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专题 07 二次函数中特殊三角形存在性问题的三种考法
类型一、等腰三角形存在性问题
例．如图，抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交于点 ，点
在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，连接 ，若点 为直线 上方抛物线上的点，过点 作 轴交 于点
，作 轴交 于点 ，若 的面积为2，求 点坐标；
(3)如图2，点 为抛物线的顶点，当 时，在抛物线上是否存在点 使 是等腰
三角形？若能，请直接写出点 的坐标；若不能，请说明理由．
【变式训练1】综合与探究
如图，抛物线 与 轴交于 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，
点 是第一象限内抛物线上的一个动点．
(1)请直接写出点A，B，C的坐标；
(2)是否存在这样的点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说
明理由；
(3)若点 是直线 上一点，是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角形是等腰三
角形？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图，抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交
于点 ，顶点为D，连接 ，P是第一象限内抛物线上的动点，连接
，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当t为何值时， 的面积最大？并求出最大面积；
(3)M为直线 上一点，求 的最小值；
(4)过P点作 轴，交 于E点．是否存在点P，使得 为等腰三角形？若存在，
请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式训练3】综合与实践
如图，已知抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
是直线 下方抛物线上一点，设点 的横坐标为 ．过点 作 ，交 于点 ．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当 的长度最大时，求线段 的最大值，并写出此时点 的坐标；
(3)连接 ，试探究，在点 运动的过程中，是否存在点 ，使得 是等腰三角形，
若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．类型二、等腰直角三角形存在性问题
例．综合与探究：如图1，已知抛物线 与x轴相交于A，B两点（点A在点B
的左侧），与y轴相交于点C，直线 与y轴相交于点D，交线段 于点E且 ．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)求直线 的函数表达式；
(3)如图2，已知点M在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为 ，点P是该抛物线上位于第
四象限的动点，且在直线l右侧，点Q是直线 上的动点，试探究是否存在以点M为直角
顶点的等腰直角三角形 ，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【变式训练1】综合与探究
如图，已知直线 与x轴，y轴交于B，A两点，抛物线 经过点
A，B，点P为线段 上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线
于点M，设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线解析式；
(2)当 ，t的值为___________；
(3)若点N到直线 的距离为d，求d的最大值；
(4)在y轴上是否存在点Q，使 是以 为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图（1）所示，在平面直角坐标系中，平行于 轴的直线与抛物线
相交于 ， 两点．设点 的横坐标为 ．
(1)求 的长（用含 的代数式表示）；
(2)如图（2）所示，点 在直线 上，点 的横坐标为 ．若 ， ，求顶点在
轴上且经过 ， 两点的抛物线的顶点坐标；
(3)点 在直线 上， ，过 ， ， 三点的抛物线的顶点为 ，其对应函数的
二次项系数为 ．
①求 的值；②当 ， 为等腰直角三角形时，直接写出 的值．
【变式训练3】如图，抛物线 过点 、点 ，交y轴于点C．
(1)求b，c的值．
(2)点 是抛物线上的动点
①当 取何值时， 的面积最大？并求出 面积的最大值；
②过点P作 轴，交 于点E，再过点P作 轴，交抛物线于点F，连接 ，
问：是否存在点P，使 为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二、直角三角形存在性问题
例．如图所示，已知抛物线 （ ）与 轴交于点 和点 ，
与 轴交点 ．
(1)求抛物线的解折式；
(2)点 是线段 上异于 ， 的动点，过点 作 轴于点 ，交抛物线于点 ．当
为直角三角形时，请直接写出点 的坐标．
【变式训练1】如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，B点坐标为 ．与y
轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线 与直线BC交于点E，与y轴交于点
F，求 的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点．当 是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐
标．【变式训练2】已知直线l与 轴、 轴分别相交于 、 两点，抛物线
经过点 ，交 轴正半轴于点 ．
(1)求直线 的函数解析式和抛物线的函数解析式；
(2)在第一象限内抛物线上取点 ，连接 、 ，求 面积的最大值及点 的坐
标．
(3)抛物线上是否存在点 使 为直角三角形，如果存在，请直接写出点 的坐标；如
果不存在，请说明理由．
【变式训练3】如图，已知抛物线的顶点坐标为 ，与x轴交于A、B两点（点A在点
B的右侧），与y轴交于点 ，点P在 所在直线下方的抛物线上，过点P作
轴，交 于点D．
备用图
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)连接 ，问是否存在点P，使得 是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．【变式训练4】综合与实践
如图，抛物线 与 轴交于 和 两点（点 在点 的右侧），与 轴交于点
，抛物线的顶点是点 ．
(1)求点 ， ， 和点 四点的坐标；
(2)如图1，连接 ， 和 ，求 的面积；
(3)点 在抛物线的对称轴上运动， 是以 为直角边的直角三角形，借助图2，直接
写出点 的坐标．
课后训练
1．综合与探究
如图，直线 分别与x轴，y轴交于点A，点B，过点B的抛物线的解析式为
．抛物线上有一动点P，过点P作x轴的垂线，过点B作 轴，两
直线交于点D，点P不与点B，D重合．
(1)求A，B两点的坐标和抛物线的解析式．
(2)连接 ，当 时，求 的长．(3)将 绕点B逆时针旋转 ，得到 ，当点P的对应点 落在坐标轴上时，
请直接写出点P的坐标．
2．如图，抛物线 与x轴交于 、 两点，与y轴交于点C，点D
与点C关于x轴对称，点 是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线 交抛物线于
点Q，交直线 于点M，交直线 于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若 平分 时，试求Q点的坐标；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点Q，使 是以 为直角边的直角三角形？若存
在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
3．综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 和点
，与 轴交于点 ，过动点 作平行于 轴的直线 ，直线 与抛物线
相交于点 ， ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)求 的取值范围；(3)直线 上是否存在一点 ，使得 是以 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，
且 ，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，对称轴与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式，并直接写出顶点 的坐标；
(2)如图1，点 在线段 上，作等腰 ，使得 ，且点 落在直线 上，若
满足条件的点 有且只有一个，求点 的坐标．
(3)如图2，在平面直角坐标系 中，直线 分别与 轴， 轴相交于 ， 两
点．
①求 的度数；
②设直线 与抛物线相交于 两点（点 在点 的左侧），当直线
与直线 相交所成的一个角为 时，求点 的坐标．
5．如图1，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与y轴交于点C，顶
点为D．点P是直线 上方抛物线上的一个动点，过点P作 轴于点E，交直线
于点Q．
(1)求抛物线的表达式；(2)求线段 的最大值；
(3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接 ．是否存在点P，使得 为
等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
