文档内容
押北京卷 20 题
导数解答题
核心考点 考情统计 考向预测 备考策略
切线方程，单调性，极值 2023·北京卷T20
导数大题难度较难，纵观近
可以预测 2024 年新
几年的新高考试题，主要极
高考命题方向将继续
值最值、用导数研究函数单
以几何意义，导数综
调性问题及参数范围求解、
合问题之单调性、极
切线方程，单调性，证明问题 2022·北京卷T20 不等式证明问题、零点及恒
值最值、求解及证明
成立问题等知识点，同时也
问题为背景展开命
是高考冲刺复习的重点复习
题．
内容。
切线方程，极值、单调性、最
2021·北京卷T9
值
1.（2023·北京卷T20）设函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求 的极值点个数．
2.（2022·北京卷T20）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
(3)证明：对任意的 ，有 ．3.（2021·北京卷T19）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
1.导函数与原函数的关系
f' (x)>0,k>0,f (x)单调递增， f' (x)<0,k<0,f (x)单调递减
2.极值
（1）极值的定义
f (x) x=x f (x) x=x
在 0处先↗后↘， 在 0处取得极大值
f (x) x=x f (x) x=x
在 0处先↘后↗， 在 0处取得极小值
3.导数的几何意义
(1)函数在某点的导数即曲线在该点处的切线的斜率.
(2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同.
(3)切点既在切线上，又在曲线上.
4.利用导数研究函数单调性的关键
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域.
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认.
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况.
5.由导函数的图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点
(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点.
(2)由y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的函数值的正负，从而可得到函数y＝f(x)的单调性，可
得极值点.
6.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
7.两招破解不等式的恒成立问题
(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.
分离参数法 ⇔ ⇔
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
函数思想法
第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
8.常用函数不等式：
① ，其加强不等式 ；
② ，其加强不等式 .
③
ex−1 ≥x
，
lnx≤x−1
，
ln(x+1)≤x
1 1 1 1 2(x−1) 1 3
1− < (x− )<√x− 2)
2 2 x x+1 √x 2 x
1 1
x+11)
1−x
，
1−x
9.利用导数证明不等式问题：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；（2）转化为证不等式 （或 ），进而转化为证明 （ ），因此只需在所
给区间内判断 的符号，从而得到函数 的单调性，并求出函数 的最小值即可.
1．已知函数 .
(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，求函数 的最小值；
(3)若 ，求实数 的值.
2．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处切线的斜率；
(2)当 时，讨论 的单调性；
(3)若集合 有且只有一个元素，求 的值．
3．已知函数 .
(1)求 的图象在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调区间；
(3)若对任意 ，都有 ，求 的最大值.（参考数据： ）
4．已知函数 ．(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求 的极值；
(3)当 时，判断 零点个数，并说明理由．
5．已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值与最小值；
(3)当 时，求证： ．
6．设函数 ，曲线 在点 处的切线斜率为1．
(1)求a的值；
(2)设函数 ，求 的单调区间；
(3)求证： ．
7．已知函数 .
(1)求曲线 的斜率为1的切线方程；
(2)证明： ；
(3)设 ，求 在区间 上的最大值和最小值.
8．已知函数 ；
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若正数a使得 对 恒成立.求a的取值范围；
(3)设函数 ，讨论其在定义域内的零点个数．
9．已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
10．已知函数 ，其中 .
(1)若 是 的极值点，求 的值；
(2)求 的单调区间；
(3)若 在 上的最大值是0，求 的取值范围.
