文档内容
专题 07 二元一次方程组的实际应用（十大题型）
重难点题型归纳
【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】
【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】
【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】
【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】
【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】
【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】
【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】
【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】
【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】
【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】
【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】
【典例1】丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一
个社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制
作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，
另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以
做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？
【变式1-1】现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．
已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型
零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？
【变式1-2】工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星．
(1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？
(2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？
【变式1-3】某网店用24000元的资金购进A、B两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，A、
B两种玩具的进价分别为60元、15元．
(1)网店本次购进A、B两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答）
(2)该网店的A种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加A种玩具，厂家接到定单后，
马上安排车间的68名工人加班生产A种玩具．一个A种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，
每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配
件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答）
【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】
【典例2】甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下：
50∼100
人数 1∼50人 100人以上
人
票价 120元/人 100元/人 80元/人
(1)若甲公司有50人游览，则共付门票费______元；
若乙公司共付门票费12000元，则乙公司有______人游览；
(2)若甲、乙两家公司共有 人游览，其中甲公司不超过 人，两家公司先后共付门票费 元，求
120 50 12800
甲、乙两家公司游览的人数．
【变式2-1】小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方
法，旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分：
第一组 第二组
回答问题次数 1 2
参与课堂展示次数 7 5
有效质疑次数 2 3
最终分数 35 37
请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？
【变式2-2】某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售
这两种实验器材的单价都不变），如下表：
A（件） B（件） 金额（元）
第一 20 10 1100
次
第二 25 20 1750
次
（1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？
（2）若购买这两种实验器材共50件，其中A型实验器材的数量（单位：件）不多于B型实验器材的数
量（单位：件）的2倍，总费用不超过2000元，请问共有几种采购方案？
【变式2-3】为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，居民生活用水按阶梯式计算
水价，水价计算方式如表所示，每吨水还需另加污水处理费0.60元．已知乐乐家4月份用水20吨，交水
费60元；5月份用水25吨，交水费79元．（提示：水费＝水价＋污水处理费）用水量 水价（元/吨）
不超过20吨 m
超过20吨且不超过30吨的部分 n
超过30吨的部分 2m
（1）求m，n的值；
（2）为了节省开支，乐乐计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若乐乐家的月收入为
11650元，则乐乐家6月份最多能用水多少吨？
【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】
【典例3】小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡
到达景区，共用了1.5h；返回时，他先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原
出发点，共用了55min，求从出发点到景区的路程．
【变式3-1】两列火车同时从相距880千米的两地相向出发，10小时后相遇，如果第一列火车比第二列
火车早出发5.5小时，那么在第二列火车出发7小时后相遇，求两列火车的速度．
【变式3-2】如图，四条街围成边长是1000m的正方形ABCD，小宇家住在东西方向的DA街道的点P
处，他的学校在东西方向的CB街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是
400m/min，在南北方向的街道的速度是500m/min．小宇爸爸骑摩托车沿P→A→B→Q送小宇上学
需要5min，沿Q→B→C→D→P（在B处遇堵车立即掉头）回家需要6min．(1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？
(2)求PA,QB的长度．
【变式3-3】一列快车长100m，慢车长200m，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间
为10s；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为2s，求两车的平均速度各是多少？
【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】
【典例4】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520
元，若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
(2)已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
(3)若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．（可
用（1）（2）问的条件及结论）
【变式4-1】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工
程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、
乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【变式4-2】2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公
路正在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时
掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组平
均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
【变式4-3】端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、
乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工
250袋粽子．
(1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子；
(2)已知这份粽子订单为1700袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲组
需要加工多少天？
【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】
【典例5】用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．
现在仓库里有110张长方形纸板和40张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，
求竖式和横式的纸盒各做了多少个？【变式5-1】用10块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示．
(1)求每块地砖的长与宽．
(2)求所拼成的矩形地面的周长．
【变式5-2】如图，在长为7m，宽为5m的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形
花坛，其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽．
【变式5-3】“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家
园．准备将块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空
地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元．(1)小长方形的长和宽各是多少米？
(2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】
【典例6】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，
用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m
辆，B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)求1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨；
(2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，
并求出最少租车费是多少？
【变式6-1】（24-25七年级下·全国·单元测试） 某中学准备去采购A、B两种实
验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表：
A（件） B（件） 金额（元）
第一 20 10 1100次
第二 25 20 1750
次
(1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？
(2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？
【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将
一批西瓜分三次由A地运往B地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两
次运送西瓜的情况如下表：
中型货 小型货 总运载
车/辆 车/辆 量/吨
第一 3 2 9
次
第二 5 4 16
次
(1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量；
(2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费
是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，
最少花费多少钱？
【变式6-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格
如表：
型号 A B C
单价/元 6 000 4 000 2 500
已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计
出几种不同的购买方案供该校选择．【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】
【典例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．
若把十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？
【变式7-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成
的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、
乙这两个数．
【变式7-2】（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛
项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：
①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；
②外圆两直径上的四个数字之和相等；
则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ．
【变式7-3】（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这
个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数如果设这个两位数的个位数
字为x，十位数字为y，那么列方程组是 ．
【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】
【典例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）某服装店用4500元购进A,B两种新式服装，按标价售出
后可获得毛利润2800元（毛利润=售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A B进价（元／件） 60 100
标价（元／件） 100 160
(1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比
按标价出售少收入多少元？
【变式8-1】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足
球需3400元．
(1)求m和n的值；
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？
(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B
款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足
球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？
【变式8-2】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）春节前某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种
商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共100件，所用资金恰好为9200元，出售时，甲种商品在进价
的基础上加价40％进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30元，若按标价出售甲、乙两种商
品，则全部售出后共可获利多少元？
【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】
【典例9】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈
三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多
3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，设合伙人数为x人，物品价格为y元，根据题
意，可列方程组为（ ）
{y=8x+3) {y=8x+3)
A． B．
y=7x+4 y=7x−4
{y=8x−3) {y=8x−3)
C． D．
y=7x+4 y=7x−4
【变式9-1】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）南北朝时期重要的数学专著《孙子算经》记载：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一
根绳量一根木．绳多出4.5尺：将绳对折再量木，绳缺少1尺，问木长多少？若设绳长为x尺，木长为
y尺，则下列方程组正确的是（ ）
{x−y=4.5
) {x−y=4.5)
{x−y=4.5
) {x−y=4.5)
A． 1 B． C． 1 D．
x−1= y 2x+1= y x+1= y 2x−1= y
2 2
【变式9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三
公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客
房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人
y人，则可列方程组为（ ）
A．{7x−7= y ) B．{ 7x−7= y ) C．{ 7x+7= y ) D．{ 7x+7= y )
9(x+1)= y 9(x−1)= y 9(x+1)= y 9(x−1)= y
【变式9-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问
题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要
坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆车空；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各
多少？设共有x人，y辆车．则可列方程组（ ）
A．{3(y+2)=x) B．{3(y−2)=x) C．{3(y+2)=x) D．{3(y−2)=x)
2y+9=x 2y−9=x 2y−9=x 2y+9=x
【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】
【典例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）规定：形如关于x、y的方程x+ky=b与kx+ y=b的两个方程互为共轭二元一次方程，其中k≠1；由这两个方程组成的方程组¿叫做共轭方程组．
(1)方程3x+ y=5的共轭二元一次方程是______；
(2)若关于x,y的方程组¿为共轭方程组，则a=______，b=______；
(3)若方程x+ky=b中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______；
x −1 0
y 0 2
(4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
{x+2y=3,)
的解为______；¿的解为______；
2x+ y=3
(5)发现：若共轭方程组¿的解是¿猜想m,n之间的数量关系，并说明理由。
【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）足球比赛的记分规则是胜一场记3分，平一场记1分，
负一场记0分．一支足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了（ ）
A．5场 B．7场 C．9场 D．11场
【变式10-2】（24-25七年级下·全国·单元测试） “洛阳三月花如锦，多少工夫织得成．”五
一期间，小丽前往洛阳游玩，她计划返程时候购买团扇赠送好友，在游玩的途中小丽已经了解到了一
些信息．
信息1：甲、乙两种团扇的进货单价和为11元；
信息2：甲种团扇的零售单价比其进货单价多2元，乙种团扇的零售单价比进货单价的2倍少4元；
信息3：按零售单价购买甲种团扇3把和乙种团扇2把共付37元．
甲、乙两种团扇的进货单价分别是 ．【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）为庆祝元旦，光明学校统一组织合唱比赛，七，八年
级共92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90）准备统一购买服装参加比
赛．某服装厂给出服装的价格表如下：
购买服装的套
1∼45 46∼90 91及以上
数
每套服装的价 60元 50元 40元
格
(1)如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛？
(2)在（1）的条件下，还要从七年级参加合唱比赛的学生中，抽调10人去参加绘画比赛．请你为两个
年级设计一种最省钱的购买服装方案．
