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专题 06 相似三角形的基本模型（子母型）
【模型说明】
“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓
于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共
角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
图1 图2 图3
1）“母子”模型（斜射影模型）
条件：如图1，∠C=∠ABD； 结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.
2）双垂直模型（射影模型）
条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；
结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
3）“母子”模型（变形）
条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC； 结论：△ABD∽△ECA；
【例题精讲】
例1．（基本模型1）（1）如图，点 在线段 上，点 在直线 的同侧，
，求证： ；
（2）如图，点 在线段 上，点 在直线 的同侧， ，， ， ，求 的值；
（3）如图， 中，点 在 边上，且 ， ， ，点 在
边上，连接 ， ， ，求 的值．
例2．（基本模型）在 中， ， 平分 ．
（1）如图1，若 ， ，求 的长．
（2）如图2，过 分别作 交 于 ， 于 ．
①求证： ；
②求 的值．
例3．（培优综合1）如图，在 中， 平分 在 延长线上，且，若 ， ，则 的长为 ．
例4．（培优综合2）如图，在 中， ， ， ，
， ，则CD的长为 ．
例5．（最值问题）如图，正方形ABCD的边长为4，点E 、F在边BC，CD上运动，且满足
BE=CF，连接AE，BF交于点G，连接CG，则CG的最小值为 ；当CG取最小值时，
CE的长为
例6．（与圆综合）如图， 是 的直径，点 是 上一点， 和过点 的切线互相垂直，垂足为点 ，直线 与 的延长线相交于点 ．弦 平分 ，交直径
于点 ，连接 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）探究线段 ， 之间的大小关系，并加以证明；
（3）若 ， ，求 的长．
例7．（与函数综合）如图，抛物线 与x轴正半轴交于点A，与y轴交
于点B．
（1）求直线 的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作 轴，垂
足为C， 交 于点D，求 的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线 向右平移得到抛物线 ，直线 与抛物线
交于M，N两点，若点A是线段 的中点，求抛物线 的解析式．
课后训练1．如图， 中， ， ， ，点 ， 分别在 ， 上，
， ．把 绕点 旋转，得到 ，点 落在线段 上．
若点 在 的平分线上，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图， 中，点 在 上， ，若 ， ，则线段 的长
为 ．
3．如图，在等边三角形 的 边上各取一点P，Q，使 ， 相交
于点O，若 ， ，则 的长为 ， 的长为 ．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝2，
∠EAF＝45°，则DF的长是 ．
5．如图，在 中， ， ， ， ，垂足为 ， 为的中点， 与 交于点 ，则 的长为 ．
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D是AC的中点，点E在BC上，分
别连接BD、AE交于点F．若∠BFE＝45°，则CE＝ ．
7．在矩形 中， ， ， 是 边上一点， 交 于点 ，过点
作 ，交射线 于点 ，交射线 于点 ．
（1）如图 ，当点 与点 重合时，求 的长．
（2）如图 ，当点 在线段 上时，设 ， ，求 与 之间的函数关系式，
并写出它的定义域．
（3）连接 ，当 与 相似时，求线段 的长．
8．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，P为BA延长线上一点，连接CA、CD、AD，且∠PCA＝∠ADC，CE⊥AB于E，并延长交AD于F．
（1）求证：PC为⊙O的切线；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求PA的长．
9．（1）问题感知 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，且AC＝BC，点P是边AC的中点，连
接BP，将线段PB绕点P顺时针旋转90°到线段PD．连接AD．过点P作PE∥AB交BC于点
E，则图中与△BEP全等的三角形是 ，∠BAD＝ °；
（2）问题拓展 如图2，在△ABC中，AC＝BC＝ AB，点P是CA延长线上一点，连接BP，
将线段PB绕点P顺时针旋转到线段PD，使得∠BPD＝∠C，连接AD，则线段CP与AD之间
存在的数量关系为CP＝ AD，请给予证明；
（3）问题解决 如图3，在△ABC中，AC＝BC＝AB＝2，点P在直线AC上，且∠APB＝
30°，将线段PB绕点P顺时针旋转60°到线段PD，连接AD，请直接写出△ADP的周长．
10．如图1， ， ， ，点 从点 出发以每秒1个单位长度的速度向点 运动，点 同时从点 出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终
点时，另一点也停止运动．
(1)求 的长．
(2)当以点 、 、 为顶点的三角形与 相似时，求 的值．
(3)如图2，将本题改为点 从点 出发以每秒3个单位长度的速度在 上向点 运动，
点 同时从点 出发向点 运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当 为
何值时， 为等腰三角形．
