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专题 07 二元一次方程组的实际应用（十大题型）
重难点题型归纳
【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】
【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】
【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】
【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】
【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】
【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】
【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】
【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】
【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】
【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】
【题型1 二元一次方程组的应用-分配问题】
【典例1】丰富多彩的社团活动，点亮了校园的每一个角落，绽放出多元而独特的光彩．在这里，每一个
社团都是一个梦想的摇篮，每一份热爱都找到了生长的土壤．太谷区初中某学校社团在开展手工制作
活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，
另一部分做底面．已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以
做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成多少个包装盒？
【答案】12个
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意、找出合适的等量关系、列出
方程组是解答本题的关键．设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x个，底
面的数量为3 y个，然后根据底面数量是侧面数量的2倍列出方程组求解即可．
【详解】解：设用x张卡纸做侧面，用y张卡纸做底面，
{ x+ y=14 )
由题意得 ，
2×2x=3 y
{x=6)
解得 ．
y=82×6 3×8
∴ =12（个）或 =12（个）
1 2
答：这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12个．
【变式1-1】现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已
知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零
件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？
【答案】恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块
{2x+ y=15)
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出 ，再求解即可得出答案．
x+2y=18
【详解】解：设需要甲型钢板x块，乙型钢板y块，
{2x+ y=15)
根据题意，得 ，
x+2y=18
{x=4)
解得
y=7
答：恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块．
【变式1-2】工艺品厂计划投入78米布料制作国旗用五角星，每米布料可制作大五角星12颗或小五角星
30颗，每面国旗需要1颗大五角星和4颗小五角星．
(1)为保证制作的大五角星和小五角星的数量恰好配套，制作大五角星和小五角星的布料各多少米？
(2)本批布料制作的五角星共能制作多少面国旗？
【答案】(1)制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元
(2)360面
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数乘法的实际应用：
（1）设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，根据布料一共有75米，且每面国旗
需要1颗大五角星和4颗小五角星建立方程组求解即可；
（2）根据（1）所求求出大五角星的数量即可得到答案．
【详解】（1）解：设制作大五角星的布料为x米，制作小五角星的布料为y元，
{ x+ y=78 )
由题意得 ，
12x⋅4=30 y
{x=30)
解得 ，
y=48
答：制作大五角星的布料为30米，制作小五角星的布料为48元；
（2）解：12×30=360面，
答：本批布料制作的五角星共能制作360面国旗．【变式1-3】某网店用24000元的资金购进A、B两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，A、B
两种玩具的进价分别为60元、15元．
(1)网店本次购进A、B两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答）
(2)该网店的A种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加A种玩具，厂家接到定单后，
马上安排车间的68名工人加班生产A种玩具．一个A种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，
每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配
件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答）
【答案】(1)购进A种玩具300件，购进B种玩具400件
(2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好
配套
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设购进A种玩具的数量为x件，购进B种玩具的数量是y件，因为A、B两种玩具共700件，准备
{x=300)
在“双十二”期间销售，A、B两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式¿然后解出 ，
y=400
即可作答．
{m=20)
（2）设加工甲部件的有m人，加工乙部件的有n人，依题意，列式¿然后解出 ，即可作答．
n=48
【详解】（1）解：设购进A种玩具的数量为x件，购进B种玩具的数量是y件，
根据题意得：¿
{x=300)
解得 ，
y=400
∴购进A种玩具300件，购进B种玩具400件．
（2）解：设加工甲部件的有m人，加工乙部件的有n人，
根据题意得：¿
{m=20)
解得 ，
n=48
答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚
好配套．
【题型2 二元一次方程组的应用-图表信息题】
【典例2】甲、乙两家公司组织员工游览某景点的门票售价如下：
人数 1∼50人 50∼100 100人以上人
票价 120元/人 100元/人 80元/人
(1)若甲公司有50人游览，则共付门票费______元；
若乙公司共付门票费12000元，则乙公司有______人游览；
(2)若甲、乙两家公司共有120人游览，其中甲公司不超过50人，两家公司先后共付门票费12800元，求
甲、乙两家公司游览的人数．
【答案】(1)6000；150；
(2)甲公司有40人游览，乙公司有80人游览．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．
（1）根据表格信息，利用费用=人数×票价求解即可；
（2）设甲公司有x人游览，则乙公司有y人游览，根据题意分两种情况讨论，列方程组求解即可．
【详解】（1）解：若甲公司有50人游览，则共付门票费：50×120=6000（元），
∵ 100×100=10000<12000，
∴乙公司人数超过100人，
∴则乙公司游览人数为：12000÷80=150（人），
故答案为：6000；150；
（2）解：设甲公司有x人游览，则乙公司有y人游览，
①若y≤100时，
{ x+ y=120 )
根据题意，得 ，
120x+100 y=12800
{x=40)
解得， ；
y=80
②若y>100时，
{ x+ y=120 )
根据题意，得 ，
120x+80 y=12800
{x=80)
解得， ，
y=40
∵甲公司不超过50人，
∴此情况不符合题意，舍去；
答：甲公司有40人游览，乙公司有80人游览．
【变式2-1】小组捆绑式评价是一种通过将学生分成若干小组，并对小组整体表现进行评价和奖励的方法，
旨在通过集体荣誉感激发学生的学习积极性和合作精神．某班数学课上采用小组积分制记录同学们参与课堂活动的情况．下表是某堂课上记录的两个组得分情况，其中回答问题一次加2分：
第一组 第二组
回答问题次数 1 2
参与课堂展示次数 7 5
有效质疑次数 2 3
最终分数 35 37
请问数学课上参与一次课堂展示或进行一次有效质疑各加多少分？
【答案】参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分
【分析】本题考查二元一次方程组的应用．本题的关键在于通过建立方程组来解题，需要仔细分析题
目的条件，将抽象的活动转化为具体的数学模型，通过代数运算求解未知数．同时解题过程中应注意
方程组的建立与解法，以及对解出的未知数是否符合题目中的实际情况进行检验．
【详解】解：设参与一次课堂展示加分为x分，进行一次有效质疑加分为y分，
{7x+2y=35−1×2)
由题意可得： ，
5x+3 y=37−2×2
{x=3)
解得： ，
y=6
答：参与一次课堂展示加3分，进行一次有效质疑加6分．
【变式2-2】某中学准备去采购A、B两种实验器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两
种实验器材的单价都不变），如下表：
A（件） B（件） 金额（元）
第一 20 10 1100
次
第二 25 20 1750
次
（1）求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？
（2）若购买这两种实验器材共50件，其中A型实验器材的数量（单位：件）不多于B型实验器材的数
量（单位：件）的2倍，总费用不超过2000元，请问共有几种采购方案？
【答案】（1）A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元；（2）9种
【分析】（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，根据总价=单价×数量，结
合销售人员呈现的两次销售记录中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A型实验器材m件，则购进B型实验器材（50-m）件，根据“购进A型实验器材的数量不多于B型实验器材的数量的2倍，且总费用不超过2000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，
解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数，即可得出采购方案的个数．
【详解】解：（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，
{20x+10 y=1100)
依题意得： ，
25x+20 y=1750
{x=30)
解得： ，
y=50
答：A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元．
（2）设购进A型实验器材m件，则购进B型实验器材（50-m）件，
{ m≤2(50−m) )
依题意得： ，
30m+50(50−m)≤2000
100
解得：25≤m≤ ，
3
又∵m为整数，
∴m可以取25，26，27，28，29，30，31，32，33，
∴共有9种采购方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
【变式2-3】为了让市民树立起“珍惜水、节约水、保护水”的用水理念，居民生活用水按阶梯式计算水
价，水价计算方式如表所示，每吨水还需另加污水处理费0.60元．已知乐乐家4月份用水20吨，交水费
60元；5月份用水25吨，交水费79元．（提示：水费＝水价＋污水处理费）
用水量 水价（元/吨）
不超过20吨 m
超过20吨且不超过30吨的部分 n
超过30吨的部分 2m
（1）求m，n的值；
（2）为了节省开支，乐乐计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若乐乐家的月收入为
11650元，则乐乐家6月份最多能用水多少吨？
【答案】（1）m=2.4，n=3.2；（2）小明家6月份最多能用水55吨
【分析】（1）根据题意，当用水20吨，交水费60元；用水25吨，交水费79元，据此列方程组求解；
（2）先求出小明家6月份的用水量范围，再根据6月份的水费不超过家庭月收入的2%，列出不等式求解即可．
{ 20m+20×0.6=60 )
【详解】解：（1）由题意得 ，
20m+5n+25×0.6=79
{m=2.4)
解得 ，
n=3.2
即m的值为2.4，n的值为3.2；
（2）由（1）得m＝2.4，n＝3.2，
当用水量为30吨时，水费为：20×2.4＋10×3.2＋30×0.6＝98（元），
2%×11650＝233（元），
∵233＞98，
∴小明家6月份用水量超过30吨．
可设小明家6月份用水x吨，
由题意得98＋（2×2.4＋0.6）（x−30）≤233，
解得x≤55，
答：小明家6月份最多能用水55吨．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，根据水的
收费标准，列方程和不等式求解．
【题型3 二元一次方程组的应用-行程问题】
【典例3】小明骑自行车去某景区，出发时，他先以8km/h的速度走平路，而后又以4km/h的速度上坡到
达景区，共用了1.5h；返回时，他先以12km/h的速度下坡，而后以9km/h的速度走过平路，回到原出
发点，共用了55min，求从出发点到景区的路程．
【答案】9千米
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可解答．
【详解】解：设平路为x千米，坡路为y千米，
x y 3
{ + = )
8 4 2
根据题意得： ，
x y 55
+ =
9 12 60
{x=6)
解得： ，
y=3
则x+ y=6+3=9（千米），
答：从出发点到景区的路程是9千米．【变式3-1】两列火车同时从相距880千米的两地相向出发，10小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车
早出发5.5小时，那么在第二列火车出发7小时后相遇，求两列火车的速度．
【答案】第一列火车速度为48千米/小时，第二列火车速度为40千米/小时
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一列火车速度为
x千米/小时，第二列火车速度为y千米/小时，根据题意列方程组即可求解．
【详解】解：设第一列火车速度为x千米/小时，第二列火车速度为y千米/小时，
{ 10(x+ y)=880 )
根据题意得： ，
5.5x+7(x+ y)=880
{x=48)
解得： ，
y=40
答：第一列火车速度为48千米/小时，第二列火车速度为40千米/小时．
【变式3-2】如图，四条街围成边长是1000m的正方形ABCD，小宇家住在东西方向的DA街道的点P处，
他的学校在东西方向的CB街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是
400m/min，在南北方向的街道的速度是500m/min．小宇爸爸骑摩托车沿P→A→B→Q送小宇上
学需要5min，沿Q→B→C→D→P（在B处遇堵车立即掉头）回家需要6min．
(1)小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？
(2)求PA,QB的长度．
【答案】(1)9min
(2)PA,QB的长度分别是800m,400m
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；
（1）根据路程除以速度等于时间列式计算即可；
（2）设PA的长度是xm,QB的长度是ym，根据题意列出二元一次方程组计算求解即可．
【详解】（1）解： (1000+1000)÷400+(1000+1000)÷500=9(min)．
故小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要9min．
（2）解：∵骑行一圈需要9min，沿P→A→B→Q骑行需要5min，
∴沿Q→C→D→P骑行需要4min．
又∵沿Q→B→C→D→P骑行需要6min，∴沿Q→B→Q骑行需要2min．
设PA的长度是xm,QB的长度是ym．
x 1000 y
{ + + =5)
400 500 400
根据题意，得 ，
y+ y
=2
400
{x=800)
解得 ，
y=400
故PA,QB的长度分别是800m,400m．
【变式3-3】一列快车长100m，慢车长200m，若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离开所用时间为
10s；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为2s，求两车的平均速度各是多少？
【答案】快车，慢车的平均速度分别为90m/s，60m/s
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键．
设快车，慢车的平均速度分别为xm/s、ym/s，根据“若两车同向而行，快车从追上慢车到完全离
开所用时间为10s；若两车相向而行，两车从相遇到完全离开所用时间为2s，”建立二元一次方程组
并求解即可得出答案．
【详解】解：设快车，慢车的平均速度分别为xm/s、ym/s，
{10(x−y)=100+200)
根据题意列方程组： ，
2(x+ y)=100+200
{x=90)
解得 ，
y=60
故快车，慢车的平均速度分别为90m/s，60m/s．
【题型4 二元一次方程组的应用-工程问题】
【典例4】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元，
若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元，问：
(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
(2)已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
(3)若装修完后，商店每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于商店？请你帮助商店决策．
（可用（1）（2）问的条件及结论）
【答案】(1)甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元
(2)单独请乙组需要的费用少(3)甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数加法、乘法的实际应用．熟练掌握二元一次方程
组的应用，有理数加法、乘法的实际应用是解题的关键．
{8x+8 y=3520
)
（1）设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．依题意得， ，
6x+12y=3480
计算求解，然后作答即可；
（2）由题意知，单独请甲组需要的费用：300×12=3600（元），单独请乙组需要的费用：
24×140=3360（元），由3360<3600，判断作答即可；
（3）分别计算甲、乙单独完成时的损失，然后计算甲乙合作完成时的损失，最后比较大小并作答即
可．
【详解】（1）解：设甲组工作一天商店应付x元，乙组工作一天商店应付y元．
{8x+8 y=3520
)
依题意得， ，
6x+12y=3480
{x=300)
解得 ，
y=140
答：甲、乙两组工作一天，商店各应付300元和140元；
（2）解：由题意知，单独请甲组需要的费用：300×12=3600（元），
单独请乙组需要的费用：24×140=3360（元），
∵3360<3600，
∴单独请乙组需要的费用少；
（3）解：由题意知，甲组单独做12天，需费用3600元，少赢利200×12=2400（元），相当于损失
3600+2400=6000（元）；
乙组单独做24天，需费用3360元，少赢利200×24=4800（元），相当于损失3360+4800=8160
（元）；
甲乙两组合作同时施工8天，需费用3520元，少赢利200×8=1600（元），相当于损失
3520+1600=5120（元）；
∵5120<6000<8160，
∴甲、乙两组合作同时施工8天损失费用最少．
【变式4-1】穿越青海境内的兰新高速铁路正在加紧施工．某工程队承包了一段全长1957米的隧道工程，
甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙
两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天比原来多掘进0.3米．按此
施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？
【答案】(1)甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
300
(2)能比原来少用 天．
49
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意是解本题的关键；
（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，根据题意列方程组，解方程组即可；（2）设
按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，分别计算出施工进度改进前
和改进后完成任务还需的天数，再作差即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，
{ x−y=0.5 )
由题意得 ，
6(x+ y)=57
{ x=5 )
解得 ．
y=4.5
答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进5米、4.5米；
（2）解：设按原来的施工进度和改进技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则
a=(1957−57)÷(5+4.5)=200（天），
9500
b=(1957−57)÷(5+4.5+0.3)= （天），
49
9500 300
则a−b=200− = （天）．
49 49
300
答：能比原来少用 天．
49
【变式4-2】2024年12月份，辽宁省将再添两个高速公路项目，其中一条是新民至阜新，这条高速公路正
在加紧施工．某工程队承包了其中一段全长2057米的工程，甲、乙两个班组分别从南北两端同时掘进，
已知甲组比乙组每天多掘进0.5米，经过6天施工，甲、乙两组共掘进57米．
(1)求甲乙两班组平均每天各掘进多少米？
(2)为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中．甲组平均每天比原来多掘进0.3米，乙组
平均每天比原来多掘进0.2米．按此施工进度，还需要多少天完成任务？
【答案】(1)甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米
(2)按此施工进度，还需要200天完成任务
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程（组）是解此题的关键．
（1）设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解；
（2）设按此施工进度，还需要m天完成任务，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：设甲组每天掘进x米，乙组每天掘进y米，
{ x−y=0.5 )
根据题意得： ，
6x+6 y=57
{ x=5 )
解得： ．
y=4.5
答：甲组每天掘进5米，乙组每天掘进4.5米；
（2）解：设按此施工进度，还需要m天完成任务，
根据题意得：57+(5+0.3+4.5+0.2)m=2057，
解得：m=200．
答：按此施工进度，还需要200天完成任务．
【变式4-3】端午临中夏，时清日复长．临近端午节时，一网红门店接到一份粽子订单，立即决定由甲、
乙两组加工完成．已知甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲组加工2天比乙组加工1天多加工
250袋粽子．
(1)求甲、乙两组每天各加工多少袋粽子；
(2)已知这份粽子订单为1700袋，若甲、乙两组共用10天加工完成（甲、乙两组不同时加工），则甲
组需要加工多少天？
【答案】(1)甲组每天加工200袋粽子，乙组每天加工150袋粽子
(2)4天
【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用．
（1）设甲组每天加工x袋粽子，乙组每天加工y袋粽子，甲、乙两组加工一天共加工350袋粽子，甲
组加工2天比乙组加工1天多加工250袋粽子．据此列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）设甲组需要加工m天，则乙组加工(10−m)天．这份粽子订单为1700袋，据此列出一元一次方程，
解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲组每天加工x袋粽子，乙组每天加工y袋粽子，
根据题意，得¿
{x=200,)
解得
y=150.
答：甲组每天加工200袋粽子，乙组每天加工150袋粽子．
（2）设甲组需要加工m天，则乙组加工(10−m)天．根据题意，得200m+150(10−m)=1700，
解得m=4．
答：甲组需要加工4天．
【题型5 二元一次方程组的应用-几何问题】
【典例5】用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．
现在仓库里有110张长方形纸板和40张正方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，
求竖式和横式的纸盒各做了多少个？
【答案】竖式的纸盒做了20个，横式的纸盒做了10个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设竖式的纸盒做了x个，横式的纸盒做了y个，根据题意
列出方程组即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设竖式的纸盒做了x个，横式的纸盒做了y个，
{ x+2y=40 )
由题意得， ，
4x+3 y=110
{x=20)
解得 ，
y=10
答：竖式的纸盒做了20个，横式的纸盒做了10个．
【变式5-1】用10块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示．
(1)求每块地砖的长与宽．
(2)求所拼成的矩形地面的周长．
【答案】(1)每块地砖的长与宽分别为48cm和12cm
(2)所拼成的矩形地面的周长是312cm
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系是
解题的关键．{ x+ y=60 )
（1）设每块地砖的长与宽分别为xcm,ycm，根据图中关系可得 ，解方程组即可；
2x=4 y+x
（2）由矩形周长公式求解．
【详解】（1）解：设每块地砖的长与宽分别为xcm,ycm，
{ x+ y=60 )
由题意得： ，
2x=4 y+x
{x=48)
解得： ，
y=12
∴每块地砖的长与宽分别为48cm和12cm；
（2）解：所拼成的矩形地面的周长2×(96+60)=312cm，
答：所拼成的矩形地面的周长是312cm．
【变式5-2】如图，在长为7m，宽为5m的长方形的绿化带中划出三个形状、大小完全相同的小长方形花坛，
其示意图如图所示．求小长方形花坛的长和宽．
【答案】小长方形花坛的长为3m，宽为1m
【分析】设小长方形花坛的长为xm，宽为ym，则长方形的绿化带的长是(2x+ y)m，宽为(x+2y)m．
构造方程组解答即可．
本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：设小长方形花坛的长为xm，宽为ym，则长方形的绿化带的长是(2x+ y)m，宽为
(x+2y)m．
根据题意，得¿
{x=3,)
解得
y=1.
答：小长方形花坛的长为3m，宽为1m．
【变式5-3】“争创文明城市，建设美丽台儿庄”．台儿庄某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．
准备将块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地
上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元．(1)小长方形的长和宽各是多少米？
(2)请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？
【答案】(1)小长方形的长为10米，宽为4米；
(2)要完成这块绿化工程，预计花费75600元．
{ 5 y=2x )
【分析】（1）设小长方形的长为x米，宽为y米，根据题意可列方程组 ，然后
2(2x+x+2y)=76
求解即可；
（2）利用“平方米造价×总面积”即可；
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，根据图形，设出未知数，找出合适的等量关系，列方
程组求解是解题的关键．
【详解】（1）解：设小长方形的长为x米，宽为y米，
{ 5 y=2x )
根据题意可列方程组 ，
2(2x+x+2y)=76
{ x=2.5 y )
整理得：
3x+2y=38
{x=10)
解得： ，
y=4
答：小长方形的长为10米，宽为4米；
（2）解：210×(20×18)=75600（元），
答：要完成这块绿化工程，预计花费75600元．
【题型6 二元一次方程组的应用-方案问题】
【典例6】（24-25八年级上·四川成都·期末）已知用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用
3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨．某物流公司现有304吨货物待运，计划A型车m辆，
B型车n辆恰好一次运完，且每辆车都载满货物但不超载．根据以上信息，解答下列问题：
(1)求1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨；
(2)若A型车每辆需租金1000元/次，B型车每辆需租金1200元/次．请你帮该物流公司设计租车方案，
并求出最少租车费是多少？
【答案】(1)1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨
(2)该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用7辆A型车，2辆B型车；方案2：租用2辆A型车，6辆
B型车，最少租车费是9200元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，根据“用2辆A型车
和3辆B型车载满货物一次可运货184吨，用3辆A型车和4辆B型车载满货物一次可运货256吨”，可
列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据租用的两种车型恰好一次运完304吨货物，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均
为非负整数，可得出各租车方案，再求出各租车方案所需租车费用，比较后即可得出结论；
【详解】（1）解：设1辆A型车载满货物一次可运货x吨，1辆B型车载满货物一次可运货y吨，
{2x+3 y=184)
根据题意得： ，
3x+4 y=256
{x=32)
解得： ，
y=40
答：1辆A型车载满货物一次可运货32吨，1辆B型车载满货物一次可运货40吨；
（2）根据题意得：32m+40n=304，
38−5n
∴m= ，
4
又∵m，n均为非负整数，
{m=7) {m=2)
∴ 或 ，
n=2 n=6
∴该物流公司共有2种租车方案，
方案1：租用7辆A型车，2辆B型车；
方案2：租用2辆A型车，6辆B型车．
选择方案1所需租车费用：1000×7+1200×2=9400（元）；
选择方案2所需租车费用：1000×2+1200×6=9200（元）．
∵9400>9200，
∴最少租车费是9200元．答：该物流公司共有2种租车方案，方案1：租用7辆A型车，2辆B型车；方案2：租用2辆A型车，6
辆B型车，最少租车费是9200元．
【变式6-1】（24-25七年级下·全国·单元测试） 某中学准备去采购A、B两种实验
器材，下面是销售人员呈现的两次销售记录（每次销售这两种实验器材的单价都不变），如表：
A（件） B（件） 金额（元）
第一 20 10 1100
次
第二 25 20 1750
次
(1)求A型实验器材与B型实验器材的单价分别为多少元？
(2)此中学打算同时采购A、B两种实验器材，预算为600元，请问共有几种采购方案？
【答案】(1)A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元
(2)共有3种采购方案
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一
次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出二元一次方程．
（1）设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，根据两次采购A、B两种实验器材的
金额列出方程组求解即可；
（2）设购买A种器材m台，B种器材n台，根据预算为600元，列出方程，再结合m,n为正整数求解
即可．
【详解】（1）解：设A型实验器材的单价为x元，B型实验器材的单价为y元，
{20x+10 y=1100)
依题意，得 ，
25x+20 y=1750
{x=30)
解得 ，
y=50
答：A型实验器材的单价为30元，B型实验器材的单价为50元；
（2）解：设购买A种器材m台，B种器材n台．
5
由题意，得30m+50n=600,m=20− n，
3
∵m,n为正整数，
∴当n=3时，m=15；
当n=6时，m=10；
当n=9时，m=5，答：共有3种采购方案．
【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）又到了一年一度西瓜成熟的时节，水果市场刘老板要将一
批西瓜分三次由A地运往B地，联系了一家运输公司，该公司有中型和小型两种货车可供选择，前两次
运送西瓜的情况如下表：
中型货 小型货 总运载
车/辆 车/辆 量/吨
第一 3 2 9
次
第二 5 4 16
次
(1)求2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量；
(2)第三次运送西瓜的重量为19吨，已知每辆中型货车一次的运费是500元，每辆小型货车一次的运费
是400元，请你写出所有的运输方案（中型、小型两种货车均满载），并计算哪种运输方案花费最少，
最少花费多少钱？
【答案】(1)2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是5.5吨
(2)方案一：中型货车8辆，小型货车2辆，方案二：中型货车5辆，小型货车6辆，方案三：中型货
车2辆，小型货车10辆，选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的应用；
（1）设1辆中型货车一次可以运西瓜x吨，1辆小型货车一次可以运西瓜y吨，再根据表格信息建立
方程组解题，进一步的计算即可；
（2）设用中型货车m辆，小型货车n辆，可得2m+1.5n=19，即4m+3n=38．再求解方程的正整数
解即可得到答案．
【详解】（1）解：设1辆中型货车一次可以运西瓜x吨，1辆小型货车一次可以运西瓜y吨，
根据题意，得¿
解得¿
∴2×2+1.5×1=5.5（吨）．
答：2辆中型货车和1辆小型货车的总运载量是5.5吨．
（2）解：设用中型货车m辆，小型货车n辆，
则2m+1.5n=19，即4m+3n=38．
∵m,n为正整数，
{m=8) {m=5) {m=2)
∴ 或 或 ；
n=2 n=6 n=10方案一：中型货车8辆，小型货车2辆，
费用：8×500+2×400=4800（元）；
方案二：中型货车5辆，小型货车6辆，
费用：5×500+6×400=4900（元）；
方案三：中型货车2辆，小型货车10辆，
费用：2×500+10×400=5000（元）．
∵4800<4900<5000，
∴方案一运输费用最少．
即选择中型货车8辆，小型货车2辆，花费最少，最少花费4800元．
【变式6-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）某电脑公司有A，B，C三种型号的电脑，其相应的价格如
表：
型号 A B C
单价/元 6 000 4 000 2 500
已知某中学现有资金100 500元，计划全部用于从该电脑公司购进36台两种不同型号的电脑．请设计
出几种不同的购买方案供该校选择．
【答案】有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购
进B型电脑7台和C型电脑29台
【分析】此题考查了二元一次方程组解决方案问题的运用，在解答时要考虑三种情况及题中的整数性，
结合等量关系：单价×数量=总价．列方程组求解．
分三种情况进行计算：一是购买A+B=36，A的单价×数量+B的单价×数量=100500；二是购买
A+C=36，A的单价×数量+C的单价×数量=100500；三是购买B+C=36，B的单价×数量+C的单价
×数量=100500．求出三种情况的解就可以求出结论．
【详解】解：设从该电脑公司购进A型电脑x台，B型电脑y台，C型电脑z台，则可分以下三种情况
考虑：
(1)只购进A型电脑和B型电脑，
{6000x+4000 y=100500)
则
x+ y=36
{x=−21.75)
解得 (不符合题意，舍去)
y=57.75
(2)只购进A型电脑和C型电脑，
{6000x+2500z=100500) {x=3
)
则 ，解得 ，
x+z=36 z=33(3)只购进B型电脑和C型电脑，
{4000 y+2500z=100500) {y=7)
则 解得
y+z=36 z=29
答：有两种方案供该校选择，第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台；第二种方案是购进B
型电脑7台和C型电脑29台．
【题型7 二元一次方程组的应用-数字问题】
【典例7】（24-25七年级下·全国·单元测试）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字的2倍大1．若把
十位上的数字与个位上的数字对调，所得的新数比原数大45，原来的两位数是多少？
【答案】49
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，审清题意、找出等量关系、列出方程组是解题的关
键．
设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，然后根据题意列方程组求解即可．
【详解】解：设原来的两位数的个位数字为x，十位数字为y，
{ x=2y+1 ) {x=9)
根据题意，得 ，解得 ．
(10 y+x)+45=10x+ y y=4
所以，原来的两位数为4×10+9=49．
【变式7-1】（23-24七年级下·全国·课后作业）有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的
四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求甲、乙
这两个数．
【答案】甲数是24，乙数是12
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设甲数为x，乙数为y，然后根据把甲数放在乙数的
左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小
1188列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y，
{ 100x+ y=201y )
根据题意，得
100 y+x=100x+ y−1188
{x=24)
解得
y=12
答：甲数是24，乙数是12．
【变式7-2】（23-24七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项
目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；
②外圆两直径上的四个数字之和相等；
则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ．
【答案】 −1 −7
【分析】设外圆空白数字为x,内圆空白数据为y,根据题意可列出关于x、y的方程组求解即可．
【详解】解：设外圆空白数字为x，内圆空白数据为y，
根据题意得：−3+9−5+x=6−1+2+ y；x+ y+9−1=−5+2+6−3；
{ x−y=6 ) {x=−1)
整理得： ，解得： ．
x+ y=−8 y=−7
故答案为−1,−7．
【点睛】本题考查了有理数的加法运算、二元一次方程组等知识点，根据题意列出一元二次方程组是
解答本题的关键．
【变式7-3】（24-25七年级下·山东烟台·开学考试）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两
位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数如果设这个两位数的个位数字为
x，十位数字为y，那么列方程组是 ．
{ x+ y=8 )
【答案】
x+10 y+18=10x+ y
【分析】本题考查了关于数字问题的二元一次方程组的应用，设这个两位数的个位数字为x，十位数
字为y，则两位数可表示为x+10 y，对调后的两位数为10x+ y，根据题中的两个数字之和为8及对
调后的等量关系可列出方程组．
{ x+ y=8 )
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据题意得： ．
x+10 y+18=10x+ y
{ x+ y=8 )
故答案为： ．
x+10 y+18=10x+ y
【题型8 二元一次方程组的应用-销售、利润问题】
【典例8】（24-25七年级下·全国·单元测试）某服装店用4500元购进A,B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润2800元（毛利润=售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A B
进价（元／件） 60 100
标价（元／件） 100 160
(1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店
比按标价出售少收入多少元？
【答案】(1)A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件
(2)服装店比按标价出售少收入1210元
【分析】此题考查了二元一次方程组和有理数的混合运算的应用．
（1）设A种新式服装购进x件，B种新式服装购进y件，服装店用4500元购进A,B两种新式服装，按
标价售出后可获得毛利润2800元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案；
（2）A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，据此列式计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设A种新式服装购进x件，B种新式服装购进y件，
根据题意，得¿
{x=25)
解得
y=30
答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件．
（2）100×(1−0.9)×25+160×(1−0.8)×30=1210（元）．
答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元．
【变式8-1】（21-22七年级下·浙江杭州·期末）某体育用品商场销售A、B两款足球，售价和进价如表：
类型 进价（元/个） 售价（元/个）
A款 m 120
B款 n 90
若该商场购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；若该商场购进20个A款足球和30个B款足
球需3400元．
(1)求m和n的值；
(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3600元，那么该商场可获利多少元？
(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个
B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖两款足球总计盈利600元（统计购买B款足球的数量为3的倍数），那么该日销售A、B两款足球各多少个？
【答案】(1)m的值为80，n的值为60
(2)该商场可获利1200元
(3)该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．
（1）根据“购进10个A款足球和20个B款足球需2000元；购进20个A款足球和30个B款足球需
3400元”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，变形后可得出4x+3 y=180，再将
其代入(120−80)x+(90−60)y=10(4x+3 y)中即可求出结论；
（3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，利用总利润=每个足球的销售利润×销售数量，即可得
出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．
{10m+20n=2000)
【详解】（1）依题意得： ，
20m+30n=3400
{m=80)
解得： ．
n=60
答：m的值为80，n的值为60．
（2）依题意得：120x+90 y=3600，
∴4x+3 y=120，
∴(120−80)x+(90−60)y=10(4x+3 y)=10×120=1200．
答：该商场可获利1200元．
（3）设该日销售A款足球a个，B款足球b个，
1
依题意得：(120−10−80)a+ ×(90×3−60×3−10×2)b=600，
3
又∵a，b均为正整数，b为3的倍数，
{a=13) {a=6
)
∴ 或 ．
b=9 b=18
答：该日销售A款足球13个，B款足球9个或A款足球6个，B款足球18个．
【变式8-2】（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）春节前某商场从厂家购进了甲、乙两种商品，甲种商
品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同．
(1)求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场从厂家购进了甲、乙两种商品共100件，所用资金恰好为9200元，出售时，甲种商品在进价的基础上加价40％进行标价；乙商品按标价出售，则每件可获利30元，若按标价出售甲、乙两种
商品，则全部售出后共可获利多少元？
【答案】(1)甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元；
(2)甲、乙两种商品全部售出后共可获利3600元．
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关
系，正确列出方程．
（1）设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，由题意：甲种商品每件的进价比乙
种商品每件的进价多20元，购进甲种商品4件与购进乙种商品5件的进价相同，列出二元一次方程组，
解方程组即可；
（2）可设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品(100−m)件，根据所用资金恰好为
9200元的等量关系列出方程可求该商场从厂家购进了甲种商品的件数，乙种商品的件数，即可解决问
题．
【详解】（1）解：设甲种商品每件的进价是x元，乙种商品每件的进价是y元，
{x−y=20)
依题意得： ，
4x=5 y
{x=100)
解得： ，
y=80
答：甲种商品每件的进价是100元，乙种商品每件的进价是80元；
（2）解：设该商场从厂家购进了甲种商品m件，则购进乙种商品(100−m)件，
依题意得：100m+80(100−m)=9200，
解得：m=60，
则100−m=100−60=40，
∴100×(1+40%)×60−100×60+40×30=3600（元），
答：甲、乙两种商品全部售出后共可获利3600元．
【题型9二元一次方程组的应用-古代问题】
【典例9】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后
世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；
人出七，不足四，问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；
每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，设合伙人数为x人，物品价格为y元，根据题意，
可列方程组为（ ）{y=8x+3) {y=8x+3)
A． B．
y=7x+4 y=7x−4
{y=8x−3) {y=8x−3)
C． D．
y=7x+4 y=7x−4
【答案】C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
根据每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，物价保持不变，由此列式即可求解．
【详解】解：每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，设合伙人数为x人，物品价格为y元，由物
价保持不变，
{y=8x−3)
∴ ，
y=7x+4
故选：C．
【变式9-1】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）南北朝时期重要的数学专著《孙子算经》记载：“今
有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳
量一根木．绳多出4.5尺：将绳对折再量木，绳缺少1尺，问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，
则下列方程组正确的是（ ）
{x−y=4.5
) {x−y=4.5)
{x−y=4.5
) {x−y=4.5)
A． 1 B． C． 1 D．
x−1= y 2x+1= y x+1= y 2x−1= y
2 2
【答案】C
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；
将绳对折再量木，绳缺少1尺”即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】设绳长为x尺，木长为y尺，根据题意可得方程组为
{x−y=4.5
)
1
x+1= y
2
故选：C
【变式9-2】（2025七年级下·全国·专题练习）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗“我问开店李三公，
众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果每一间客房住7
人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设有客房x间，客人y人，
则可列方程组为（ ）
{7x−7= y ) { 7x−7= y ) { 7x+7= y ) { 7x+7= y )
A． B． C． D．
9(x+1)= y 9(x−1)= y 9(x+1)= y 9(x−1)= y【答案】D
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设有客房x间，客人y人，根据每一间客房住7人，则
有7人无房可住；每一间客房住9人，则就空出一间客房，再建立方程组解题即可.
【详解】解：∵如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住，
∴ 7x+7= y．
∵如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房，
∴ 9(x−1)= y．
∴根据题意可列方程组¿，
故选D．
【变式9-3】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：
“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，
如果每3人坐一辆车，那么有2辆车空；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？
设共有x人，y辆车．则可列方程组（ ）
{3(y+2)=x) {3(y−2)=x) {3(y+2)=x) {3(y−2)=x)
A． B． C． D．
2y+9=x 2y−9=x 2y−9=x 2y+9=x
【答案】D
{3(y−2)=x)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有x人，y辆车，根据题意可得 ，找准
2y+9=x
等量关系，正确列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设共有x人，y辆车，
{3(y−2)=x)
根据题意得： ，
2y+9=x
故选：D．
【题型10 二元一次方程组的应用-其他问题】
【典例10】（24-25七年级下·全国·单元测试）规定：形如关于x、y的方程x+ky=b与kx+ y=b的两个方
程互为共轭二元一次方程，其中k≠1；由这两个方程组成的方程组¿叫做共轭方程组．
(1)方程3x+ y=5的共轭二元一次方程是______；
(2)若关于x,y的方程组¿为共轭方程组，则a=______，b=______；
(3)若方程x+ky=b中x、y的值满足下列表格：则这个方程的共轭二元一次方程是______；x −1 0
y 0 2
(4)解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
{x+2y=3,)
的解为______；¿的解为______；
2x+ y=3
(5)发现：若共轭方程组¿的解是¿猜想m,n之间的数量关系，并说明理由。
【答案】(1)x+3 y=5
(2)1；1
1
(3)− x+ y=−1
2
{x=1) {x=4)
(4) ；
y=1 y=4
(5)m=n，见解析
【分析】（1）根据互为共轭二元一次方程的定义可得答案．
（2）根据互为共轭二元一次方程的定义得出1−a=2a−2，b+2=4−b即可求出a、b的值；
（3）把x=−1，y=0和x=0，y=2代入x+ky=b求出k、b的值，确定这个方程后，再根据共轭二元
一次方程的定义得出答案；
（4）分别解这三个二元一次方程组，求出它们的解即可．
（5）根据解得特征和呈现的规律得出结论即可．
本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的解法，理解共轭方程、
共轭方程组的定义是正确解答的前提．
【详解】（1）由共轭二元一次方程的定义可得，
方程3x+ y=5的共轭二元一次方程是x+3 y=5
故答案为：x+3 y=5；
（2）由于关于x,y的方程组¿为共轭方程组，
所以1−a=2a−2，b+2=4−b，
解得a=1，b=1，
故答案为：1，1；
{−1=b)
（3）由表可得 ，
2k=b
解得¿，1
∴方程为x− y=−1，
2
1
∴原方程的共轭方程为− x+ y=−1；
2
1
故答案为：− x+ y=−1；
2
{x+2y=3,) {x=1)
（4）解方程组 ，可得解为 ；
2x+ y=3 y=1
{x=4)
解方程组¿，可得解为 ；
y=4
{x=1) {x=4)
故答案为： ， ．
y=1 y=4
（5）m=n．
理由如下：∵¿是共轭方程，
∴x+ky=kx+ y，整理得x= y，
{x=m)
∵¿的解为 ，
y=n
∴m=n．
【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）足球比赛的记分规则是胜一场记3分，平一场记1分，负
一场记0分．一支足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了（ ）
A．5场 B．7场 C．9场 D．11场
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
根据题意可知，本题中的相等关系是“积分29分”和“共赛了15场”，列方程组求解即可．
【详解】解：设这支球队胜了x场，平了y场，则
{x+ y=15−4)
，
3x+ y=29
{x=9)
解得 ，
y=2
所以球队胜了9场．
故选：C．
【变式10-2】（24-25七年级下·全国·单元测试） “洛阳三月花如锦，多少工夫织得成．”五一
期间，小丽前往洛阳游玩，她计划返程时候购买团扇赠送好友，在游玩的途中小丽已经了解到了一些信息．
信息1：甲、乙两种团扇的进货单价和为11元；
信息2：甲种团扇的零售单价比其进货单价多2元，乙种团扇的零售单价比进货单价的2倍少4元；
信息3：按零售单价购买甲种团扇3把和乙种团扇2把共付37元．
甲、乙两种团扇的进货单价分别是 ．
【答案】5元、6元
【分析】设甲种团扇的进货单价是x元/件，乙种团扇的进货单价是y元/件，根据给定的三个信息，
可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
【详解】解：设甲种团扇的进货单价是x元，乙种团扇的进货单价是y元，
{ x+ y=11 )
由题意得 ，
3(x+2)+2(2y−4)=37
{x=5)
解得 ，
y=6
故答案为：5元、6元．
【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）为庆祝元旦，光明学校统一组织合唱比赛，七，八年级共
92人（其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90）准备统一购买服装参加比赛．
某服装厂给出服装的价格表如下：
购买服装的套
1∼45 46∼90 91及以上
数
每套服装的价 60元 50元 40元
格
(1)如果两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，七，八年级分别有多少学生参加合唱比赛？
(2)在（1）的条件下，还要从七年级参加合唱比赛的学生中，抽调10人去参加绘画比赛．请你为两个
年级设计一种最省钱的购买服装方案．
【答案】(1)52人，40人
(2)两个年级一起买91套
【分析】（1）设七，八年级参加合唱比赛的学生分别有x人，y人，由“七，八年级共92人参加合唱
比赛，其中七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90”可知，464100>3640，
∴两个年级一起买91套最省钱．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用（其他问题），有理数四则混合运算的实际应用，有
理数乘法的实际应用，有理数大小比较的实际应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列
出方程组或算式是解题的关键．
