
且点 是椭圆上一点，可得 ，
直线 的方程为 ，由 ，可得 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，令 ，
得 ，
即 ，
所以 ，
即直线 的倾斜角是 ，所以 .2．已知椭圆 的一个顶点为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为原点．直线 与椭圆 交于 两点（ 不是椭圆的顶点）， 与直线 交于点 ，直线
分别与直线 交于点 ．求证： ．
【解】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）由题意可知直线 的斜率存在，设其方程为 ．
则 ，直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
设 ，则 ，
直线 的方程为 ，
联立直线 和 得 ，
解得 ，
同理可得 ，
所以 ，
因为，
所以 ，即点 和点 关于原点 对称，
所以 ．
.
3．已知椭圆 的离心率为 ， 分别是 的上、下顶点， ， 分别
是 的左、右顶点．
(1)求 的方程；
(2)设 为第二象限内 上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，求证：
．
【解】（1）由题设， ，解得 ．
所以 的方程为 ．
（2）因为椭圆 的方程为 ，所以 ，
设直线 的方程为 ，其中 ．
由 ，化简并整理得， ，
由 可得 ，由韦达定理有 ，
所以 ，即 ．
直线 的方程为 ，即 ．
由 得 ．
直线 的方程为 ，即 ．
直线 的方程为 ，即 ．
由 得 ．
因为 ，所以 ．
4．已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设过点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 两点，过 分别作 轴的垂线，垂足为点
，求证：直线 与 的交点在某条定直线上，并求该定直线的方程.
【解】（1）由题可得： ， ，又 ；解得 ；故椭圆 的方程为： .
（2）设直线 与 的交点为 ，根据题意，作图如下：
由题可知，直线 的斜率存在，又过点 ，故设其方程为 ，
联立 ，可得 ，显然其 ，
设 两点坐标为 ，则 ；
因为 都垂直于 轴，故 ，
则 方程为： ， 方程为： ，
联立 方程可得： ，
故 ，也即直线 与 的交点在定直线 上.
5．已知椭圆 过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 分别交椭圆 于 、 两点，若线段 的中点 在直线 上，求 面积的最大值.
【解】（1） .
又 在椭圆上 .所以，椭圆方程为 .
（2）由已知直线 的斜率存在.
设直线 方程为 ， ， ，
由 ， 得 ．
由 ，得 ．①
， ．
又中点在直线 上， 即 ，
将之代入①得 ，所以 ．
，
点 到直线 的距离 ，
．
设 ， ．
．
时， 的最大值为 ．6．椭圆 的右焦点为 ，离心率为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点.求证：直线PM，PF，PN的斜
率成等差数列.
【解】（1）由题意可得c=1，e= = ，
解得a=2，b= = ，
则椭圆C的方程为 ；
（2）
证明：设 ， ， ，
由题意可得直线MN的方程为 ，
代入椭圆方程 ，可得
，
， ,
,又 ，
则k k =2k ，
PM + PN PF
则直线PM，PF，PN的斜率成等差数列.
7．椭圆E： 焦距 ，且过点( , )，
(1)求椭圆E的标准方程和离心率，
(2)椭圆右顶点A，过(0,2)的直线交椭圆E于P，Q，其中P，Q不与顶点重合，直线AP，AQ分别与
交于C，D， 与x轴交点为B，当 时，求直线PQ斜率．
【解】（1）由题设 ，则 ，故椭圆E的标准方程 ，
离心率 .
（2）由题意，直线 斜率一定存在且不为0，设直线 为 ，
由于P，Q不与顶点重合，则 ，
联立椭圆并整理得 ，故 ，
综上， ，
所以 ， ，
，令 ，可得 ，
，令 ，可得 ，若 ，则 ，
所以 ，故 ，此时 ；
若 ，则 ，
所以 ，故 ，此时 无解；
综上， .
8．已知椭圆 的左、右顶点为 ，离心率为 ，直线
与椭圆 交于 不同的两点，直线 分别与直线 交于点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)求证：以 为直径的圆恒过定点．
【解】（1）由题可得 ，
解得： ，
所以 ；
（2）由题可知 ，
联立 得， ，∴ ．设 ，则 ，
所以 ，直线 的方程为： ，
令 ，可得 ．
由 ，直线 的方程为： ，
令 ，可得 ．
以 ， 为直径的圆方程为，
，
由坐标表示可猜测得顶点坐标在直线 上，
猜测定点 ，验证：
同理，
因此以 为直径的圆 ，恒过定点 ．
9．已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为4，且右焦点为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 分别为椭圆 的左、右顶点， 为椭圆 上一点（不与 重合），直线 分别与直线
相交于点 ，N.当点 运动时，求证：以 为直径的圆截 轴所得的弦长为定值.
【解】（1）由题意， ，即 ，因为右焦点为 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆的方程为 .
（2）设 ，由（1）知 ，
，直线 ，
，直线 ，
直线分别与 相交，可得 ，
设以 为直径的圆与 轴交于点 ，
则 ， ，
由 可得 ，
即 ，
由 在椭圆上可得 ，即 ，
代入上式可得 ，即 ，
解得 或 ，
即以 为直径的圆过 轴上的定点 和 ，
所以以 为直径的圆截 轴所得的弦长 为定值.10．已知椭圆 的离心率为 ，左焦点为 ，过 的直线交椭圆 于 、
两点，点 为弦 的中点， 是坐标原点，且由于 不与 ， 重合．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 是 延长线上一点，且 的长度为 ，求四边形 面积的取值范围．
【解】（1）
因为 ，得 ；又 ，所以 ，所以 ；
所以 ，所以椭圆的方程为 .
（2）设过 的直线为 ，与椭圆两交点坐标分别为 ， ，
由于 不与 ， 重合，可知直线 的斜率存在且不为 ，
根据已知条件设直线 方程为 ，联立直线方程与椭圆方程 ，
整理有 ；
，即 ，整理有： 恒成立；
根据韦达定理： ， ；因为 为弦 的中点，所以 ；
因为 在直线 上，所以 ，解得 ，
所以直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
化为一般式为： ；
设 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离也为 ，
因为 为弦 的中点，由点到直线距离公式有：
，因为 、 位于 两侧，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
设四边形 面积为 ，
根据题意有： ，
因为 ，所以 .
所以 ，所以 .
所以四边形 面积的取值范围是 .
