文档内容
专题 06 角的平分线的性质（4 个知识点 3 种题型 2
种中考考法）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.作已知角的平分线（重点）
知识点2.角的平分线的性质（重点）
知识点3.证明几何命题的一般步骤（难点）
知识点4.角的平分线的判定（重点）
【方法二】 实例探索法
题型1.角平分线的性质的应用
题型2.角平分线的判定的应用
题型3.角平分线的性质在开放探究题型中的应用
【方法三】 仿真实战法
考法1.角平分线的作图及判定
考法2.角平分线的性质的应用
【方法四】 成果评定法
【学习目标】
1. 会作一个角的平分线，能区别角的平分线与三角形的角平分线的异同点。
2. 掌握角的平分线的性质和判定，会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题
3. 通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实。
【知识导图】【倍速学习五种方法】
【方法一】脉络梳理法
知识点1.作已知角的平分线（重点）
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
1
（2）分别以D、E为圆心，大于2 DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【例1】（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，已知 ，利用尺规，在 边上求作一点 ，使
得 .（保留作图痕迹，不写作法）知识点2.角的平分线的性质（重点）
角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的性质定理：
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
【例2】（2023春·山西太原·七年级校考阶段练习）如图， 中， ， 平分 ，
， ，求 的面积．
知识点3.证明几何命题的一般步骤（难点）(1)按题意画出图形.
(2)分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论
(3)在“证明”中写出推理过程
在解决几何问题时,有时需要添加辅助线.添辅助线的过程要写人证明中.辅助线通常画成虚线
【例3】（2022秋·山东德州·八年级校考期中）求证：三角形两外角的平分线的交点到三角形三边（或所
在的直线）距离相等．
要求：画图，写出已知，求证，然后写出证明过程．
【变式1】（2022春·甘肃酒泉·八年级统考期中）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，
要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，
并写出了不完整的已知和求证．
(1)已知：如图， ，点 在 上，______，求证：______．请你补全已知和求证．
(2)并写出证明过程．
【变式2】小颖同学要证明命题“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”是正确的，她先画出了如
图所示的图形，并写出了不完整的已知和求证：
已知：如图， ，点D在射线 上， ，
求证： ．
(1)补全图形，已知和求证；(2)按小颖的想法写出证明过程．
(3)请写出“角的平分线上的点到这个角的两边距离相等”的逆命题，它是真命题吗？并加以证明．
【变式3】（2023秋·河南南阳·八年级统考期末）【教材呈现】下面是华师版八年级上册数学教材第96页
的“3．角平分线”部分内容．
【联想证明】在学完角平分线的性质定理后，
①（请填空）爱联想的成成同学先写出了角平分线性质定理的逆命题为：________．
②接着成成同学又对所写的命题进行了证明．请你把下面成成同学的已知、求证、图形补充完整，再进行
证明．
已知：如图，点 是 内部一点，________．
求证：________．证明：
知识点4.角的平分线的判定（重点）
角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
用符号语言表示角的平分线的判定：
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
【例4】如图， ， 是 的中点， 平分 ，求证： 平分 ．
【方法二】实例探索法题型1.角平分线的性质的应用
1.（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，某个居民小区 附近有三条两两相交的道路 、 、 ，
拟在 上建造一个大型超市，使得它到 、 的距离相等，请确定该超市的位置 ．
2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）根据图片回答下列问题．
(1)如图①，AD平分∠BAC，∠B+∠C=180°，∠B=90°，易知：DB____DC．
(2)如图②，AD平分∠BAC，∠ABD+∠ACD=180°，∠ABD<90°，求证：DB=DC．
3．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）在 中，点 在边 的延长线上，
的平分线与 的平分线交于点 ， 与 交于点 ．(1)如图1，当 时，求 的度数．
(2)如图2，连接 ，延长 至点 ，过点 作 ，垂足为 ，过点 作 ，垂足为 ，
求证： ；
4．（2023春·山西运城·八年级统考期中）已知：如图， 中， ．
(1)【实践操作】
尺规作图：①作 的平分线 ，交 于点D；
②过点D作 的垂线，交 于点E；
③在线段 上求作一点F，使 ．
（要求：保留作图痕迹，不写作法）
(2)【灵活运用】
在（1）条件下，若 ， ，则 的长为_________．
题型2.角平分线的判定的应用
5.（2023秋·河南三门峡·八年级统考期末）如图，在 的两边 上分别取点 ，连接 ．
若 平分 ， 平分 ．(1)求证： 平分 ；
(2)若 ，且 与 的面积分别是 和 ，求线段 与 的长度之和．
6.（2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图， ，点E是 的中点， 平分 ．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)已知 ， ，求四边形 的面积．
7.如图，在 和 中， ， （ ）， ，直线 ，
交于点 ，连接 ．
(1)求证： ；(2)用 表示 的大小；
(3)求证： 平分 ．
8.如图，已知 ， ， 是 的角平分线，且交于点P．
(1) ______．
(2)求证：点P在 的平分线上．
(3)求证： ．
题型3.角平分线的性质在开放探究题型中的应用
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形 中， ，E是 的中点， 平分
．(1)求证： 平分 ；
(2)判断 、 、 之间的数量关系，并证明；
(3)若 ， ，求 ．
10．（2023春·安徽宿州·八年级统考阶段练习）已知 ， 和 分别平分 和 ，点
E，F分别在 和 上．
(1)如图1， 过点P，且与 垂直，求证： ；
(2)如图2， 为过点P的任意一条线段，试猜想 还成立吗？请说明理由．
11．（2022秋·四川绵阳·八年级校考期中）如图，已知 ， 是 的角平分线，且交于点
P．
(1)直接写出 ___________°；(2)求证： ；
(3)探究 的数量关系．
12．（2023春·宁夏石嘴山·七年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中， ，且满足
，过C作 轴于B．
(1)求 的面积．
(2)若过B作 交y轴于D，且 分别平分 ，如图2，求 的度数．
(3)在y轴上是否存在点P，使得 和 的面积相等?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理
由．
【方法三】 仿真实战法
考法1.角平分线的作图及判定
13．（广州）如图，利用尺规，在△ABC的边AC上方作∠CAE＝∠ACB，在射线AE上截取AD＝BC，连接CD，并证明：CD∥AB（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）
14．（咸宁）证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号
表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
已知：如图，∠AOC＝∠BOC，点P在OC上，
求证： ．
请你补全已知和求证，并写出证明过程．
考法2.角平分线的性质的应用
15．（2021•青海）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则
△BCD的面积为（ ）A．8 B．7.5 C．15 D．无法确定
16．（2021•长沙）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若
BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为 ．
17．（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S△ACD ＝ ．
【方法四】 成果评定法
一、单选题
1．（2023秋·北京海淀·八年级校考开学考试）若三角形内一点到三角形三条边的距离相等，则这点一定是
三角形（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条内角平分线的交点
2．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校联考开学考试）下列说法不正确的是（ ）
A．全等三角形的对应角相等． B．全等三角形的对应角的平分线相等
C．角平分线相等的三角形一定全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
3．（2023秋·湖南长沙·八年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考开学考试）如图，在 中，
， 的平分线 交 于点D， ，则点D到 的距离是（ ）A．6 B．2 C．3 D．4
4．（2023秋·全国·八年级课堂例题）到 的三条边距离相等的点是 的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．以上均不对
5．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图所示， 是 的平分线上的一点， ，垂
足分别是 ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的一个外角大于任何一个内角
C．三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形
D．三角形中，到三边距离相等的点是这个三角形三条边的垂直平分线的交点
7．（2023春·贵州铜仁·八年级统考阶段练习）如图， 平分 ， 于点 ，点 是射线
上的一个动点，若 ，则 的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2023秋·八年级课时练习）已知 ，求作射线 ，使 平分 ，作法的合理顺序是
（ ）
①作射线 ；②在 和 上分别截取 ， ，使 ；
③分别以D，E为圆心，大于 的长为半径作弧，在 内，两弧交于C．
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②①
9．（2022秋·河南濮阳·八年级统考阶段练习）如图．射线 是 的平分线， 是射线 上一点，
于点 ，点 是射线 上一点，若 ，且 的面积是6，则 长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（2023春·湖北襄阳·八年级统考开学考试）如图，在 中， 是高， 是角平分线， 是中
线 与 相交于 ， 以下结论正确的有（ ）① ；② ；
③ ；④ ；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2023春·湖南郴州·八年级统考开学考试）如图，在 中， 是角平分线， 于点E，
的面积为7， ， ，则 ．
12．（2023秋·北京海淀·八年级北京市师达中学校考开学考试）点 在 内，且到三边的距离相等，
若 ，则 ．
13．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，已知 分别是 的外角 的平分线，
， ，垂足分别为 ，那么 （填“>”“<”或“=”）．
14．（2023秋·八年级课时练习）如图， 的外角的平分线 与 相交于点P，若点P到 的距离
为3，则点P到 的距离为 ．
15．（2022春·四川成都·八年级校考期中）直角三角形 中， ，两条角平分线 与 交于点O，若 ，则 的度数是 ．
16．（2023春·江苏南京·八年级校考阶段练习）如图， ，以点 为圆心，小于 长为半径作圆
弧，分别交 ， 于 ， 两点，再分别以 ， 为圆心，大于 长为半径作圆弧，两弧交于点 ，
作射线 ，交 于点 ．若 ，则 的度数为 ．
17．（2023春·河南周口·八年级校考阶段练习）如图，在 中， ，以顶点A为圆心，适当
长为半径画弧，分别交 ， 于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两
弧交于点P，作射线 交边 于点D．若 ， ，点E为线段 上的一个动点，当 最短
时， 的面积是 ．
18．（2023春·广东梅州·八年级校考期中）如图，在 的边 , 上取点M，N，连接 ， 平
分 ， 平分 ，若 ， 的面积是2， 的面积是8，则 的长是
．三、解答题
19．（2023秋·全国·八年级课堂例题）感知：如图①， 平分 ．易知：
．探究：如图②， 平分 ．求证： ．
20．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在 中， 平分 交 于点 于点
于点 ， 的面积是 ， ，求 的长．21．（2023秋·八年级课时练习）如图，已知点P在 内，点D，E分别在边 ， 上．若
，且 ，问：点P是否在 的平分线上？试证明你的结论．
22．（2022秋·广西钦州·八年级统考期中）如图，在 中， ， 于点 ，点 在
上， ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2)若 ， ，且 的面积等于 ，求 的长．23．（2023秋·全国·八年级课堂例题）如图，在 中， 和 的平分线 相交于点 ，
，连接 ．
(1)求 的度数；
(2)求证： 平分 ．
24．（2023春·湖南郴州·八年级统考开学考试）如图， ，点E是 的中点． 平分 ．
(1)求证： 是 的平分线；
(2)已知 ， ，求四边形 的面积．25．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在 中， 为 边上的高， 是 的角平分线，
点F为 上一点，连接 ， ．
(1)求证： 平分 ；
(2)连接 交 于点G，若 ，求证： ；
(3)在（2）的条件下，当 ， 时，求线段 的长．
26．（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）已知 和 ，其中 ，
．
(1)将 和 按如图1所示位置摆放，点 落在 上， 的延长线交 于点 ，连接 ，且
平分 ．
①求证 ；②猜想 ， 与 之间的数量关系是__________；
(2)若将图1中的 按如图2所示位置摆放， 交 于点 ， 的延长线交 于点 ，
，连接 ，且 平分 ．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由；
(3)若将图1中的 按如图3所示位置摆放， ， 分别交 的延长线于点 ， ，连接 ，且
平分 ．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出
， 与 之间的数量关系．
