押天津卷第20题学生版_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_5.2024三轮冲刺_备战2024年高考数学临考题号押题（天津专用）323409112

押天津卷 20 题 导数综合 考点 2年考题 考情分析 导数作为高考的压轴大题，难度一直都是较大的，近两年高 考在导数的第一问考察求导的基本运算，以及切线方程，第 2023年天津卷第20题 一问的难度较小，大多考生可以解决，后面的问题大多是证 导数大题 明的形式来考察，整体难度较大，涉及参数范围，极值点， 2022年天津卷第20题 最值，零点问题的研究，不等式的证明，函数的构造等。难 度很大，考生需要对导数知识掌握透彻的同时了解一些高等 数学的内容这样处理导数难题会有些帮助。 题型一导数综合 20．（16分）（2023•天津）已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在 处的切线斜率； （Ⅱ）当 时，求证： ； （Ⅲ）证明： ． 20．（15分）（2022•天津）已知 ， ，函数 ， ． （1）求函数 在 ， 处的切线方程； （2）若 和 有公共点． （ⅰ）当 时，求 的取值范围； （ⅱ）求证： ．一、导数的应用 1.在点的切线方程 切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为 ，抓住关键 ． 2.过点的切线方程 设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ， 又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几条切 线） 3．函数的极值 函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极大 值，记作 ．如果对 附近的所有点都有 ，则称 是函数的一个极小值，记作 ．极大值与极小值统称为极值，称 为极值点． 求可导函数 极值的一般步骤 （1）先确定函数 的定义域； （2）求导数 ； （3）求方程 的根； （4）检验 在方程 的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那 么函数 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数 在这个根处取得极小值.注①可导函数 在点 处取得极值的充要条件是： 是导函数的变号零点，即 ，且在 左侧 与右侧， 的符号导号. ② 是 为极值点的既不充分也不必要条件，如 ， ，但 不是极值点.另 外，极值点也可以是不可导的，如函数 ，在极小值点 是不可导的，于是有如下结论： 为 可导函数 的极值点 ；但 为 的极值点. 4．函数的最值 函数 最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数 最小值为极小值与靠近极大值 的端点之间的最小者． 一般地，设 是定义在 上的函数， 在 内有导数，求函数 在 上 的最大值与最小值可分为两步进行： （1）求 在 内的极值（极大值或极小值）； （2）将 的各极值与 和 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 注：①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是 对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值； ②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得. 【常用结论】 （1）若函数 在区间D上存在最小值 和最大值 ，则 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； 不等式 在区间D上恒成立 ； （2）若函数 在区间Ｄ上存在最小值 和最大值 ，即 ，则对不等式有 解问题有以下结论： 不等式 在区间D上有解 ；不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ； 不等式 在区间D上有解 ； （3）对于任意的 ，总存在 ，使得 ； （4）对于任意的 ，总存在 ，使得 ； （5）若存在 ，对于任意的 ，使得 ； （6）若存在 ，对于任意的 ，使得 ； （7）对于任意的 ， 使得 ； （8）对于任意的 ， 使得 ； （9）若存在 ，总存在 ，使得 （10）若存在 ，总存在 ，使得 ． 三、导数中不等式的证明 证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有： (1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅 助函数h(x)＝f(x)－g(x)； (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋ln x（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立. ②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞ x＞1＋ln x（x＞0，且x≠1）. (3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转 化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数； (4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值 点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处 f(x) >g(x) 恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”． min max 【常用结论】 1.破解含双参不等式证明题的3个关键点 （1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不 等式. （2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值. （3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.总结：双变量相关问题，解题策略是减少变量，方式为一个变量用另一个变量表示，或将两变量的整体换 元，如下列形式 等常见形式 2.常见不等式（大题使用需要证明） ① ， ， ， ② ， ； ； ③ ； ； ④ ； ⑤ ； ⑥ ； ； ， 一．解答题（共20小题） 1．已知函数 ． （1）求 的单调区间； （2）证明： ； （3）若 ， ，且 ，求证： （a） （b） ． 2．已知函数 的图象在 ， （1） 处的切线经过点 ． （1）求 的值及函数 的单调区间；（2）若关于 的不等式 在区间 上恒成立，求正实数 的取值范围． 3．已知 ， 为函数 的极值点，直线 过点 ， ， ， （a） ， （Ⅰ）求 的解析式及单调区间； （Ⅱ）证明：直线 与曲线 交于另一点 ； （Ⅲ）若 ，求 ． （参考数据： 4．已知函数 ， ， ， 为自然对数的底数）． （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）设 在 处的切线方程为 ，求证：当 时， ； （Ⅲ）若 存在 ，使得 ，且 ，求证：当 时， ． 5．已知函数 ， ． （1）若 ，求 的取值范围； （2）求证： 存在唯一极大值点 ，且知 ； （3）求证： ． 6．已知函数 ．（1）求函数 在点 ， （1） 处的切线方程； （2）求函数 的最小值； （3）函数 ， （1） ，证明： ， ， ． 7．设函数 ． （Ⅰ）求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （Ⅱ）设函数 ， 当 时， 取得极值，求 的单调区间； 若 存在两个极值点 ， ，证明： ． 8．已知函数 是自然对数的底数）． （1）当 时，求函数 在点 ， （1） 处的切线方程； （2）当 时， 求证：函数 存在唯一的极值点 ； 是 的零点， ，求证 ． 9．已知函数 ， 且 ． （1）当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2）若 ，且 存在三个零点 ， ， ． 求实数 的取值范围； 设 ，求证： ．10． ， ，已知 的图象在 ， 处的切线与 轴平行或重合． （1）求 的值； （2）若对 ， 恒成立，求 的取值范围； （3）利用如表数据证明： ． 1.010 0.990 2.182 0.458 2.204 0.454 12．已知函数 ， ． （1）讨论 的单调区间； （2）当 时，令 ． ①证明：当 时， ； ②若数列 满足 ， ，证明： ． 13．已知函数 ． （Ⅰ）求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （Ⅱ）求 的单调区间； （Ⅲ）若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围． 14．已知 ， ，函数 ． （1）当 ， 时，求 的单调区间； （2）当 时，设 的导函数为 ，若 恒成立，求证：存在 ，使得 ； （3）设 ， ，若存在 ， ，使得 ， 证明： ． 15．已知函数 ， ，其中 ， （1）若 ； 当 时，求 的单调区间； 曲线 与直线 有且仅有两个交点，求 的取值范围． （2）证明：当 时，存在直线 ，使直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线． 16．已知 ． （Ⅰ）求曲线 在 ， 处的切线方程； （Ⅱ）判断函数 的零点个数； （Ⅲ）证明：当 时， ． 17．已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程； （2）若函数 有极大值，试确定 的取值范围； （3）若存在 使得 成立，求 的值． f(x)xlnxx1 g(x)mlnxex(mR) 18．已知函数 ， ．f(x) （1）求 的最小值； 1a （2）若0a1，且be a 1，求证： log a b1 ； g(x) x x |g(x )g(x )|1 （3）若 有两个极值点 1， 2，证明： 1 2 ． 19．已知函数 f(x)ex ax ， g(x)ln(x2)a ，其中e为自然对数的底数，aR． （1）当a0时，函数 f(x) 有极小值 f （1），求a； f(x)g(x) （2）证明： 恒成立； 3 4 n1 e ln2(ln )2 (ln )3 (ln )n  （3）证明： 2 3 n e1． 1 f(x) ax2 xlnx(aR) 20．已知函数 2 ． f(x) （1）讨论 的单调性； （2）当 x�1 时， | f(x)|�2 ，求a的取值范围； n 1 1  1 lnk n （3）证明：k2 ．