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专题 08 一元一次方程应用的五种考法全梳理
目录
【考法一、行程问题】...................................................................................................................1
【考法二、配套问题】...................................................................................................................2
【考法三、工程问题】...................................................................................................................4
【考法四、销售盈亏问题】...........................................................................................................5
【考法五、方案选择问题】...........................................................................................................6
【课后练习】..................................................................................................................................7
【考法一、行程问题】
例．综合与实践：如图，这是我市某校校园内的环形跑道，跑道是由线段 ， 及半圆
， 组成的，已知跑道的周长为400米，半圆 ， 的长都为88米， ， 和
分别是线段 和 的中点．（请用方程的相关知识解决下列问题）．
(1)求线段 的长；
(2)小明和小英在如图所示的环形跑道上练习跑步，已知小明、小英两人分别从点 ， 两
处同时沿着箭头方向出发，小明的速度是6米 秒，小英的速度是4米 秒．
①多长时间后，两人首次相遇？
②在第二次相遇前，经过多长时间两人在跑道上相距100米？
变式1．汽车拉力赛有两个距离相等的赛程第一赛程由平路出发，离中点26千米处开始上
坡，通过中点继续行驶4千米后，全是下坡路：第二赛程也是由平路出发，离中点4千米
处开始下坡，通过中点继续行驶26千米后，全是上坡路．已知某赛车在这两个赛程中所用
时间相同，第二赛程出发时的速度是第一赛程出发时速度的 ，而遇到上坡时速度就要减
少 ，遇到下坡时速度就要增加 ，那么，每个赛程的距离是多少千米？
变式2．（培优）某条城际铁路线共有A，B，C三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中D1001次列车从A站始发，经停B站后到达C站，G1002次列车从A站
始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习
小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示．
列车运行时刻表
A站 B站 C站
车次
发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻
D1001 8：00 9：30 9：50 10：50
G1002 8：25 途经B站，不停车 10：30
请根据表格中的信息，解答下列问题：
(1)D1001次列车从A站到B站行驶了______分钟，从B站到C站行驶了______分钟；
(2)记D1001次列车的行驶速度为 ，离A站的路程为 ；G1002次列车的行驶速度为 ，
离A站的路程为 ．
① ______；
②从上午8：00开始计时，时长记为t分钟（如：上午9：15，则 ），已知 千
米/小时（可换算为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中 ，若
，求t的值．
【考法二、配套问题】
例．在社会与实践的课堂上，刘老师组织七（1）班的全体学生用硬纸板制作圆柱体（图
1）.七（1）班共有学生50人，其中男生人数比女生人数少2人，并且每名学生每小时剪
20个圆柱侧面（图2）或剪10个圆柱底面（图3）.
（1）七（1）班有男生、女生各多少人？
（2）原计划男生负责剪圆柱侧面，女生负责剪圆柱底面，要求一个圆柱侧面配两个圆柱底
面，那么每小时剪出的筒身与筒底能配套吗？如果不配套，那么男生应向女生支援多少人
时，才能使每小时内剪出的侧面与底面配套.
变式1．某工厂接受了 20 天内生产1200 台GH 型电子产品的总任务。已知每台GH 型
产品由 4 个G 型装 置和3 个 H 型装置配套组成。工厂现有80 名工人，每个工人每天能加工6 个G 型装置或3 个 H 型装置。工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分
别加工一种装置，并要求每天加工的G 、H 型装置数量正好组成GH 型产品.
（1）按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH 型电子产品？
（2）工厂补充 40名新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只
能加工 4个G型装置，则补充新工人后每天能配套生产多少产品？补充新工人后20天内
能完成总任务吗？
变式2．列方程解应用题
劳动课上王老师带领七（1）班45名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生人数少7
人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面．
(1)男生有______人，女生有______人．
(2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身
与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？
②若想每小时制作78个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？
请你思考此问题，直接写出结果和新加入人员具体的分配方案．
变式3．劳动课上杨老师带领七（1）班50名学生制作圆柱形小鼓，其中男生人数比女生
人数少6人，并且每名学生每小时可制作2个鼓身或剪6个鼓面．
(1)男生有______人，女生有______人．
(2)①老师组织全班学生制作小鼓，要求一个鼓身配两个鼓面，为了使每小时制作的鼓身
与剪出的鼓面刚好配套，应该分配多少名学生制作鼓身？多少名学生剪鼓面？
②若想每小时制作90个小鼓，且制作的鼓身与剪出的鼓面刚好配套，应再加入多少名学生？
请你思考此问题，并直接写出结果．
【考法三、工程问题】
例．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知甲工程队每天的挖掘长度是乙工程队每
天挖掘长度的1.5倍，若甲、乙两工程队一起挖掘200米长度的隧道时，共用时间4天．(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米？
(2)已知该段隧道挖掘工程为600米，甲工程队每天的挖掘费用为6万元，乙工程队每天的
挖掘费用为3万元．若安排甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独
完成，总费用刚好102万元，求甲工程队应先单独挖掘多少天？
变式1．某学校举行物理知识竞赛，学校打印室有A、B两台一体机可以印刷试卷．如果单
独用A机器需要45分钟印刷完，如果单独用B机器需要30分钟印刷完，为了保密起见不
能过早印刷试卷，为保障学生按时开始竞赛，学校决定在考试前用两台机器同时印刷．
(1)两台机器同时印刷，共需多少分钟才能印完？
(2)若两台机器同时印刷，10分钟后，B机器出了故障，暂时不能印刷，此时离发卷还有13
分钟（老师领试卷的时间忽略不计）．如果由A机器单独完成剩下的印刷任务，会不会影
响按时发卷考试？
(3)在（2）的问题中，B机器经过紧急抢修，2分钟后修好恢复正常使用，则学校能否按时
发卷考试？
变式2．风华中学利用暑假期间对教室内墙粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工
程，已知甲工程队每天能粉刷2个教室，乙工程队每天能粉刷3个教室，若单独粉刷所有
教室，甲工程队比乙工程队要多用20天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用
1600元，付乙工程队每天费用2600元．
(1)求风华中学一共有多少个教室？
(2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，甲工程队停工了，乙工程队单独完成剩余部
分．且乙工程队的全部工作时间是甲工程队的工作时间的2倍还多16天，求乙工程队共粉
刷多少天？
【考法四、销售盈亏问题】
例．炎炎夏日，吃上一块甘甜多汁的西瓜绝对是一种享受、某水果店出售特小凤西瓜和彩
虹西瓜两个品种，其中彩虹西瓜售价比特小凤西瓜每斤高出6元．
(1)该水果店第一周卖出特小凤西瓜300斤，彩虹西瓜600斤．这两种西瓜的销售总额为
11700元．请问特小凤西瓜和彩虹西瓜每斤售价分别为多少元；(2)根据第一周的销售情况，该水果店对特小凤西瓜的售价进行了调整，第二周与第一周相
比，该水果店的特小凤西瓜每斤售价降低 ，销量增加 斤；彩虹西瓜售价不变，销
量增加 ．于是这两种西瓜的第二周销售总额比第一周的销售总额多 ．求a的值．
变式1．某商店用70000元的资金购进A，B两种商品共600件．
类型 进价（元/件） 标价（元/件）
A 150 220
B 100 150
(1)求A，B商品购进的数量
(2)商店为了促销，决定推出优惠活动，A商品在标价的基础上打8折，B商品在标价的基
础上也打折．当600件商品销售完时，商店获得的利润为19200元，求B商品在标价的基
础上打了几折？
变式2．网购已经成为每个家庭经常使用的购物方式之一了，某直播间购进甲、乙两种商
品，其中乙商品的件数比甲商品件数的 少100件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 25 40
(1)该直播间将购进的甲、乙两种商品全部卖完，交易额为19000元，则该直播间本次获利
多少元？（注：每件商品获利=售价－进价）
(2)经过一段时间后发现乙商品销量很好，现直播间将乙商品加价10元后再打九折售卖，若
要获得9000元的利润，需购进乙商品多少件？
【考法五、方案选择问题】
例．元旦节期间，长沙市各大商场纷纷推出优惠政策吸引顾客，下面是德思勤和奥特莱斯
各自推出的优惠办法：
德思勤：1．若一次购物不超过500元（不含500），不予优惠．2．若一次购物满500元
（含500），但不超过1000元（不含1000），所有商品享受9折优惠．3．若一次购物超
过1000元（含1000），超过部分享受6折，其余的一律9折；奥特莱斯：1、若一次购物不超过500元，不予优惠．2、若一次购物满500元，则所有商
品享受8折．问：
（1）小雄哥想到德思勤买件标价为1800元的衣服，他应该付多少钱？
（2）请问当我们购买多少钱的商品时，在两个商场可以享受相同的优惠？
（3）小雄哥元旦节打算消费3000元购买自己想要的商品，已知这些商品德思勤和奥特莱
斯都有，没有说一定去哪个商场，只是倘若去两个商场各买一部分的话，去德思勤购买商
品的原价是奥特菜斯购买商品原价的2倍．请帮小雄哥预算一下，他能买到原价为多少的
商品，并指出哪种方案最香．
变式1．根据以下素材，探索完成任务．
素材1：
某家具厂生产一种课桌和椅子，课桌每张定价200元，椅子
素材2：
每把定价80元，厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种
学校计划添置 100张课桌
优惠方案：
和x把椅子 ．
方案一：每买一张课桌就赠送一把椅子；
方案二：课桌和椅子都按定价的 付款．
问题解决
【任务1】(1)请用含x的代数式分别表示出两种方案的费用．
【任务2】(2)若 ，分别计算两种方案的费用．
【任务3】在(2)的条件下，如果两种方案可以同时使用，请帮助学校设计一种最省钱的方
案．
变式2．（培优）曙光双语学校 月 日举办体育文化艺术节活动，准备单色圆珠笔，双
色圆珠笔、三色圆珠笔三种圆珠笔共 支作奖励（每种圆珠笔都要有），其中双色圆珠
笔的单价比单色圆珠笔的单价贵 元，买 支双色圆珠笔和 支单色圆珠笔共需要 元．
(1)问双色圆珠笔和单色圆珠笔的单价分别是多少元？
(2)若三色圆珠笔市场上根据球珠直径有三个级别，学校只能从中选择一个级别．价格如下
表：三色圆珠笔级
球珠直径 球珠直径 球珠直径
别
单价 元 元 元
现在学校用 元去购买这三种圆珠笔，且单色圆珠笔和三色圆珠笔的数量是相同的，应
该选择哪种级别的三色圆珠笔比较合适？购买方案是什么？请说明理由．
(3)若要求购买三色圆珠笔的数量是单色圆珠笔的一半，单色圆珠笔和双色圆珠笔单价不变，
其中三色圆珠笔单价为 元，在总数量不变的前提之下，无论这三种圆珠笔的数量如何分
配，总费用始终不变．求此时 的值和总费用．
【课后练习】
1．希希从甲地出发前往乙地，望望从乙地出发前往甲地，他们沿同一条线路相向而行，希
希骑自行车，望望步行．两人距离甲地 米处第一次相遇，希希继续骑车到丙地后发现
忘带了东西，于是以原速的 倍返回甲地，在距离甲地 米处追上望望（第二次相遇，
追及相遇）．希希到达甲地拿到东西后，仍然以提速后的速度立即沿原线路前往乙地（在
甲地拿东西所耗时间忽略不计），在距离甲地 米处第三次与望望相遇，最后两人同时
到达目的地．求乙、丙两地之间的距离．
2．县民族中学有A，B两台复印机，用于印刷学习资料和考试试卷。学校举行入学考试，
数学试卷如果用复印机A、B单独复印，分别需要90分钟和60分钟．在考试时为了保密需
要，不能过早提前印刷试卷，学校决定在考试前由两台复印机同时复印．
(1)两台复印机同时复印，共需多少分钟才能印完？
(2)在复印30分钟后B机出了故障，暂时不能复印，此时离发卷还有13分钟．请你算一下，
如果由A机单独完成剩下的复印任务，会不会影响按时发卷考试？
(3)B机经过紧急抢修，9分钟后修好恢复使用，请你再算算，学校能否按时发卷考试？
3．平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为 ；乙种商品
每件进价80元，售价128元．
(1)甲种商品每件进价为 元．
(2)若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进乙种商品多
少件？
(3)在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如下的优惠促销活动：按下表优惠条件，
打折前一次性购物总金额 优惠措施少于等于480元 不优惠
超过480元，但不超过680元 其中480元不打折，超过480元的部分给予6折优惠
超过680元 按购物总额给予 折优惠
若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？
4．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是 的原材料板材进行裁剪得到A型
长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张
的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方
形纸板，如图1所示．（单位： ）
(1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张；
(2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板
当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2
个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少
个纸盒？
5．我国最新的个人所得税“起征点”是 元，即月工资超过 元的部分需要缴纳税
收，具体如下表，其中应纳税所得额 月工资 专项扣除金额 依法确定的其他扣
除金额．
年个人所得税税收表（工资薪金所得适用）
级数 应纳税所得额 税率1 0至 元的部分
2 超过 元至 元的部分
3 超过 元至 元的部分
4 超过 元至 元的部分
5 超过 元至 元的部分
(1)某员工的应纳税所得额为 元，求该员工缴纳的税额是多少？
(2)我国专项扣除的常见项目及金额（每个月）如下：①每位子女教育扣除 元；②住房
贷款扣除 元；③赡养每位老人扣除 元．某公司一技术专家的月工资是 元，
他的专项扣除项目有：1位就读初中的子女，一套住房的贷款和赡养1位老人．则该技术
专家缴纳的税额是多少元？
(3)公益捐赠属于依法确定的其他扣除项目，在（2）的基础上，该技术专家在三月份参加
了公益捐赠活动后，实际收入 元，求该技术专家在三月份捐赠了多少元？
6．某中学附近的文具用品商店3月初以每支4元的价格新进了一批涂卡笔，卖出时每支以
m元为标准，超出m元的部分记为正数，不足m元的部分记为负数；每周以卖出20支为
标准，超出20支的部分记为正数，不足20支的部分记为负数．售货员记录了一个月内涂
卡笔的销售情况
第二
第一周 第三周 第四周
周
每支售价相对于标准价格（单位：元） 0
每周售出支数相对于标准支数（单位：
支）
(1)这一个月内，这种涂卡笔的每支的最高售价比最低售价多多少元？
(2)文具店第一周出售的涂卡笔比第二周出售的涂卡笔多卖58元，求m的值及这一个月共
售出了多少支涂卡笔？
(3)在（2）的条件下，若这批涂卡笔一共进了100支，文具店计划获利19.5%，那么剩余的
涂卡笔每支应卖多少元？
