文档内容
专题08 二次函数应用（六大类型）
【题型1 运动类（1）落地模型】
【题型2 运动类（2）最值模型】
【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】
【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】
【题型5 面积类】
【题型6 拱桥类】
【题型1 运动类（1）落地模型】
1.（2022秋•西岗区校级期末）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度 y
（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数 ，则
小强此次成绩为（ ）
A．8米 B．9米 C．10米 D．12米
2.（2022秋•呈贡区期末）小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所
示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为 ，其中y
是实心球飞行的高度，x是实心球飞行的水平距离，则小明此次掷球的成绩
（即OA的长度）是（ ）
A．3m B．5m C．8m D．9m3．（2023•普兰店区一模）在学校运动会上，初三（5）班的运动员掷铅球，铅
球的高y（m）与水平距离x（m）之间函数关系式为y＝﹣0.2x2+1.6x+1.8，则
此运动员的成绩是（ ）
A．10m B．4m C．5m D．9m
4．（2023•阿城区一模）一名男生推铅球，铅球行进高度 y（单位：米）关于
水平距离x（单位：米）的函数解析式是 y＝﹣ x2 x ，则该男生铅球
推出的距离是 米．
5．（2022秋•未央区期末）体育老师将小华实心球训练的录像进行分析，发现
实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+9x+10，
由此可知小华此次实心球训练的成绩为 米．
【题型2 运动类（2）最值模型】
6.（2022秋•越秀区校级期末）一种礼炮的升空高度 h（m）与飞行时间t（s）
的关系式是h＝﹣ t2+8t+2．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火
升空到引爆需要的时间为 s．
7.（2023•丽水）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为 10米/秒，经过t（秒）
时球距离地面的高度 h（米）适用公式h＝10t﹣5t2，那么球弹起后又回到地
面所花的时间t（秒）是（ ）
A．5 B．10 C．1 D．2
8．（2022秋•鄞州区期末）某型号无人机着陆后的滑行距离 y（米）与滑行时
间t（秒）的函数关系式满足y＝﹣ t2+60t，则无人机着陆后滑行的最大距离
是 米．
9．（2022秋•交口县期末）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平
地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是
抛物线是抛物线y＝﹣x2+6x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度
是 米．10．（2022秋•江门校级期末）汽车刹车后行驶的距离 s（单位：m）关于行驶
时间t（单位：s）的函数解析式是s＝30t﹣12t2，汽车刹车后到停下来所用的
时间t是（ ）
A．2.5s B．1.5s C．1.25s D．不能确定
11．（2022秋•栖霞市期末）烟花厂某种礼炮的升空高度 h（m）与飞行时间t
（s）间的关系是h＝﹣2t2+20t+1．若这种礼炮在点升空到最高处引爆，测从
点升空到引爆需要的时间为 s
12．（2022秋•黄冈期末）高速公路上行驶的汽车急刹车时的滑行距离 s（m）
与时间t（s）的函数关系式为s＝30t﹣5t2，遇到紧急情况时，司机急刹车，
则汽车最多要滑行 m，才能停下来．
【题型3 经济类-二次函数与一次函数初步综合】
13．（2023•鲁甸县二模）某商店销售卡塔尔世界杯的吉祥物，经市场调查发现：
该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x与月销售
量y的部分对应值如表：
售价x/（元/件） 30 45 50
月销售是y/件 300 150 100
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）若该商品的进价为24元，当售价是多少元时，月销售利润W（元）最
大？并求出最大利润．[注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）]14．（2023•安庆二模）“龙池香尖”是怀宁县一款中国国家地理标志产品，素
有：“扬子江心水，蒙山顶上茶”的美誉．某茶庄以600元/kg的价格收购一
批龙池香尖，为保护消费者的合法权益，物价部门规定每千克茶叶的利润不
低于0元，且不超过进价的60%，经过试销发现，日销量y（kg）与销售单
价x（元/kg）满足一次函数关系，部分数据统计如表：
x（元/kg） 700 900 …
y（kg） 90 70 …
（1）根据表格提供的数据，求出y关于x的函数关系式．
（2）在销售过程中，每日还需支付其他费用9000元，当销售单价为多少时，
该茶庄日利润最大，并求出最大利润．
15．（2023•天山区校级二模）某商场销售每件进价为 50元的一种商品，物价
部门规定每件售价不得高于80元，经市场调查，发现每月的销售量y（件）
与每件的售价x（元）满足y＝﹣2x+240．
（1）商场每月想从这种商品销售中获利2250元，该如何给这种商品定价？
（2）请问售价定为多少元时可获得月最大利润？最大利润是多少？
16.（2023•禹会区模拟）某公司经销一种商品，每千克成本为 50元．市场调查
发现，在一段时间内，销售量 y（千克）随销售价x（元/千克）的变化而变
化，具体关系式为 y＝﹣2x+240．设这种商品在这段时间内的销售利润为 w
（元），请解答下列问题：
（1）求销售利润w（元）与销售价x（元/千克）之间的关系式．
（2）如果物价部门规定这种商品的销售价不得高于90元/千克，该公司想要
在这段时间内获得2250元的销售利润，那么应将销售价定为多少？（3）当销售价x取何值时，销售利润w的值最大？最大值为多少？
17.（2022秋•莱州市期末）望谟火龙果是望谟县的特产之一，为铺开销售渠道，
当地政府引导果农进行网络销售．在试销售期间发现，该种火龙果的月销售
量y（单位：千克）与销售单价x（单位：元）成一次函数关系，函数图象如
图所示，已知该种火龙果的销售成本为5元/千克．
（1）求y关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）；
（2）求销售该种火龙果每月可获得的最大利润；
（3）在销售过程中发现，该种火龙果每千克还需要支付1元的保鲜成本，若
月销售量y与销售单价x保持（1）中的函数关系不变，当该种火龙果的月销
售利润是105000元时，在最大限度减少库存的条件下，求x的值．
18．（2023•东莞市校级一模）某厂家生产一批遮阳伞，每个遮阳伞的成本价是
20元，试销售时发现：遮阳伞每天的销售量 y（个）与销售单价x（元）之
间是一次函数关系，当销售单价为28元时，每天的销售量为260个；当销售
单价为30元时，每天的销售量为240个．
（1）求遮阳伞每天的销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）设遮阳伞每天的销售利润为w（元），当销售单价定为多少元时，才能
使每天的销售利润最大？19．（2023•青州市二模）某超市购进了一种商品，进价为每件 8元，销售过程
中发现，该商品每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在某种函数
关系（其中8≤x≤15，且x为整数），且当x＝8时，y＝110；当x＝10时，
y＝100；当x＝12时，y＝90；…，设超市销售这种消毒用品每天获利为 w
（元）．
（1）请判断y与x符合哪种函数关系，并求y与x的函数表达式；
（2）若该商店销售这种商品每天获润480元，则每件商品的售价为多少元；
（3）当每件商品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多
少元？
【题型4 经济类-二次函数中的“每每问题”】
20．（2023•黄冈二模）某商品市场销售抢手，其进价为每件 80元，售价为每
件130元，每个月可卖出 500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨 1
元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于240元）．设每件商品的售价上
涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是
多少元？
（3）每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为41800元？根据以上结论，
请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于41800元？21.（2023•坪山区一模）抖音直播购物逐渐走进了人们的生活．为提高我县特
产红富士苹果的影响力，某电商在抖音平台上对我县红富士苹果进行直播销售．
已知苹果的成本价为6元/千克，如果按10元/千克销售，每天可卖出160千克．
通过调查发现，每千克苹果售价增加1元，日销售量减少20千克．
（1）为保证每天利润为700元，商家想尽快销售完库存，每千克售价应为多
少元？
（2）售价为多少元时，每天的销售利润最大，最大是多少？
22．（2023•南海区校级模拟）因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区
的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游城市之一．深圳着名旅游
“网红打卡地”东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为5元，
根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯；
若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯．店家计划在2023年春节
期间进行降价促销活动，设每杯奶茶降价为x元时，每天可销售y杯．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为多少时，能让店家获得最大利润额？最大利润额为多少？
23.（2023•宿城区校级开学）某商场要经营一种新上市的文具，进价为 20元，
试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价
每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价 x
（元）之间的函数关系式．
（2）若商场要每天获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？
（3）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润是多
少？24．（2022•都安县校级二模）直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音
上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天
可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加
10件．
（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少
元？
（2）每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
25．（2022秋•和平区校级期末）某商家销售一种纪念品．每个纪念品进价 40
元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单
价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10
个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；
（3）将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润 w
元最大？最大利润是多少元？
26．（2023•昭阳区模拟）新华书店销售一个系列的儿童书刊，每套进价 100元，
销售定价为140元，一天可以销售20套．为了扩大销售，增加盈利，减少库
存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价 1元，平均每天可多售出 2套．
设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）若要书店每天盈利1200元，则每套书销售定价应为多少元？
（3）当每套书销售定价为多少元时，书店一天可获得最大利润？这个最大
利润为多少元？【题型5 面积类】
27．（2022秋•仙游县期末）如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的
最大可用长度为10m），设矩形花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围；
（2）当花圃的面积为54m2时，求AB的长；
（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？
28.（2023•高明区二模）如图，计划利用长为 a米的篱笆，再借助外墙围成一
个矩形栅栏．设矩形ABCD的边AB长为x米，面积为y平方米．
（1）若a＝80，墙长为50米，求出y与x之间的关系，并指出x的取值范围；
（2）在（1）的条件下，矩形ABCD的面积能达到800平方米吗？说明理由；
（3）当x与a满足什么关系时，栅栏围出的面积最大？最大值是多少？29．（2023•武汉模拟）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计
划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其
中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分
别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是 10m．
A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉 A的种植
面积是 m2，花卉B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积
是 m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的
总产值之和的最大值．
【题型6 拱桥类】
30．（2023•工业园区校级模拟）如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离
水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为 米．
（结果保留根号）31．（2022秋•江岸区校级期末）一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），
桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的距离均为5米，则支柱
MN的高度为 米．
32.（2023•阎良区一模）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大小
相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建筑之一．
如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度OA＝60米，在水面的跨度BC＝80米，桥
面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，OE所在直线为y轴建
立平面直角坐标系．
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？33．（2023•阎良区一模）漪汾桥是太原市首座对称双七拱吊桥，每个桥拱呈大
小相等的抛物线型，桥拱如长虹出水，屹立于汾河之上，是太原市地标性建
筑之一．如图2所示，单个桥拱在桥面上的跨度 OA＝60米，在水面的跨度
BC＝80米，桥面距水面的垂直距离OE＝7米，以桥面所在水平线为x轴，
OE所在直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求桥拱所在抛物线的函数关系表达式；
（2）求桥拱最高点到水面的距离是多少米？
34．（2023•信阳二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南
路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想
把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽 AB为16cm，入口最高处OC
为12.8米．
（1）求抛物线解析式；
（2）王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，
将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8米，求平移后的抛物线解析式；
（3）双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？35．（2023•新城区校级二模）如图1所示是一座古桥，桥拱截面为抛物线，如
图2，AO，BC是桥墩，桥的跨径AB为20m，此时水位在OC处，桥拱最高
点P离水面6m，在水面以上的桥墩AO，BC都为2m．以OC所在的直线为x
轴、AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，其中 x（m）是桥拱截面上
一点距桥墩AO的水平距离，y（m）是桥拱截面上一点距水面OC的距离．
（1）求此桥拱截面所在抛物线的表达式；
（2）有一艘游船，其左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船
正对着桥洞在河中航行．当水位上涨2m时，水面到棚顶的高度为3m，遮阳
棚宽12m，问此船能否通过桥洞？请说明理由．36．（2023•西华县三模）足球比赛中，当守门员远离球门时，进攻队员常常使
用吊射战术（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门）．一般来说，吊射
战术中足球的运动轨迹往往是一条抛物线．摩洛哥与葡萄牙比赛进行中，摩
洛哥一位球员在离对方球门30米的点O处起脚吊射，假如球飞行的路线是
一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．以点O为坐标原点，
建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）此时，葡萄牙队的守门员在球门前方距离球门线1米处，原地起跳后双
手能达到的最大高度为2.8米，在没有摩洛哥队员干扰的情况下，那么他能
否在空中截住这次吊射？请说明理由．
37．（2023•宝安区三模）如图，在一次足球比赛中，守门员在距地面 1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员 6米的A处发现球在自己头上的正上方
距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在
空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形
状相同，最大高度为1米．
（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点 B与
守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点
O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）
38．（2023•金华三模）如图所示，取某一位置的水平线为x轴，建立了平面坐
标系后，小山坡AB可以近似看成抛物线l ：y＝ ．小明在离A
1
点3m的楼顶C抛出一球，其运动轨迹为抛物线 l ：y＝ ，落在山
2
坡的点D处，测得点D离y轴的距离为12m．
（1）求点D的坐标；
（2）求小球飞行过程中，离山坡的最大高度．
