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专题07 相似三角形中的基本模型之十字架模型
几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几
何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学
生更好地理解和掌握。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒
置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样
才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法
的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中
提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，
因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在
几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解
每一个题型，做到活学活用！
....................................................................................................................................................2
模型1.矩形中的十字架模型（相似模型）...................................................................................................2
模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）.......................................................................................5
模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型）...........................................................................................7
..................................................................................................................................................10模型1.矩形中的十字架模型（相似模型）
矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩
形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。
条件：如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，结论： .
证明： 四边形 为矩形， ， ；
DE⊥AC， ， ， ， ， .
条件：如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，结论： .
证明：如图，过点F作 于点G，则 ；
四边形 为矩形， ， 四边形 为矩形， ；
； EF⊥AC， ， ；， ， ，易证：DC=AB，FG=BC， .
条件：如图3，矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，结论：
.
证明：如图：过点N、F作 、 垂直 ， ；
四边形 为矩形， ， 四边形 为矩形， ；
∵EF⊥MN， ，∴ ；
又∵ （对顶角相等），∴ ；
∴ ， ，易证：NH=AB，FG=BC， .
例1．（2024·山西·三模）如图，在矩形 中，E、F分别是边 的中点， 与 相交于点O，
过点O作 交AD于点M，若 ，则 的长为 ．
例2．（23·24下·河北·九年级期中）如图，在矩形 中， 、 、 、 分别为 、 、 、
边上的点，当 时，证明： ．例3．（23-24江苏学年九年级月考）【探究证明】（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的
线段与矩形两邻边的数量关系进行探究，提出下列问题，请你给出证明：如图①，在矩形 中，
， 分别交 于点E、F， 分别交 于点G、H，求证： ；【结论
应用】（2）如图②，将矩形 沿 折叠，使得点B和点D重合，若 ，求折痕 的
长；【拓展运用】（3）如图③，将矩形 沿 折叠．使得点D落在 边上的点G处，点C落在点
P处，得到四边形 ，若 ，求 的长．
例4．（23·24下·江苏·九年级期中）某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他
们解决：（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求 的值．（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将矩形对折，使得
B、D重叠，折痕为EF，求EF的长．（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝
CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求 的值．
模型2.等边三角形中的斜十字模型（相似模型）
条件：如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），
结论：①AD=BE，②AD和BE夹角为60°，③ 。
证明：如图，在等边 中， ， ，
在 与 中， ， ，∴AD=BE， ；
，∴AD和BE夹角为60°；
， ， ，同理：，
例1．（2024·江西上饶·一模）课本再现：（1）如图1， 分别是等边三角形的两边 上的点，且
．求证： ．下面是小涵同学的证明过程：
证明： 是等边三角形， ． ， ，
．
小涵同学认为此题还可以得到另一个结论： 的度数是______；
迁移应用：（2）如图2，将图1中的 延长至点 ，使 ，连接 ．利用（1）中的结论完
成下面的问题．①求证： ；②若 ，试探究 与 之间的数量关系．
例2．（23·24下·无锡·阶段练习）如图，在边长为6的等边 中， 、 分别为边 、 上的点，
与 相交于点 ，若 ，则 ＝ °；则 的周长为 ．
例3．（23·24上·衢州·期末）如图，在等边 ABC的AC，BC边上各取一点E，D，使AE＝CD，AD，BE
相交于点O．（1）求证：AD＝BE；（2）若BO＝6OE ，求CD的长．
（3）在（2）的条件下，动点P在CE上从点C向终点E匀速运动，点Q在BC上，连结OP，PQ，满足
∠OPQ＝60°，记PC为x，DQ的长为y，求y关于x的函数表达式．模型3.直角三角形中的十字模型（相似模型）
该模型主要分等腰直角三角形和普通直角三角形两类情况讨论。
1）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）：
条件：如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，结论：①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。
如图1，过点C作BC的垂线交BF于点H，过点A作AG垂直于CH，∴∠BCH=90°，
∴∠CBH+∠CHB=90°
∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠BCH=∠ABC=90°，∵BF⊥AD，∴∠CBH+∠ADB=90°，
∴∠CHB=∠ADB，
∵AB=BC，∴ ，∴BD=CH，∵D为BC中点，∴BD=DC=CH，∴AB=2CH，
易证：四边形ABCG为正方形，即AB//CG，∴ ，∴AF：CF=BA：HC=2：1
∵AB=BC，AB⊥BC，∴∠BCA=45°，∵∠BCH=90°，∴∠BCA=∠GCA=45°，
∵DC=CH，CF=CF，∴ ，∴∠CHF=∠CDF，∠CFH=∠CFD，
∴∠BDA=∠CDF，∵∠CFH=∠AFB，∴∠AFB=∠CFD，
如图2，过点C作CQ垂直于BF，∴∠BQC=90°，
∵AB⊥BC，∴∠ABD=∠BQC=90°，∴∠ABE+∠QBC=90°，∵AB=BC，∴ ，
∴CQ=BE，AE=BQ，∵BF⊥AD，CQ⊥BF，易证： ，∴EA：QC=AF：CF=2：1。
∴AE=BQ=BE+EQ=CQ+EQ，∴CQ=EQ，∴ QEC为等腰直角三角形，∴∠QEC=45°，
∴∠AEC=135°， 。
2）直角三角形中的十字模型：
如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，
④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦ ，以上七个结论中，可“知二得五”。
（全等+相似）证明：不妨把①②作为条件，来证明③--⑦的五个结论。
由于该模型证明主要结合了前面矩形中的十字架模型和等腰直角三角形中的十字架模型，故此不再详细证
明，有兴趣的同学可以自行证明即可。
例1．（23·24下·重庆·九年级期中）如图，在 中， ， ，点 为 边上的中
点，连接 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，求 的值．
例2．（23-24九年级下·湖北襄阳·阶段练习）如图，在Rt ABC中，∠ABC=90°．AB=BC．点D是线段
AB上的一点，连结CD．过点B作BG⊥CD，分别交CD、△CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线
相交于点G，连结DF，给出以下四个结论：① ；②若点D是AB的中点，则AF＝ AB；③
当B、C、F、D四点在同一个圆上时，DF=DB；④若 ，则S ＝9S ，其中正确的结论序号是
ABC BDF
△ △
．例3．（23·24下·三明·期末）如图①，在 中， ， ，点D在边 上，过点C作
，垂足为M，交 于点E．
(1)小亮通过探究发现 ，请你帮他说明理由；(2)如图②， 平分 交 于点N，小
明通过度量猜想有 ，他的猜想正确吗？请你帮他说明理由；(3)如图③，连接 ，若D是 的
中点，小刚通过探究得到结论 ，请你帮他说明理由．
例4．（23-24辽宁九年级期末）（1）如图1，四边形ABCD为正方形，BF⊥AE，那么BF与AE相等吗？
为什么？
（2）如图2，在Rt ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F，
求AF：FC的值；（△3）如图3，Rt ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于
F，若AB＝3，BC＝4，求CF． △1．（23-24江苏扬州市九年级期末）如图，在 中， ， ， ，垂足
为D，E为BC的中点，AE与CD交于点F，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·广东广州·二模）如图，在正方形 中， 为 上一点，连接 与 交于点 ，点
在 上，点 在 上，连接 交 于点 ，且 ，垂足为 ，若 为 的中点，则下列
结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的个数有
（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．①②
3．（2024·黑龙江·模拟预测）如图，E是矩形 的边 的中点， 于点F， 的延长线交于点G，连接 ，则下列结论：① ；② ；③若 ，
，则 ；④ ；⑤图中相似三角形只有6对．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①②③④⑤
4．（23·24下·山西·模拟预测）如图，在 中， ， ，D为BC上一点且
，连接AD，过点B作 ，垂足为E，BE的延长线与AC交于点F，则EF的长为 ．
5．（23·24上·临沂·期末）如图，在Rt ABC中，∠ACB=90°，AC=BC．点D是线段BC上的一点，连接
AD，过点C作CG⊥AD，分别交AD、△AB于点G、E，与过点B且垂直于BC的直线相交于点F，连接
DE．给出以下四个结论：① ；②若 平分 ，则 ；③若点D是BC的中点，则
；④若 ，则 ．其中正确的结论序号是 ．
6．（2024·山西晋中·三模）如图，在矩形 中， ， ，点H在 上，且 ，连接
，过点C作 于点F，交 于点E，则 的长为 ．7．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）如图，在 中， ， ，点D为
边上一动点（不与点B、C重合）， 垂直 交 于点E，垂足为点H，连接 并延长交 于点
F，下面结论：①若 是 边上的中线，则 ；②若 平分 ，则 ；③若
，则 ；④ 的最小值为 . 正确的是 .
8．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，在 中， ， ．点 是 的中
点，连接 ，过点 作 ，分别交 ， 于点 ， ，与过点A且垂直于 的直线相交于点
，连接 ．求：(1) 的长；(2) 的值．
9．（23-24九年级下·吉林长春·自主招生）如图， 中， ， ， ，点D
在边 上运动，连结 ．点D不与A、B重合时，过点A作 ，交 于点E，交 于点F．设
的长为x．(1)边 的长为______．(2)当 是以 为腰的等腰三角形时，求x的值．(3)运动过程中，当点B、F的距离最小时，直接写出这个最小值及此时 的面积．
(4)运动过程中，当 所在直线将 的面积分为 两部分时，直接写出 的长．
10．（23·24下·武汉·阶段练习）如图1，在 中， ， 为边 上一点， ．
(1)求证： ；(2)如图2，过点 作 于 ，交 于点 ，若 ，求 的
值；
(3)如图， 为 延长线上一点，连接 ，且 ，若 直接写出 的
值（用含 的代数式表示）．
11．（23·24下·武汉·模拟预测）探索发现：如图1，等边 中， 为 中点， 、 分别是 、
上的两点， ．(1)求证： ；(2) 为 上一点，若 ，求
的值；迁移拓展：(3)如图2，等腰 中， 为斜边 的中点， 为 中点， ． 是
上的点， ， 为 上一点，若 ，直接写出 的长．12．（2024·河南周口·二模）如图，正方形 中， ，对角线 与 交于点O，点P为对
角线 上一个动点，作射线 交正方形的边于点F，过点D作 垂足为点Q，交直线 于点
M，交正方形的一边于点E．
(1)如图1，当点P在线段 上时，线段 与线段 的数量关系为 ．
(2)如图2，当点P在线段 上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)当四边形 的面积与 的面积比为 时，直接写出线段 的长．
13．（23·24下·滁州·二模）如图1，在等边 中，D，E分别是边 上点，且 ， 与相交于点P，连接 ．(1)求证： ；(2)若 ，求证： ；(3)如图2，连接 ，
若 ，求 的值．
14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图1， 中，点E、F分别在边 上，连接 交于
点G， ．问题探究（1）先将问题特殊化，如图2，当 时，求证： ；
（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中结论仍然成立；问题拓展（3）如图3，当 时，
，F为 中点，直接写出 的值（用含n的式子表示）．15．（2023·江苏苏州·三模）如图1，在矩形 中，点E，F分别是边 上的点，连接 ，
且 于点G，若 ，求 的值．(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．
(2)如图2，在 中， ，点D为 的中点，连接 ，过点A作 于点
E，交 于点F，求 的值．
(3)如图3，在四边形 中， ， ， ，点E，F分别在边
上，且 ，垂足为G，则 ______．
16．（2024九年级下·江苏徐州·学业考试）【问题情境】如图1， 垂足为点B， 垂足为
点C， ，且点B、D、C在同一条直线上，可得 ，则
【探究思考】如图2，在矩形 中，点E在边 上，作 交 于点F， ，若 ，
，求 的值．
【拓展提高】如图3，菱形 的边长为10， ，点E在边 上，作 交 于点
F，交 于点G，且 ，求 的长．17．（2024·广东深圳·中考真题）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相
邻的两个顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中
平行四边形”．(1)如图1所示，四边形 为“垂中平行四边形”， ， ，则 ____；
____；
(2)如图2，若四边形 为“垂中平行四边形”，且 ，猜想 与 的关系，并说明理由；
(3)①如图3所示，在 中， ， ， 交 于点 ，请画出以 为边的垂
中平行四边形，要求：点 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工具）；
②若 关于直线 对称得到 ，连接 ，作射线 交①中所画平行四边形的边于点 ，连接
，请直接写出 的值．
18．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）【数学模型】（1）如图1，在矩形 中， ， ，
点 、 分别在边 、 上， ，垂足为点 ，则 ．
【模型探究】（2）如图2，在平行四边形 中，点 、 分别在边 、 上， 与 交于点 ，
且 ，请证明： ；
【拓展应用】（3）如图3，白云小区有一块四边形绿地 ，为了居民出行方便计划在四边形 中
修两条小路，在边 上取一点 ，连接 与 交于点 ， 、 即为规划的两条小路，其中， ， ，且 ，求两条小路长度的比，即求 的值．
