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专题07 二次函数与一元二次方程（五大类型）
【题型1：二次函数与x轴交点问题】
【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】
【题型3： 已知函数值y求X的取值范围】
【题型4： 二次函数与不等式的关系】
【题型5:二次函数综合】
【题型1：二次函数与x轴交点问题】
1．（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下
列说法正确的是（ ）
A．有两个公共点 B．有一个公共点
C．一定有公共点 D．可能无公共点
【答案】C
【解答】解：∵Δ＝[﹣（a+1）]2﹣4a
＝a2﹣2a+1
＝（a﹣1）2≥0，
所以抛物线与x轴一定有公共点，
故选：C．
2.（2023•许昌二模）若抛物线 y＝x2+4x+c与x轴没有交点，则c的值可以是（
）
A．﹣4 B．0 C．4 D．8
【答案】D
【解答】解：∵抛物线y＝x2+4x+c与x轴没有交点，
∴x2+4x+c＝0无解，
∴Δ＝16﹣4c＜0，
解得c＞4，故选：D．
3.（2023•南充模拟）针对抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴公共点的情况，下
列说法正确的是（ ）
A．有两个公共点 B．有一个公共点
C．一定有公共点 D．可能无公共点
【答案】C
【解答】解：∵Δ＝[﹣（a+1）]2﹣4a
＝a2﹣2a+1
＝（a﹣1）2≥0，
所以抛物线与x轴一定有公共点，
故选：C．
4．（2023春•梅江区校级月考）二次函数y＝x2﹣2x﹣1与x轴交点个数情况为
（ ）
A．有两个不同的交点 B．只有一个交点
C．没有交点 D．无法确定
【答案】A
【解答】解：∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝4+4＝8＞0，
∴二次函数y＝x2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点，
故选：A．
5．（2022秋•集贤县期末）已知函数y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两
个公共点，则实数m的值为（ ）
A．m＝0或 B． C．m＝1或 D．m＝1或m＝0
【答案】C
【解答】解：函数 y＝mx2+3mx+m﹣1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则
m≠0，
两种情况讨论：
①对称轴为直线 ，当函数图象经过坐标原点时，则有m﹣1＝0，
解得m＝1；
②当与x轴、y轴各有一个交点时，则该函数图象与x轴只有一个交点，即：mx2+3mx+m﹣1＝0，Δ＝0，且m≠0，
∴（3m）2﹣4m（m﹣1）＝0，
解得：m＝0（舍去）或m＝﹣ ，
综上所述，实数m的值为1或﹣ ，
故选：C．
6．（2022秋•阜宁县期末）抛物线y＝x2﹣bx﹣1与x轴交点的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．以上都不对
【答案】C
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣bx﹣1，
∴当y＝0时，则0＝x2﹣bx﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣b）2+4＞0，
∴方程有2个不相等的实数根，
∴抛物线y＝x2﹣bx﹣1与x轴交点的个数为2个．
故选：C．
7．（2022秋•新城区期末）二次函数 y＝x2﹣2x+1的图象与x轴的交点个数是
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】B
【解答】解：判断二次函数图象与 x轴的交点个数，就是当y＝0时，方程x2
﹣2x+1＝0解的个数，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴此方程有两个相同的根，
∴二次函数y＝x2﹣2x+1的图象与x轴有一个交点．
故选：B．
8．（2023•三江县校级一模）若二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则
关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）A．x ＝﹣2，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝3 C．x ＝0，x ＝3 D．x ＝1，x ＝3
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解答】解：抛物线的对称轴为直线 x＝1，抛物线与x轴的一个交点坐标为
（3，0），
所以抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
即x＝﹣1或3时，函数值y＝0，
所以关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为x ＝3，x ＝﹣1．
1 2
故选：B
【题型2: 图像法确定一元二次方程的根】
9．（2022秋•林州市期末）根据如表中代数式 ax2+bx的取值情况，可知方程
ax2+bx﹣6＝0的根是（ ）
x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 ……
ax2+bx …… 12 6 2 0 0 2 6 ……
A．x ＝0，x ＝1 B．x ＝﹣1，x ＝2 C．x ＝﹣2，x ＝3D．x ＝﹣3，x ＝
1 2 2 1 1 2 1 2
4
【答案】C
【解答】解：从表格看，当x＝﹣2或3时，ax2+bx﹣6＝0，
故方程ax2+bx﹣6＝0的根为x＝﹣2或3，
故选：C．
10.（2023•澄城县一模）若二次函数 y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0），
（2，0），则关于x的方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x ＝﹣1，x ＝2 B．x ＝﹣2，x ＝1
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝2 D．x ＝﹣1，x ＝﹣2
1 2 1 2
【答案】A
【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象经过点（﹣1，0），（2，
0），∴方程ax2+bx+c＝0的解为x ＝﹣1，x ＝2．
1 2
故选：A．
11.（2022秋•宛城区期末）根据下表中代数式 ax2+bx的取值情况，可知方程
ax2+bx﹣6＝0的根是（ ）
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
ax2+bx … 12 6 2 0 0 2 6 …
A．x ＝0，x ＝1 B．x ＝﹣1，x ＝2 C．x ＝﹣2，x ＝3D．x ＝﹣3，x ＝
1 2 1 2 1 2 1 2
4
【答案】C
【解答】解：由表知当x＝﹣2和x＝3时，ax2+bx＝6，
∴ax2+bx﹣6＝0的根x ＝﹣2，x ＝3，
1 2
故选：C
【题型3： 已知函数值y求X的取值范围】
12．（2022秋•长春期末）已知二次函数 y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当
y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣3或x＞1 D．x＜1
【答案】B
【解答】解：由题意得：二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，经
过（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0）．
∵抛物线在x轴的上方部分y＞0，
∴当y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．
故选：B．
13．（2022秋•合肥月考）如图所示的是二次函数 y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．﹣1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞
5
【答案】D
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0），
∴抛物线与x轴另一交点坐标为（﹣1，0），
∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜﹣1或x＞5，
故选：D．
14．（2022•泸县校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关
于x的不等式ax2+bx+c≥2的解集是（ ）
A．x≤2 B．x≤0 C．﹣3≤x≤0 D．x≤﹣3或
x≥0
【答案】C
【解答】解：由图象可知函数的对称轴为直线x＝﹣ ，
当x＝0时，y＝2，
∴当y＝2时，x＝0或x＝﹣3，
∴ax2+bx+c≥2的解集是﹣3≤x≤0，故选：C．
15．（2022秋•萧山区月考）已知抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，则关
于x的不等式x2+bx＜﹣8的取值范围是（ ）
A．1＜x＜5 B．2＜x＜4 C．0＜x＜6 D．﹣1＜x＜7
【答案】B
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx的对称轴为直线x＝3，
∴﹣ ＝3，
∴b＝﹣6，
∴y＝x2﹣6x，
令y＝﹣8，则x2﹣6x＝﹣8，
解得x＝2或x＝4，
∴抛物线与直线y＝﹣8的交点为（2，﹣8），（4，﹣8），
∵y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9，
∴抛物线开口向上，函数有最小值为﹣9，
由图象可知，不等式x2﹣6x＜﹣8的取值范围是2＜x＜4，
故选：B．
16．（2022秋•泰山区校级月考）二次函数 y＝a2+bx+c（a≠0）的图象如图所
示，则不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）A．x＞﹣3 B．x＜1 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞
1
【答案】C
【解答】解：根据图象得二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点坐
标为（﹣3，0）、（1，0），
由图象可知当﹣3＜x＜1时，y＜0，
故不等式ax2+bx+c＜0的解集是﹣3＜x＜1．
故选：C．
17.（2023•泸县校级一模）二次函数y＝x2﹣2x﹣3．若y＞﹣3，则自变量x的取
值范围是（ ）
A．x＜0或x＞2 B．x＜1或x＞3 C．0＜x＜2 D．1＜x＜3
【答案】A
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝1，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴抛物线与y轴的交点是（0，﹣3），
∴点（0，﹣3）关于对称轴的对称点为（2，﹣3），
∴当y＞﹣3时，自变量x的取值范围是x＜0或x＞2．
故选：A．
18．（2022秋•金东区期末）已知抛物线y＝﹣3x2+bx+c经过点A（0，2）、B
（4，2），则不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集是 x ＞ 4 或 x ＜ 0 ．
【答案】x＞4或x＜0．
【解答】解：∵二次函数 y＝﹣3x2+bx+c的图象经过点A（0，2），B（4，
2），如图所示：∴不等式﹣3x2+bx+c＜2的解集为：x＞4或x＜0，
故答案为：x＞4或x＜0．
【题型4： 二次函数与不等式的关系】
19.（2022 秋•同江市期末）如图，已知 y ＝ax2+bx+c（a≠0）与 y ＝kx+b
1 2
（k≠0）相交于A（﹣1，0）、B（﹣4，3）两点，则y ＞y 的x的取值范围
1 2
是（ ）
A．x＜﹣4 B．﹣4＜x＜﹣1
C．x＞﹣1 D．x＜﹣4或 x＞﹣1
【答案】D
【解答】解：观察图象可知：抛物线y 与直线y 的交点横坐标是﹣4，﹣1，
1 2
故当x＜﹣4或x＞﹣1时，y ＞y ．
1 2
故选：D．
20.（2023•娄底模拟）如图，抛物线 y＝ax2+c与直线 y＝mx+n交于 A（﹣1，
p），B（3，q）两点，则不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为（ ）
A．x＞﹣1 B．x＜3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣3或x＞
1【答案】C
【解答】解：∵A（﹣1，p），B（3，q），
∴﹣1＜x＜3时，直线在抛物线上方，即﹣1＜x＜3时，ax2+c＜mx+n，
∴不等式ax2﹣mx+c＜n的解集为﹣1＜x＜3．
故选：C．
21．（2022秋•保定期末）如图，已知抛物线 y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于
A（﹣3，﹣1），B（0，3）两点．则关，于x的不等式ax2+bx+c≤kx+m的解
集是 x ≤﹣ 3 或 x ≥ 0 ．
【答案】x≤﹣3或x≥0．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，﹣1），B
（0，3）两点，
∴不等式ax2+bx+c≤kx+m的解集是x≤﹣3或x≥0．
故答案为：x≤﹣3或x≥0．
22．（2022秋•番禺区校级期末）如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝x2﹣3x+2都
经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是 1 ＜ x
＜ 3 ．
【答案】1＜x＜3．
【解答】解：直线 y＝x﹣1与抛物线 y＝x2﹣3x+2都经过点 A（1，0）和 B
（3，2），由图象得：不等式x﹣1＞x2﹣3x+2的解集是1＜x＜3．
故答案为：1＜x＜3．
23．（2022秋•市中区期末）如图，已知二次函数 y ＝ax2+bx+c（a≠0）与一次
1
函数y ＝kx+m（k≠0）的图象交于点A（﹣1，3），B（4，2）．如图所示，
2
则能使y ＜y 成立的x的取值范围是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 4 ．
1 2
【答案】﹣1＜x＜4．
【解答】解：∵两函数图象的交点坐标为A（﹣1，3），B（4，2），
∴能使y ＜y 成立的x的取值范围是﹣1＜x＜4．
1 2
故答案为：﹣1＜x＜4．
【题型5:二次函数综合】
24．（2022秋•武城县月考）如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是（0，
），以点C为顶点的抛物线y＝ax2+bx+c恰好经过x轴上A，B两点．
（1）求A，B，C三点的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由抛物线的对称性可知AE＝BE．
∴△AOD≌△BEC．
∴OA＝EB＝EA．
设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m2+（ ）2＝（2m）2，解得m＝1．
∴DC＝2，OA＝1，OB＝3．
∴A，B，C三点的坐标分别为（1，0），（3，0），（2， ）．
（2）解法一：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+ ，代入A的坐标（1，
0），得a＝﹣ ．
∴抛物线的解析式为y＝﹣ （x﹣2）2+ ．
解法二：设这个抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c，由已知抛物线经过A（1，
0），B（3，0），C（2， ）三点，
得 解这个方程组，得
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+4 x﹣3 ．
25．（2021秋•天津期末）如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两
点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P是抛物线对称轴1上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P
的坐标．
【答案】（1）2；（1，4）；（2）6；
（3）（1，2）．
【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y＝﹣x2+mx+3得：0
＝﹣32+3m+3，
解得：m＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）点B的坐标为（3，0），由（1）知y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝1，
∴A（﹣1，0），
令x＝0，则C（0，3），
∴S ＝ AB•OC
△ABC
＝ （3+1）•3
＝6．
（3）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴ ，
解得： ．
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．
26．（2022秋•青龙县月考）如图，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）的图象交直
线l：y＝ x+1于A，B两点，与x轴的另一个交点为C，与y轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接AD，BD，求△ADB的面积；
（3）若抛物线的对称轴上存在一动点E，使EA+ED的值最小，求点E的坐
标．【答案】（1）y＝﹣ x2+x+3；
（2）6；
（3）点E（2，2）．
【解答】解：（1）对于y＝ x+1，令y＝ x+1＝0①，解得：x＝﹣2，
即点A（﹣2，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝4a+8a+3，解得：a＝﹣ ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2+x+3②；
（2）联立①②并解得： ，
则点B（4，3）；
设直线l交y轴于点H，则点H（0，1），由抛物线的表达式知，点 D（0，
3），
则DH＝3﹣1＝2，
则△ADB的面积＝S +S ＝ ×DH×（x ﹣x ）＝ （4+2）＝6；
△DHA △DHB B A
（3）由函数的对称性知，点 B、D关于抛物线的对称轴对称，设 AB交抛物
线对称轴于点E，则点E为所求点，此时EA+ED的值最小，
理由：由点 B、D 关于抛物线的对称轴对称，则 ED＝EB，则 EA+ED＝
EA+EB＝AB为最小，由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝ x+1＝2，即点E（2，2）．
27．（2022秋•黔东南州月考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣
3，0），B（1，0），与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在上点 P，使得以点A、C、P为顶点的三
角形是直角三角形，若存在，求出点P坐标若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）点P的坐标为（﹣1， ）或（﹣1， ）或（﹣1，﹣4）
或（﹣1，2）．
【解答】解：（1）由题意得： ，解得： ，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，即点C（0，﹣3），
抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
设点P（﹣1，m），由勾股定理得：AC2＝32+32＝18；AP2＝22+m2，PC2＝1+（m+3）2，
当AC是斜边时，则18＝AP2＝22+m2+1+（m+3）2，解得：m＝ ；
当AP是斜边时，则18+1+（m+3）2＝22+m2，解得：m＝﹣4；
当CP是斜边时，则18+22+m2＝1+（m+3）2，解得：m＝2，
即点P的坐标为（﹣1， ）或（﹣1， ）或（﹣1，﹣4）或
（﹣1，2）．
28．（2022秋•越秀区校级月考）抛物线 y＝﹣x2+2x+8与x轴交于A，B两点
（A在B的左侧），与y轴交于点C，点M是抛物线在x轴上方部分一动点，
过点M作直线MH⊥y轴于H．
（1）如图1，当HM＝3时，求△ABM的面积；
（2）如图2，若△MCO是以CO为底的等腰三角形，求点M的坐标．
【答案】（1）△ABM的面积为15；
（2）点M的坐标是（1+ ，4）或（1﹣ ，4）．
【解答】解：（1）当y＝0时，0＝﹣x2+2x+8，
解得x ＝4，x ＝﹣2，
1 1
∴A（﹣2，0），B（4，0），
∴AB＝6，
∵HM＝3，即M的横坐标为3，
∴y＝﹣9+6+8＝5，
∴M（3，5），∴△ABM中，AB边上的高为5，
∴S ＝ AB•|5|＝ ×6×5＝15，
△ABM
∴△ABM的面积为15；
（2）在y＝﹣x2+2x+8中，当x＝0时，y＝8，
∴C（0，8），
∴CO＝8，
∵△MCO是以CO为底的等腰三角形，
∴MC＝MO，
∵HM⊥CO，
∴CH＝HO＝4，
在y＝﹣x2+2x+8中，当y＝4时，﹣x2+2x+8＝4，
解得x＝1+ 或x＝1﹣ ，
∴点M的坐标是（1+ ，4）或（1﹣ ，4）．
29．（2022秋•平桂区 期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+5的图象经过点（1，
8），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A（﹣1，0），M
为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求△MCB的面积；
（3）在坐标轴上是否存在点 N，使得△BCN为直角三角形？若存在，求出
点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+4x+5；（2）15；
（3）存在，点N的坐标为（﹣5，0）或（0，﹣5）或（0，0）．
【解答】解：（1）由题意得： ，解得： ，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）由抛物线的表达式知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，
当x＝2时，y＝﹣x2+4x+5＝9，即点M（2，9），
过点M作MH∥y轴交BC于点H，
设直线BC的表达式为：y＝mx+n，
则 ，解得： ，
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，
当x＝2时，y＝﹣x+5＝3，即点H（2，3），
则MH＝9﹣3＝6，
则△MCB的面积＝S +S ＝ ×MH×OB＝ ＝15；
△MHB △MHC
（3）存在，理由：
如上图，由点B、C的坐标知，OB＝OC＝5，则∠BCO＝∠CBO＝45°，
①当∠NCB为直角时，
∵∠NCB＝90°，则△NBC为等腰直角三角形，
则∠CNB＝45°，
则NA＝CO＝5，即点N（﹣5，0）；②当∠N′BC为直角时，
同理可得，△OBN′为等腰直角三角形，
则ON′＝BO＝5，
即点N′（0，﹣5）；
③当∠BNC为直角时，
则点N与点O重合，
即点N（0，0）；
综上，点N的坐标为（﹣5，0）或（0，﹣5）或（0，0）．
30．（2022秋•萧山区期中）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m2﹣2．
（1）若m＝2，则该抛物线的对称轴为 直线 x ＝ 2 ；若A（m﹣2，y ），
1
B（m+1，y ）两点在该二次函数图象上，则 y 与y 的大小关系为 y ＞ y
2 1 2 1 2
；
（2）若该函数图象的顶点到x轴的距离等于2，试求m的值；
（3）若抛物线在1≤x≤3时，对应的函数有最大值3，求m的值．
【答案】（1）直线x＝2；y ＞y ．
1 2
（2）m＝±2或m＝0．
（3）1或2．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+2m2﹣2＝（x﹣m）2+m2﹣2，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝m，
当m＝2时，抛物线对称轴为直线x＝2，
∵m﹣（﹣2）＞m+1﹣m，
∴点A到对称轴距离大于点B到对称轴距离，
∴y ＞y ．
1 2
故答案为：直线x＝2；y ＞y ．
1 2
（2）∵抛物线顶点坐标为（m，m2﹣2），
∴图象顶点到x轴距离为2时，m2﹣2＝2或m2﹣2＝﹣2，
解得m＝±2或m＝0．
（3）当x＝1，函数取最大值时，将x＝1代入y＝x2﹣2mx+2m2﹣2得y＝1﹣
2m+2m2﹣2＝3，
解得m＝﹣1或m＝2，当m＝﹣1时，抛物线对称轴为直线x＝﹣1，x＝3时函数取最大值，不符合
题意．
当m＝2时，抛物线对称轴为直线x＝2，x＝1时函数取最大值，符合题意．
当 x＝3，函数取最大值时，将 x＝3 代入 y＝x2﹣2mx+2m2﹣2 得 y＝9﹣
6m+2m2﹣2＝3，
解得m＝1或m＝2，
当m＝1时，抛物线对称轴为直线x＝1，x＝3时函数取最大值，符合题意．
当m＝2时，抛物线对称轴为直线x＝2，x＝3时函数取最大值，符合题意．
综上所述，m＝1或2．
31．（2022秋•汉川市期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x
轴交于O，A两点，过点A的直线 与y轴交于点C，交抛物线于点
D．
（1）直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图1，点B是直线AC上方第一象限内抛物线上的动点，连接 AB和
BD，求△ABD面积的最大值；
（3）如图2，若点M在抛物线上，点N在x轴上，当以A，D，M，N为顶
点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【答案】（1）A（4，0），C（0，3）， ；
（2） ；（3）N （2，0），N （6，0）， ， ．
1 2
【解答】解：（1）当y＝0时， ，
解得：x ＝0，x ＝4，
1 2
∴A（4，0）； ，
当x＝0时：y＝3，
∴C（0，3）；
联立二次函数和一次函数解析式，
得： ，
整理得： ，
解得：x ＝1，x ＝4，
1 2
当x＝1时， ，
∴ ；
（2）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，交AC于点E，过点D作DH⊥y轴
于点H，交BF于点G，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ＝ ＝
＝ ，
当 时，S 有最大值为 ；
△ABD
（3）①当点M在x轴上方时，如图2，以A，D，M，N为顶点的四边形为
平行四边形，
则DM∥AN，DM＝AN，
由对称性得到 ，即DM＝2，故AN＝2，
∴N （6，0），N （2，0）；
1 2
②当点M在x轴下方时，如图3：过点M作MP⊥x轴于点P，过点D作DQ⊥x轴于点Q，
则：∠AQD＝∠NPM＝90°，
∵以A，D，M，N为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD∥MN，AD＝MN，
∴∠PNM＝∠QAD，
∴△ADQ≌△NMP（AAS），
∴NP＝AQ＝3， ，
将 代入抛物线解析式得： ，
解得： 或 ，
∴ 或 ，
∴ ， ．
符合条件的 N 点有：N （2，0），N （6，0）， ，
1 2
．
