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专题 05 相似三角形的基本模型（X 字型）
【模型说明】
“X”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比
例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3 图4
1）“8”字模型，条件：如图1，AB∥CD；
结论：△AOB∽△COD⇔＝＝.
2）反“8”字模型，条件：如图2，∠A＝∠D；
结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝.
3）平行双“8”字模型，条件：如图3，AB∥CD；】
结论：
4）斜双“8”字模型，条件：如图4，∠1＝∠2；
结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC.
【例题精讲】
例1．（基本模型1）如图（1）所示：等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D
点的直线BC ⊥AC于C 交AB的延长线于B．
1 1 1 1
（1）请你探究： ， 是否都成立？
（2）请你继续探究：若△ABC为任意三角形，线段AD为其内角角平分线，请问
一定成立吗？并证明你的判断．
（3）如图（2）所示Rt△ABC中，∠ACB＝90︒，AC＝8，BC＝ ，DE∥AC交AB于点
E，试求 的值．例2．（基本模型2）（1）某学校“学习落实”数学兴趣小组遇到这样一个题目
如图，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝ ，BO：CO
＝2：1，求AB的长经过数学小组成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点
D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）
请回答：∠ADB＝ °，AB＝
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3在四边形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO＝ ，∠ABC＝
∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的长
例3．（培优综合1）如图，在 中，点D在BC上， ，连接AD，，则线段AD的长为 ．
例4．（培优综合2）如图，在矩形 中， 分别为边 ， 的中点， 与 ，
分别交于点M，N．已知 ， ，则 的长为 ．
例5．（与反比例综合）如图，把一个等腰直角三角形放在平面直角坐标系中，
∠ACB=90°，点C（-1，0），点B在反比例函数 的图像上，且y轴平分∠BAC，则k
的值是 ．例6．（与二次函数综合）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
交 轴于点 ， 是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为 ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，连接 ，交线段 于点 ，若 ，求 的值．
(3)如图2，已知抛物线的对称轴交 轴于点 ，与直线 ， 分别交于 、 两点．试
问 是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【变式训练1】．如图，在 中， ， ， ，点 为 上一
点，连接 ， 为 上一点， 于点 ，当 时，求 的长．
【变式训练2】．如图，在 中 ， 、 分别是 、 的中点，动点 在射
线 上， 交 于点 ， 的平分线交 于点 ，当 时，
．【变式训练3】．如图，在等边 边长为6，O是中心；在 中， ，
， ．将 绕点A按顺时针方向旋转一周．
(1)当 、 分别在 、 边上，连结 、 ，求 的面积；
(2)设 所在直线与 的边 或 交于点F，当O、D、E三点在一条直线上，求
的长；
(3)连结 ，取 中点M，连结 ， 的取值范围为_________．
【变式训练4】．如图1：抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于点A、B，连接AC、BC，tan∠ABC
＝1，tan∠BAC＝4．
(1)抛物线的解析式为 ；(2)点P在第三象限的抛物线上，连接PC、PA，若点P横坐标为t，△PAC的面积为S，求S
与t的函数关系式；
(3)如图2，在（2）的条件下，当S＝6时，点G为第四象限抛物线上一点，连接PG，
CH⊥PG于点H，连接OH，若tan∠OHG ，求GH的长．
【变式训练5】．【问题背景】如图1，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝
∠ACB，求证：BA2＝BD•BC；
【尝试应用】如图2，在△ABC中，点D在边BC上且满足∠BAD＝∠ACB，点E在边AB
上，点G在AB的延长线上，延长ED交CG于点F，若3AD＝2AC，BE＝ED，BG＝2，
DF＝1，求BE的长度；
【拓展创新】如图3，在△ABC中，点D在边BC上（AB≠AD）且满足∠ACB＝2∠BAD，
DH⊥AB垂足为H，若 ，请直接写出 的值________．
课后训练
1．如图，在 中， 是 边上的中线， 是 上的一点，且 ，连
结 并延长交 于点 ，则 等于( )．
2.正方形 中， ，点 是对角线 上的一动点， 将
沿 翻折得到 ，直线 交射线 于点 ．(1)当 时，求 的度数 用含 的式子表示 ；
(2)点 在运动过程中，试探究 的值是否发生变化？若不变，求出它的值 若变化，请说
明理由；
(3)若 ，求 的值．
3．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别
过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．
（1）求证：AN＝CM；
（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；
（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．
4．如图，正方形 中， 为 边上任意点， 平分 交 于点 ．
如图1，若点 恰好为 中点，求证： ；
在 的条件下，求 的值；如图2，延长 交 的延长线于点 ，延长 交 的延长线于点 连接 当
时，求证： ．
5．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，AD=BE，CD与AE交于F．
（1）求∠AFD的度数；
（2）若BE=m，CE=n．
①求 的值；（用含有m和n的式子表示）
②若 = ，直接写出 的值．
6．在图中；如图 ，在正方形 中，延长 至 ，使 ，连结 交 延
长线于点 .
（1）求证： ；
（2）如图 ，连结 交 于点 ，连结 交 于点 .若 ，且 ，
则线段 ______.7．已知在 中，点 为边 上一点，点 为边 的中点， 与 交于点 ．
（1）如图，当 时， ________；
（2）如图，当 时，求证： ．
