押天津卷第19题学生版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_5.2024三轮冲刺_备战2024年高考数学临考题号押题（天津专用）323409112

押天津卷 19 题 数列综合 考点 2年考题 考情分析 数列大题一般而言第一问涉及到等比等差的基础量的运算， 这部分难度不大，属于送分题，第二问一般以证明题的形式 来考察，难度较大。23年涉及到数列极限的思想说明对于难 2023年天津卷第19题 题的考察，高考在贴近大学的知识，这对考生要求较高。数 数列大题 列可考察的知识点较多，可以结合的知识也较多，类似数列 2022年天津卷第18题 与不等式，裂项相消错位相减奇偶并项求和，数列的放缩等 等。预测 24年高考依旧会把数列作为一道压轴大题来考 察。 题型一数列大题 19．（15分）（2023•天津）已知 是等差数列， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式和 ； （Ⅱ）已知 为等比数列，对于任意 ，若 ，则 ． 当 时，求证： ； 求 的通项公式及其前 项和． 18．（15分）（2022•天津）设 是等差数列， 是等比数列，且 ． （1）求 与 的通项公式； （2）设 的前 项和为 ，求证： ；（3）求 [a ﹣（﹣1）ka ]b ．． k+1 k k 一、公式法 （1）等差数列 的前n项和 （2）等比数列 的前n项和 （3）一些常见的数列的前n项和： ① ； ② ； ③ ； ④ 二、几种数列求和的常用方法 （1）分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分 组求和法，分别求和后相加减． （2）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n项 和． （4）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求 这个数列的前 项和即可用错位相减法求解． （5）倒序相加法：如果一个数列 与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法求解． 【常用结论】 裂项技巧 ①等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） ②根式型 （1） （2） （3） ③指数型 （1）（2） （3） ④三角型 （1） （2） （3） ⑤阶乘 （1） ⑥常见放缩公式： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ；（6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） ； （11） ； （12） ； （13） ． （14） ．1．已知 是等差数列，其公差 大于1，其前 项和为 ， 是等比数列，公比为 ，已知 ， ， ， ． （1）求 和 的通项公式； （2）若正整数 ， ， 满足 ，求证： ， ， 不能成等差数列； （3）记 ，求 的前 项和 ． 2．在正项等比数列 中， ， ． （Ⅰ）求 的通项公式： （Ⅱ）已知函数 ，数列 满足： ． 求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式 设 ，证明： 3．已知各项均为正数的数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 为等比数列，且满足 ， ． （Ⅰ）求数列 和 的通项公式； （Ⅱ）求证： ； （Ⅲ）求 的值． 4．已知数列 的前 项和为 ， ， ，数列 为正项等比数列， ， 是 与 的等差中项．（Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）若 ，求数列 的前 项和 ； （Ⅲ）设 ，求数列 的前 项和 ． 5．设 是等差数列， 是各项均为正数的等比数列， ， ， ， ． （1）求数列 与 的通项公式； （2）数列 ， 的前 项和分别为 ， ； （ⅰ）证明 ； （ⅱ）求 ． 6．已知数列 是等比数列， ， ， ， 成等差数列． （1）求 的通项公式和 ； （2）数列 满足 ；当 时， ；当 时， ．记数列 的前 项和为 ． ①若 ，求 的值； ②若 ，求证： ． 7．已知 是等差数列， 是公比不为1的等比数列， ， ， ，且 是 与的等差中项． （1）求：数列 和 的通项公式． （2）设 ，求 ． （3）若对于数列 、 ，在 和 之间插入 个 ，组成一个新的数列 ，记数列 的前 项和为 ，求 ． 8．已知数列 是正项等比数列， 是等差数列，且 ， ， ， （1）求数列 和 的通项公式； （ 2 ） 表 示 不 超 过 的 最 大 整 数 ， 表 示 数 列 的 前 项 和 ， 集 合 共有4个元素，求 范围； （3） ，数列 的前 项和为 ，求证： ． 9．已知数列 满足： ，正项数列 满足： ，且 ， ， ． （1）求 ， 的通项公式； （2）已知 ，求： ；（3）求证： ． 10．已知数列 ， ， 是数列 的前 项和，已知对于任意 ，都有 ，数列 是等差数列， ，且 ， ， 成等比数列． （1）求数列 和 的通项公式； （2）记 ，求数列 的前 项和 ； （3）记 ，求 ． 11．已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足： ， ． （1）证明： 是等比数列； （2）证明： ； （3）设数列 满足： ．证明： ． 12．设 为等比数列， 为公差不为零的等差数列，且 ， ， ． （1）求 和 的通项公式； （2）记 的前 项和为 ， 的前 项和为 ，证明： ；（3）记 ，求 ． 13．已知数列 是等比数列，其前 项和为 ，数列 是等差数列，满足 ， ， ． （Ⅰ）求数列 和 的通项公式； （Ⅱ）记 ，求 ； （Ⅲ）证明： ． 14．已知数列 是正项等比数列， 是等差数列，且 ， ， ． （1）求数列 和 的通项公式； （2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ； （3） 表示不超过 的最大整数， 求：① ； ② ． 15．设 是等差数列，其前 项和为 ， 为等比数列，公比大于1．已知 ， ，， ． （1）求 和 的通项公式； （2）设 ，求 的前 项和； （3）设 ，求证： ． 16．已知数列 的前 项和为 ， ，数列 为等比数列，且 ， 分别为数列 第二项和第三项． （1）求数列 与数列 的通项公式； （2）若数列 ，求数列 的前 项和 ； （3）求证： ． 17．已知 为数列 的前 项和，且满足 其中 ，且 ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； 2n1 2n b mb i l （Ⅱ）设 ，若对任意的 ，都有： l1 i1 ，求实数m的取值范围． a n 2 18．若某类数列 {a n } 满足“ n�2 ， a n1 ，且 a n 0(nN*) ，则称这个数列 {a n } 为“G型数列”． （Ⅰ）若数列 {a n } 满足 a 1 3 ， a n a n1 32n1 ，求 a 2， a 3的值并证明：数列 {a n } 是“G型数列”； （Ⅱ）若数列 {a n } 的各项均为正整数，且 a 1 1 ， {a n } 为“G型数列”，记 b n a n 1 ，数列 b} 为等比数列，公比 q 为正整数，当 {b n } 不是“G型数列”时， (i) {a } 求数列 n 的通项公式； n 1 5   (ii) a a 12 (nN*) 求证：k1 k k1 ， ． 2S n a 1(nN*) 19．已知数列 {a n } 的前n项和为 S n，满足： n n ． {a } （1）求证：数列 n 为等差数列； （2）若 a 2 3 ，数列 {b n } 满足 b 1 a 1， b 3 a 3 1 ， lgb n lgb n2 2lgb n1 (nN*) ，记 T n为 {b n } 的前n项和， T T T2 求证： n n2 n1； 6n7b  n ,n为奇数 c  a a n n n2  （3）在（2）的前提下，记 log 2 b n1 ,n为偶数 ，数列 {c n } 的前 2n项和为 K 2n，若不等式 4n (1)n K 4n1 2n 对一切nN* 恒成立，求的取值范围． 20．已知等差数列 {a n } 的首项为 1，前n项和为 S n，单调递增的等比数列 {b n } 的首项为 2，且满足 b S 7 b S 14 2 2 ， 3 3 ． {a } {b } （1）求 n 和 n 的通项公式； 3S a S (a 1)S (nN*) （2）证明： n n n1 n n ； n TS 1  i i  n(n1)(n2) （3）记 {b n } 的前n项和为 T n，证明： i1 b i 3 ． 21．记 S n是公差不为 0 的等差数列 {a n } 的前 n项和，已知 a 3 3a 4 S 5， a 1 a 5 S 4，数列 {b n } 满足b 3b 2n1(n�2,nN*) b a 1 n n1 ，且 1 1 ． {a } （Ⅰ）求 n 的通项公式； b   n 1 （Ⅱ）证明数列2n 是等比数列，并求 {b n } 的通项公式； n 1 3   （Ⅲ）求证：对任意的nN* ， i1 b i 2 ． {a } q1 a a 2 a {b } 22．已知数列 n 是公比 的等比数列，前三项和为13，且 1， 2 ， 3恰好分别是等差数列 n 的 第一项，第三项，第五项． {a } {b } （Ⅰ）求 n 和 n 的通项公式；  1  , n2k1 c bb n n n2  （Ⅱ）已知kN* ，数列 {c n } 满足 a n b n , n2k ，求数列 {c n } 的前2n项和 S 2n； (8n10)a 1 d  n （Ⅲ）设 n (2a n 1)(2a n2 1) ，求数列 {d n } 的前n项和 T n．