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专题 05 相似三角形中的基本模型之对角互补模型
相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈
现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再
遇到该类问题就信心更足了。本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.对角互补模型（相似模型）
【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向
两边做垂线，从而证明两个三角形相似.
【常见模型及结论】
1）对角互补相似1
条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，点O是AB的中点，
辅助线：过点O作OD⊥AC，垂足为D，过点O作OH⊥BC，垂足为H，
结论：①△ODE∼△OHF；② （思路提示： ）.
2）对角互补相似 2
条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝ .
辅助线：作法1：如图1，过点C作CF⊥OA，垂足为F，过点C作CG⊥OB，垂足为G；
结论：①△ECG∼△DCF；② CE＝CD· .（思路提示： ，CF=OG，在 Rt△COG 中，
）辅助线：作法2：如图2，过点C作CF⊥OC，交OB于F；
结论：①△CFE∼△COD；②CE＝CD· .（思路提示： ，在Rt△OCF中，
）
3）对角互补相似3
条件：已知如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°
辅助线：过点D作DE⊥BA，垂足为E，过点D作DF⊥BC，垂足为F；
结论：①△DAE∼△DCF；②ABCD四点共圆。
例1．（2023·重庆·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，
∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝________．
例2．（2023·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图，在等腰直角 中， ， ，过
点 作射线 ， 为射线 上一点， 在边 上（不与 重合）且 ， 与
交于点 ．（1）求证： ；（2）求证： ；（3）如果 ，求证：
．例3．（2023·广东深圳·校考一模）综合与实践
问题情境：在 中， ， ， ．直角三角板 中 ，将三角板
的直角顶点 放在 斜边 的中点处，并将三角板绕点 旋转，三角板的两边 ， 分别与
边 ， 交于点M，N．猜想证明：(1)如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边 的中点时，试判
断四边形 的形状，并说明理由；问题解决：(2)如图②，在三角板旋转过程中，当 时，
请直接写出 的长；(3)如图③，在三角板旋转过程中，当 时，请求出线段 的长．
例4．（2023年江西省南昌市月考）如图，两个全等的四边形 和 ，其中四边形 的顶
点O位于四边形 的对角线交点O．
(1)如图1，若四边形 和 都是正方形，则下列说法正确的有_______．（填序号）
① ；②重叠部分的面积始终等于四边形 的 ；③ ．
(2)应用提升:如图2，若四边形 和 都是矩形， ，写出 与 之间的数量关
系，并证明．(3)类比拓展:如图3，若四边形 和 都是菱形， ，判断（1）中的结论是否依然成立；如不成立，请写出你认为正确的结论（可用 表示），并选取你所写结论中的一个说明理
由．
例5．（2023.辽宁中考模拟）如图，在Rt ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不
与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋
转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且 ＜ ，请直接写出 的值（用
含k的式子表示）．
例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如图1，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC
边上中点D，连接AD，点E为AB边上一点，连接DE，作DF⊥DE交AC于点F，求证：BE＝AF；
（2）探索发现：如图2，已知在Rt ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC边上中点D，连接AD，点E为BA延长线上一点，AE＝1，连接DE，作DF⊥DE交AC延长线于点F，求AF的长；
（3）类比迁移：如图3，已知在 ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC边上中点D，连接AD，点
E为射线BA上一点（不与点A、点B重合），连接DE，将射线DE绕点D顺时针旋转30°交射线CA于点
F，当AE＝4AF时，求AF的长．
课后专项训练
1．（2023广东九年级期中）如图， 中， ， 平分 ， ，连接 ，
并延长分别交 ， 于点 和点 ，若 ， ，则 的长为（ ）
A．10 B．12 C．15 D．16
2．（2023·山西临汾·统考二模）在菱形 中， ，对角线 交于点 ，
分别是 边上的点，且 与 交于点 ，则 的值为 ．3．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知 ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一
△
点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则 = .
4．（2023·江苏扬州·八年级校考阶段练习）如图，已知 ABC是等边三角形,D是AC的中点,F为AB边上一
△
点,且AF=2BF,E为射线BC上一点,∠EDF=120°,则 = .
5．（2023青岛版九年级月考）如图，在 中， ， ，直角 的顶点
在 上， 、 分别交 、 于点 、 ， 绕点 任意旋转．当 时， 的值为
；当 时， 为 ．（用含 的式子表示）
6．（2023春·浙江嘉兴·九年级校考阶段练习）已知一块含 的直角三角板ABC按图1放置，其中 ，
点B与原点O重合， ， ．现将点A沿y轴向下滑动，同时点B沿x轴向右滑动，当
点A滑动至与原点O重合时停止． 当四边形 为矩形时（如图2），点C的坐标为 ；当
点A滑动到原点O时，点C经过的路径长为 ．7．（2023年河南一模数学试题）如图，在菱形 中， ， ，对角线 ， 交于
点 ， ， 分别是 ， 边上的点，且 ， ， 与 交于点 ，则 的值
为 ．
8．（2023.广东九年级期中）如图，在 中， ， ， ， ，
，点 在 上， 交 于点 ， 交 于点 ，当 时， ．
9．（2023年福建泉州中考数学模拟试卷）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12，AC=16，点D为边BC
的中点，DE⊥BC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ=90°．
（1）求ED、EC的长；（2）若BP=2，求CQ的长；（3）若线段PQ与线段DE的交点为F，当△PDF为等腰
三角形时，求BP的长．10．（2022春·四川达州·九年级专题练习）已知，在 中， ．
（1）如图1，已知点D在 边上， ，连结 ．试探究 与 的关系；
（2）如图2，已知点D在 下方， ，连结 ．若 ， ，
， 交 于点F，求 的长；（3）如图3，已知点D在 下方，连结 、 、 ．若
， ， ， ，求 的值．
11．（2023辽宁铁岭市中考模拟）如图， 中， ，DE垂直平分AB，交线段BC于点E（点E
与点C不重合），点F为AC上一点，点G为AB上一点（点G与点A不重合），且 ．（1）如图1，当 时，线段AG和CF的数量关系是 ．
（2）如图2，当 时，猜想线段AG和CF的数量关系，并加以证明．
（3）若 ， ， ，请直接写出CF的长．
12．（2023西南交通大学附属中学九年级月考）在 中， ， ， ，点 为边
的中点， 交边 于点 ，点 为直线 上的一动点，点 为直线 上的一动点，且
．
（1）求 、 的长．（2）若 ，求 的长．（3）记线段 与线段 的交点为点 ，若
为等腰三角形，求 的长．13．（2022秋·山西吕梁·九年级校考阶段练习）综合与实践
问题情境：在 中， ．点 在 斜边 上运动，过点 作射线
，分别与边 交于点 ．猜想证明：（1）当点 在 斜边 的中点处时，
①如图（1），在 旋转过程中，当点 时， 与 的数量关系是______， _______．
②当 旋转到如图②所示的位置时， 的值是否发生变化？若不变，请证明；若变化，请说明理由．
③如图③，在 旋转过程中，当 时，直接写出线段 的长_______；
类比探究（2）当点 在 斜边 上运动时，
①如图④，当点 运动到 时， _______；
②如图⑤，连接 ，当 是等腰三角形时，求 的长．
14．（2023秋·山西忻州·九年级校考期末）综合与实践
问题情境：在学习了三角形的相似后，同学们开始了对不同三角形中的相似模型的探究．
猜想推理：
（1）如图1，在等边 中，D为 边上一点，E为 边上一点， ， ， ，
则 ______．问题解决：（2）如图2， 是等边三角形，D是 的中点，射线 ， 分别交
， 于点E，F，且 ，求证： ．（3）如图3， ， ，，D是 的中点，射线 ， 分别交 ， 于点E，F，且 ，求 的值．
15．（2023广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形 的对角线相交于点 ，在正方
形 绕点 旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边 与边 交于点 ．证明：
；
（2）【类比迁移】如图2，矩形 的对角线相交于点 ，且 ， ．在矩形 绕点
旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边 与边 交于点 ．若 ，求 的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形 和四边形 都是平行四边形，且 ， ，
， 是直角三角形．在 绕点 旋转的过程中，边 与边 交于点 ，边
与边 交于点 ．当 与 重叠部分的面积是 的面积的 时，请直接写出 的
长．
