文档内容
专题 07 平行四边形的性质和判定七种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段.................................................................................................2
类型二、利用平行四边形的性质求面积............................................................................................................5
类型三、利用平行四边形的性质求动点问题....................................................................................................6
类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）..................................................................................9
类型五、利用平行四边形的性质证明..............................................................................................................15
类型六、利用平行四边形的判定和性质求解...................................................................................................20
类型七、利用平行四边形的判定和性质证明...................................................................................................23
压轴能力测评（18题）....................................................................................................................................27
解题知识必备
1. 平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形.平行四边形用“
▱
”表示，平行四边形 ABCD表示为
“ ▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
2. 平行四边形的性质
平行四边形的性质：边、角、对角线，有时会涉及对称性.如下图，四边形ABCD是平行四边形：
性质1（边）：①对边相等；②，即：AB=CD，AD=BC；AB∥CD，AD∥BC
性质2（角）：对角相等，即：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC
性质3（对角线）：对角线相互平分，即：AO=OC，BO=OD
注：①平行四边形仅对角线相互平分，对角线不相等，即AC≠BD；
②平行四边形对角相等，但对角线不平分角，即∠DAO≠∠BAO.
性质4（对称性）：平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形.
3. 平行四边形的判定定理
平行四边形的判定：主要根据平行四边形的定义、性质进行，如下图，有四边形ABCD：（1）判定方法1（定义）：两组对边平行的四边形，即AD∥BC，AB∥DC.
（2）判定方法2（边的性质）：两组对边相等的四边形，即AD=BC，AB=DC.
（3）判定方法 3（边的性质）：一组对边相等且平行的四边形，即 AD∥BC且AD=BC；AB∥DC且
AB=DC.
（4）判定方法4（角的性质）：两组对角相等的四边形，即∠BAD=∠BCD且∠ABC=∠ADC.
（5）判定方法5（对角线的性质）：两组对角线相互平分的四边形，即AO=CO且BO=DO.
注：①平行四边形的判定，需要边、角、对角线相关的2个条件（相等、平行）；
②判定方法3中，必须要求是同一对边平行且相等判定为平行四边形.若四边形中，一对边平行，另一对边
相等，是无法判定为平行四边形的.
压轴题型讲练
类型一、利用平行四边形的性质求角度或线段
例题1：（23-24八年级下·吉林·阶段练习）在平行四边形 中， ，则 的度数是
．
【答案】 /100度
【分析】本题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到邻角互补，得到 ，再根据
平行四边形对角相等，即可得解．
【详解】解：∵平行四边形 中，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
例题2：（23-24八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平行四边形 中，已知 ，
， ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，根据平行四边形的性质可知 ， ，据此
求出 、 的长，利用勾股定理求出 的长即可．找到平行四边形中的直角三角形是解题的关键．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
又∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴在 中，
，
∴ 的长为 ．
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏宿迁·阶段练习）在 中， ， 平分 交 于点E， 平
分 交 于点F，且 ，则 的长为 （ ）
A．4 B．6 C．6或8 D．4或6
【答案】D
【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质．根据平行加角平分线，得到
均为等腰三角形，分点 在点 的左侧和右侧，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
如图①，当点 在点 的左侧时： ，
∴ ；
如图②，当点 在点 的右侧时， ，
∴综上： 或 ；
故选D．
2．（2024·山东泰安·模拟预测）如图，在 中， ， 的平分线 交 于点 ，连
接 若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /30度
【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形和内角和定理等知识；关键是掌
握平行四边形对边平行，对角相等．
由平行四边形的性质得出 ， ，得出 ，由等腰三角形的
性质和三角形内角和定理求出 ，即可得出 的度数．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
．
故答案为： ．
类型二、利用平行四边形的性质求面积
例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）如图， 的对角线 相交于点O， 过点
O，且点E，H在边 上，点G，F在边 上，则阴影部分的面积与 的面积比值是（ ）．A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题主要考查了平行四边形的对称性，将阴影部分的面积进行合理的转化是解题的关键．
根据轴对称的性质可得 和 关于点O中心对称，即可 ，再根据平行四边形的性质
即可解答．
【详解】
解：∵四边形 为平行四边形，
∴ 和 关于点O中心对称，
∴ ，
∴ ，
∴阴影部分的面积与 的面积比值是 ．
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线 过平行四边形 对角线的交点O，分别交
于E、F，若平行四边形的面积是12，则 与 的面积之和为 ．
【答案】3
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到
， 进 而 可 证 明 得 到 ， 则
．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3．
2．（22-23八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在 中，P是 边上一点．已知 ，
，则 的面积是 cm2．
【答案】12
【分析】由平行四边形的性质得 ，则 ，得 ，即可得
出结论．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
类型三、利用平行四边形的性质求动点问题
例题：（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图1，平行四边形 中，对角线 ， 点M沿 方向运
动．设 ， ，图2是y关于x的函数图象，则平行四边形 的面积是（ ）A．20 B．10 C．15 D．12
【答案】D
【分析】本题考查了动点问题的函数图象的性质，结合图象分析题意是解题关键．由图2得，当点M在点
C处时， ，即 ，当点M到达点D时， ，即 ，在 中，利用勾股定理求
出 ，再用平行四边形面积公式计算即可．
【详解】解：由图2得，当点M在点C处时， ，即 ，
∴ ，
当点M到达点D时， ，即 ，
在 中， ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积是 ．
故选：D．
【变式训练】
1．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图 ，点 从四条边都相等的 的顶点 出发，沿 以
的速度匀速运动到点 ，图 是点 运动时， 的面积 随时间 变化的关系图象，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题综合考查了 性质，动点问题的函数图象，勾股定理，解答过程中要注意函数图象变
化与动点位置之间的关系．通过分析图象，点 从点 到 用 ，此时， 的面积为 ，依此可求
的高 ，再由图象可知， ，应用两次勾股定理分别求 和 ．
【详解】解：过点 作 于点
∵ 的四条边都相等，
∴ ．由图象可知，点 由点 到点 用时为 ， 的面积为 ．
，
，
，
当点 从点 到点 时，用时为
，
中，
，
的四条边都相等，
，
中，
，
解得：
故选：C．
2．（23-24九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，在平行四边形 中， ， 厘米，
厘米，点 从点 出发以每秒 厘米的速度，沿 在平行四边形的边上匀速运动
至点 ．设点 的运动时间为 秒， 的面积为 平方厘米，下列图中表示 与 之间函数关系的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等
知识．由平行四边形性质得到 厘米，点 速度为每秒 厘米，则点 在 上时，时间 满足的
取值范围为 ，观察符合题意的 、 、 的图象， 即点 在 处时， 的面积各不相同，
求得此时 的面积，即可找到正确选项．判断出点 运动到点 时的时间及此时 的面积是解决
本题的关键．
【详解】解： 四边形 是平行四边形， 厘米，
厘米，
点 从点 出发以每秒 厘米的速度，
点 走完 所用的时间为： 秒，
当点 在 上时， ；故排除 ；
当 时，点 在点 处，过点 作 于点 ，如图所示：
，
，
，
厘米，
厘米，
厘米，
平方厘米，
故选：B．
类型四、利用平行四边形的性质得结论（多结论问题）
例题：（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，平行四边形 的对角线AC，BD交于
点O，AE平分 ，交BC于点E，且 ，连接 ，下列结论① ；
② ；③ ；④ ；其中成立的个数是（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】结合平行四边形的性质可证明 为等边三角形，由 ，可判断①，
由 ， ，得 ，故②正确，设 ，则 ，对 ， 运用
勾股定理即可判断③，利用三角形中线的性质结合三角形的面积可求解判断④．
【详解】解： 四边形 为平行四边形， ，
， ， ， ，
， ，
平分 ，
，
为等边三角形，
， ，
，
，
，
，故①正确；
∵ ， ，
∴ ，故②正确；
， ，
，
设 ，则 ，在 中， ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，∴ ，故③正确；
， ，
是 的中点，
，
，
，
，，故④正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，
灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图， 是 内一点， ， ，
，连接 ， ， ，下列结论：① ；② 为等腰直角三角形； ③
；④ ，其中正确的个数有 （ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【分析】①延长 交 于点 ，根据平行四边形性质和四边形内角和即可得到 ；②先证
明 ，得 ，又有 ，可得 ，即可得到 为等腰直角三角形；③
过点 作 交 延长线于点 ，证明 ，再根据勾股定理及等腰直角三角形的性质，
可得 成立；④过点 作 于 ，根据勾股定理即可证明
，可知结论不成立．
【详解】解：①延长 交 于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
故①正确；
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵
∴ 为等腰直角三角形，
故②正确；
∵ ，
∴ ，则 为等腰直角三角形，
∴ ，
过点 作 交 延长线于点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ， ，则 为等腰直角三角形，
∴ ，
由等腰直角三角形可知， ，
∴ ，
故③正确；
由勾股定理可知， ，则 ，
过点 作 于 ，则 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
则 ， ，
∴ ，
故④不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，勾股定理，等腰直角三角形判定和性质，全等三角形判定和性质等
知识点，解题关键正确添加辅助线构造全等三角形和直角三角形．
2．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形 中，对角线 ， 交于点 ，
， ， ，直线 过点 ，连接 ，交 于点 ，连 ， 的周长等于
，下列说法正确的个数为（ ）
； ； ； ．
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】D
【分析】由 的周长等于 ，可得 ，即得到 ，根据等腰三角形
三线合一得到 ，即可判断 ；过点 作 ，交 与 ，证明 ，得到
，同理可得， ， ，再由三角形的面积即可判断 ；过点 于 ，
交 于 ，可得 ，即可判断 ；过点 作 的延长线于点 ，由平行线
可得 ，进而可得 ，得到 ，由勾股定理可得 ，设
，则 ，在 中，由勾股定理可得 ，求出 进而可得
的长，即可判断 ；正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵ 的周长等于 ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰三角形，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，故 正确；
过点 作 于M，交 与 ，
∵ ，
∴ ， ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
同理可得， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，故 正确；
过点 作 于 ，交 于 ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，故 正确；
过点 作 的延长线于点 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故 正确；
∴说法正确的个数有 个，
故选： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，
平行线的性质，直角三角形的性质，勾股定理．
类型五、利用平行四边形的性质证明
例题：（23-24八年级下·辽宁大连·阶段练习）如图，点E是 内一点，且
．(1)写出图中与 相等的角，并证明；
(2)求证：
(3)用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1) ，见解析
(2)见解析
(3) ，见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得 ，由垂直的定义得 ，然后根
据等式的性质可得 ；
（2）延长 交 于点F．由平行四边形的性质得 ，求出 可得
，然后根据 证明 即可证明结论成立；
（3）由 可得 ，进而可证 ，然后由勾股定理得 ，从而
可得 ．
【详解】（1） ．
证明： 四边形ABCD是平行四边形，
．
，
．
．
即 ．
（2）如图，延长 交 于点F．
四边形ABCD是平行四边形，
．
．．
，
．
在 中， ．
．
，
．
．
，
．
（3） ．
由（2） 可得， ，
．
在 中， ，由勾股定理可得，
，
，
，
．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及
勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式训练】
1．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平行四边形 中， 、 分别平分 、 ，
交 分别于点 、 ．已知平行四边形 的周长为 ．
(1)求证： ；
(2)过点 作 于点 ，若 ，求 的面积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形，全等三角形，角平分线的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，即可．
（1）根据平行四边形的性质，则 ， ， ，则 ，根据 、
分别平分 、 ，全等三角形的判定和性质，即可；
（2）过点 作 于点 ，根据角平分线的性质，则 ；根据平行四边形的周长，则
，根据 ，即可．
【详解】（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ 、 分别平分 、 ，
∴ ， ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
（2）过点 作 于点 ，
∵ 是 的角平分线， ，
∴ ，
∵平行四边形 的周长为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
2．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在 中，点E为 上一点，连接
并延长交 的延长线于点F， ，连接 ．(1)求证： 平分 ；
(2)若点E为 中点，求证： ；
(3)若 ， ， ，求 的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)168
【分析】（1）根据 得到 ，根据 得到 ，即可证明
，问题得证；
（2）证明 ，即可得到 ，根据 即可证明 ；
（3）过点E作 于M，设 ，则 ，根据勾股定理列出方程
，解得 ，进而得到 ，即可求出 ．
【详解】（1）证明：证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ；
（2）证明：∵点E为 中点，
，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图，过点E作 于M，设 ，则 ．
根据勾股定理得 ，
解得 ，，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，
熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．
类型六、利用平行四边形的判定和性质求解
例题：（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在四边形 中， ，点E在
上， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， 平分 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、 角直角三角形的性质和勾股定理等知识，证明四边形
为平行四边形是解题的关键．
（1）首先根据 得到 ，然后结合 即可证明出四边形 是平行四
边形；
（2）利用 角直角三角形的性质求得 的长，再利用 角直角三角形的性质和勾股定理求得 ，
再根据平行四边形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵ ， ， ，∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·期末）如图，在 中， ， 于点D，延长 到点E，使
，过点E作 交 的延长线于点F，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，直接写出 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理
等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）证 ，得 ，再由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得 ，再由等腰三角形的性质得 ，则 ，进
而由勾股定理得 ，然后利用勾股定理求出 的长即可．
【详解】（1）证明： ，
，
在 与 中，，
，
,
又 ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：由（1）可知四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）如图所示，将 的 边延长至点 ，使 ，连
接 ， 是 边的中点，连接 ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用平行四边形的性质得出 ， ，进而利用已知得出 ， ，
进而得出答案；
（2）首先过点 作 于点 ，再利用平行四边形的性质结合勾股定理得出 的长，进而得出答
案．【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
， 是 边的中点，
， ，
四边形 是平行四边形
（2）解：过点 作 于点 ，
由（1）得：四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形， ，
， ， ，
，
，
在 中， ，
，
又 是 边的中点，
，
，
在 中， ，
．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理等、直角三角形的性质，熟练应用平行四边
形的判定方法是解题关键．
类型七、利用平行四边形的判定和性质证明
例题：（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知：如图，四边形 为平行四边形，点E，A，C，F
在同一直线上， ．(1)求证： ；
(2)连接 、 ，求证：四边形 为平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据四边形 为平行四边形，得到 ，继而得到 ，结合
得到 ，证明 即可．
（2）根据 ，得到 ，继而得到 即可证明四边形 为平
行四边形．本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】（1）∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形．
．
【变式训练】
1．（2024·广东江门·一模）如图， ，E、F分别是边 上一点，且 ，直线 分别
交 延长线、 延长线于O、H、G．(1)求证： ．
(2)分别连接 ，试判断 与 的关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ， ，理由见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，三角形全等的判定与性质．
（1）根据平行四边形的性质得到 ，利用 即可证明；
（2）由（1）知 ，得到 ，根据 ，即可得到四边形 是平行四边形，
即可得出结论．
【详解】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
，
；
（2）证明：如图，连接 ，
，
，，
四边形 是平行四边形，
， ．
2．（2024·贵州·一模）如图， 中， ，点 是 边上一点，且 ，点 是
延长线上一点，且 ，点 在 上，且 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ，求四边形 的周长；
(3)过点 作 交 于点 ，判断 和 的大小关系并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 的周长为
(3) ，理由见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌
握平行四边形的判定与性质．
（1）根据平行四边形的对角线互相平分即可求解；
（2）根据平行四边形的对边分别相等，结合 ， ，即可求解；
（3）根据直角三角形的两个锐角互余和等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明： ， ，
四边形 是平行四边形；
（2） 四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
，
平行四边形 的周长为： ；
（3） ，
，
即 ，
中， ，
，
，，
．
压轴能力测评（18题）
一、单选题
1．（23-24八年级下·四川泸州·期中）在平行四边形 中，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得
到 ，即可求解．
【详解】解：如图，
∵四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
．
故选：B．
2.（2023·四川达州·模拟预测）如图， 是 的边 延长线上一点，连接 ， ， ， 交
于点 ．添加以下条件，不能判定四边形 为平行四边形的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质；添加条
件 后可证明 ，得到 ，进而可得结论，A不符合题意；添加条件
，可证明 ，进而得到 ，从而证明结论，B不符合题意；添加
条件 ，可证 ，进而证明结论，C不符合题意；添加条件 ，无法得
到四边形 为平行四边形，D符合题意．
【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为平行四边形，不符合题意；
D、添加条件 ，无法证明四边形 为平行四边形，符合题意；
故选：D．
3．（24-25八年级上·江西赣州·阶段练习）如图，在 中， 的平分线DE交BC于点E，若
，则 的周长为（ ）A．46 B．48 C．50 D．52
【答案】D
【知识点】根据等角对等边求边长、两直线平行内错角相等、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行
四边形的性质得到 ， ，利用平行线的性质和角平分线推出 ，从而得
到 ，求出 ，即可得到周长．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
，
平分 ，
，
，
，
，
，
平行四边形 的周长 ，
故选：D．
4．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形 中， ，若 ， ，则
的长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】B
【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得 ， ，
再由勾股定理求出 的长即可得解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）如图，点 是线段 的中点，分别以 为边作等腰 和
等腰 ， ，连接 ，且 相交于点 ， 交 于点 ，则
下列说法中，不正确的是（ ）
A． 是 的中线 B．四边形 是平行四边形
C． D． 平分
【答案】D
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据三线合一证明、证明四边形是平行四边形
【分析】此题主要考查平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握，即可解
题，根据平行四边形、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形三线合一的性质，逐一判定即可．
【详解】解：∵点 是线段 的中点，
∴
∵等腰 和等腰 ， ，
∴
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形，故B选项正确；
在 和 中，
∴
∴ ，故C选项正确；
∴
∴
∵∴
∴ 是 的中线，故A选项正确；
∵ ，
∴ ，
∴ 不可能平分 ，故D选项错误；
故选：D．
二、填空题
6．（24-25八年级上·浙江湖州·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点O．已知两
条对角线长的和为 ，CD长为 ．则 的周长为 ．
【答案】 /15厘米
【知识点】利用平行四边形的性质求解
【分析】此题考查了平行四边形的性质，注意平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形的性质求解
即可．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
的周长为 ，
故答案为∶ ．
7．（2023·四川眉山·模拟预测）如图，在平行四边形 中， ， 的平分线与 的延长线
交于点E，与 交于点F，且点F为边 的中点， ，垂足为G，若 ，则 的边长为
．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形的性质和判定
【分析】由“ ”可证 ，可得 ，由平行线的性质和角平分线的性质可得
，由等腰三角形的性质和勾股定理可求 ，即可求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点F为边 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理
等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
8．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在 中，点 分别在 的延长线上，且满足
．若 ，则 的长为 ．
【答案】6【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定．
根据平行四边形的性质得出 ，通过证明出四边形 是平行四边形，以及
，即可得出结论．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
9．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图， 的对角线 交于点 平分 交
于点E， ， ，连结 ．下列结论正确的是 ．
① ；② 平分 ；③ ；④ ．
【答案】①③④
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、根据三角形中线求面积、利用平行四边形的性质求解、
等边三角形的判定和性质
【分析】先求出 是等边三角形，可以判断③；结合 ，可以判断②，利用等边对等角与三
角形内角和定理可以判断①，利用中线平分三角形面积可以判断④．
【详解】解：∵ 中对边平行，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵DE平分 交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，∵平行四边形中，
，
∴ ，故③正确；
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
由AD与 平行可知 ，
∴ ，故②错误；
∵ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
∵AB与 平行，
∴ ，故①正确；
∵ ，
∴ ，故④正确．
故答案为： ①③④．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、中线平分三角形面积、角平分线的定
义、三角形的内角和等知识，解题关键是牢记相关概念，并能灵活运用边角之间的关系进行转化．
10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，平行四边形 中， ，点P在
边上以每秒 的速度从点A向点D运动，点Q在 边上，以每秒 的速度从点C出发，在 间往
返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当
时，四边形 为平行四边形．
【答案】 或 或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平行四边形的性质求解
【分析】根据平行四边形的判定可得当 时，以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形，然后分
情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．【详解】解：设经过 秒，以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形，
以点 、 、 、 为顶点组成平行四边形，
，
分为以下情况：
①点 的运动路线是 ，方程为 ，
此时方程 ，此时不符合题意；
②点 的运动路线是 ，方程为 ，
解得： ；
③点 的运动路线是 ，方程为 ，
解得： ；
④点 的运动路线是 ，方程为 ，
解得： ；
综上所述， 或 或 时，以 、 、 、 四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为： 或 或
三、解答题
11．（2025·湖南·模拟预测）如图，在平行四边形 中，E，F分别是 边上的点，且
．
(1)求证： ；
(2)连接 ，若 平分 ， ，求平行四边形 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)26
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质求解、等腰三角形
的性质和判定
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相
关知识点，证明三角形全等是解题的关键：
（1）根据平行四边形的性质，结合 ，证明 即可；
（2）全等的性质得到 ，角平分线结合平行线的性质，推出 ，进而求出 的长，再根据
平行四边形的对边相等，求出周长即可．
【详解】（1）∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ （ ）（2）∵ ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 的周长 ．
12．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，
．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 平分 ， ，求 的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) ．
【知识点】根据等角对等边求边长、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】本题考查了角平分线的定义，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
（ ）由平行四边形的性质和中点的性质可得 ，即可得结论；
（ ）由角平分线的定义和平行线的性质可证 ，即可求解；
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
13．（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图1，在 中，E是边 上一点，在边 上画点F，使 ；
(2)如图2，在 中，E是边 上一点，且 ，画 的平分线 ；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】无刻度直尺作图、根据等边对等角证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、
利用平行四边形的性质证明
【分析】此题考查了作图 复杂作图，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，等边对等角，解题
的关键是掌握以上知识点．
（1）连接 ， 交于点O，连接 并延长交 于点F即为所求；
（2）连接 ， 交于点O，连接 并延长交 于点F，连接 即为所求．
【详解】（1）解：如图1中，线段 即为所求作．
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
又∵
∴
∴ ；
（2）解：如图2中，线段 即为所求作．∵四边形 是平行四边形
∴ ，
由（1）得，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴ 平分 ．
14．（24-25八年级上·山东泰安·阶段练习）如图，在四边形 中，连接 ，BD交于点O，
，且 ，E为线段 上一点，连接DE并延长交 于点 ．
(1)求证：四边形 为平行四边形；
(2)若 ， ， ， ，求平行四边形 面积．
【答案】(1)见解析；
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、证明四边形是
平行四边形
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定．
（1）依据 ，即可得出 ，再根据 ，即可得到 ，进而
判定四边形 是平行四边形；
（2）依据 是等腰直角三角形，即可得到AD的长，再根据 的面积 ，即可得出
的面积，进而由平行四边形 面积 得出结果．
【详解】（1）证明：∵ ，BD交于点O，∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ 的面积= ，
平行四边形 面积 ．
15．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平行四边形 中，BD 是它的一条对角线，过 ，
两点作 ， ，垂足分别为 ， ，延长 ，CF 分别交 CD，AB 于点 ， ．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性
质和判定证明
【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质和判定是解题的关键；
（1）只要证明 ， 即可．（2）先证明 得 ，再在 中，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）四边形 是平行四边形，
，
， ，
，
， ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）∵四边形 是平行四边形，
，
四边形 是平行四边形，
， ，
， ，
， ，
∴ ，
在 和 中，
，
，
在 中，
， ， ，
，
．
16．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知：如图，平行四边形 中， 平分 交
AD于E，CF平分 交AD于F，
(1)求证： ；
(2)已知 ， ，求 的长；(3) 、CF交于点O， 在满足（2）的条件下，已知 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】用勾股定理解三角形、角平分线的有关计算、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边证
明边相等
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到 ，然后根据平行线的性质和角平分线的定
义得到 ，即可得到 ，同理可得 ，即可得到 ，进而得到结论；
（2）根据（1）中结论，利用线段的和差解题即可；
（3）先根据角平分线的定义得到 ，然后利用勾股定理解题即可．
【详解】（1）证明：∵ 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，即 ；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）由（1）可得： ， ，
∵ 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，勾股定理，等角对等边，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
17．（23-24八年级下·贵州毕节·期末）在四边形 中，对角线 交于点O．
(1)如图1，若 ，求证：四边形 是平行四边形；
(2)在（1）的条件下，将对角线 绕点O顺时针旋转一个角度 ，分别交 于点
（如图2），求证：四边形 是平行四边形；
(3)如图3，若 ，求 的最小值．
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
(3) 的最小值是13
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、证明四边形是平行
四边形、利用平行四边形性质和判定证明
【分析】（1）利用内错角相等证得 ，即可根据一组对边平行且相等得到结论；
（2）证明 ，推出 ，由此证得结论；
（3）过点D作 ，连接 得到四边形 是平行四边形，由此得到
，利用勾股定理求出 ，即可得到 ．
【详解】（1）证明∶ ，
．
又 ，
四边形 是平行四边形．
（2）证明：由（1）可得四边形 是平行四边形，
，
．
又 ，
，
四边形 是平行四边形．
（3）解∶如图，过点D作 ，连接四边形 是平行四边形，
．
又 ，
，
，
．
，
的最小值是13．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各定理并
应用解决问题是解题的关键．
18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图
(1)如图1，在 中， 平分 交 边于点E，已知 ， ，则 等于
_______ ．
(2)如图2，在 中，若 分别是 的平分线，点E在 边上，且 ，则
的周长为__________．
(3)如图3，已知四边形 是平行四边形， ，若 分别是 的平分线．求证：
(4)在（3）的条件下，如果 ，则 的长为_______．
【答案】(1)2
(2)12
(3)见解析
(4)1
【知识点】三角形角平分线的定义、利用平行四边形的性质求解、根据等角对等边求边长
【分析】（1）根据平行四边形的性质求出 长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出
，则可求出 长，即可解答；
（2）由（1）得出 ，然后根据平行四边形的性质求出 长，根据线段间的和差关系求出 和 的长度之和，从而求出 的周长；
（3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出 ，则可求出 结合
，则可得出 ；
（4）由（3）求出 和 的长，结合 ，利用线段间的和差关系即可解答．
本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 交 边于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：2．
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 交 边于点E，
∴ ，
∴
同理 ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
故答案为：12．
（3）证明：∵在 中， ，
．
又∵ 是 的平分线
∴ ，
同理可得
∵
；
（4）解：由（3）可得， ．
∵故答案为1．
