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专题06 勾股定理易错题集训及常考疑难问题突破（原卷版）
类型一 教材易错易混题集训
易错点1 误认为三角形为直角三角形
1．已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足❑√a−2+b2﹣6b+9＝0，试求c的值．
易错点2 误认为c为直角三角形的斜边
2．在△ABC中，已知∠B＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且a＝6，b＝8，求c的长．
3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a2+b2≠c2，则这个三角形是不是直角三角形？
请说明理由．
易错点3 忽视分类讨论
4．（2022春•关岭县期中）若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A．13或❑√119 B．13或19 C．13或15 D．15
5．（2022秋•冠县期末）在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6，若点P在直线AC上
（不与点A、C重合），且∠ABP＝30°，则CP的长为（ ）
A．6或2❑√3 B．6或4❑√3 C．2❑√3或4❑√3 D．6或2❑√3或4❑√3
6．（2023春•青云谱区月考）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=❑√3，AD＝1，AB＝2AC，求BC
的长．7．（2022秋•禅城区月考）某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造，测得两直角边长为 6m、8m．
现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以 8m长的边为直角边的直角三角形．（如图所示：假设
Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6m，AC＝8m）
（1）求原花圃周长．
（2）请设计出扩建后为等腰三角形花圃的所有合适的方案．（画出草图，并注意指出哪两条是腰）
（3）求扩建后的等腰三角形花圃的周长．
易错点4 忽视使用勾股定理的条件
8．（2022春•米东区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则
BC的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（2023秋•崇安区期末）△ABC中，AB＝10，BC＝16，BC边上的中线AD＝6，则AC＝ ．
易错点5 忽视勾股数中“正整数”的条件
10．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，40，41 B．❑√2，❑√22
C．5，4，❑√41 D．3k，4k，5k（k为整数）
11．下列几组数中是勾股数的有（ ）
2 7
①9，40，41；②13，14，15；③3k，4k，5k（k为正整数）；④ ，2， ．
3 3
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组类型二 常考疑难问题突破
疑难点1 规律探究问题
12．（2023春•吕梁期中）细心观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题．
❑√1
OA 2=（❑√1）2+1＝2，S = ；
2 1 2
❑√2
OA 2=12+（❑√2）2＝3，S = ；
3 2 2
❑√3
OA 2=12+（❑√3）2＝4，S = ⋯
4 3 2
❑√n
（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OA 2= n ，S ＝ ．
n n 2
（2）求出OA 的长．
10
（3）若一个三角形的面积是❑√5，计算说明它是第几个三角形？
13．（2021春•蓬江区期中）陈老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
n 2 3 4 5 …
a 22﹣1 32﹣1 52 ﹣1 …
b 4 6 8 10 …
c 22+1 32+1 52 +1 …
（1）补充完整表格：
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形，并证明你的猜想．疑难点2 数学建模问题
14．设计师要用四条线段CA，AB，BD，DC首尾相接组成如图所示的两个直角三角形图案，∠C与∠D为
直角，已知其中三条线段的长度分别为1cm，9cm，5cm，第四条长为xcm，试求出所有符合条件的x的
值．
15 ． （ 2021• 黔 东 南 州 模 拟 ） 黔 东 南 州 某 校 杨 老 师 组 织 数 学 兴 趣 小 组 开 展 探 究 代 数 式
（x≥0）的最小值，王老师巧妙的运用了“数形结合”的思想，具体做法是：如
❑√x2+1+❑√(4−x) 2+4
图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝1，DE＝
2，BD＝4．设BC＝x，则AC ，CE ，则问题转化成求AC+CE的最小值．
=❑√x2+1 =❑√(4−x) 2+4
【探究发现】
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得
❑√x2+1+❑√(4−x) 2+4
4
（x≥0）的最小值等于 5 ，此时x＝ ．
3
（2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式 （x≥0）的最小值．
❑√x2+4+❑√(12−x) 2+9
【拓展迁移】
（3）请你用构图的方法试求 （x≥0）的最大值．
❑√(4+x) 2+4−❑√x2+1疑难点3 最短路径问题
16．（2020秋•峄城区期中）已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从
A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（ ）
A．❑√29cm B．5cm C．❑√37cm D．4.5cm
17．（2022秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛
藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因
一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好
到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 丈．
18．（2022春•蜀山区期中）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC的一动点，
点P为BD上一动点，连接PE、PC，则PE+PC的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
