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专题 08 勾股定理与全等三角形的构造（原卷版）
类型一 构造一线三垂直模型
1．（2022春•埇桥区校级期末）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行
的三条直线l ，l ，l 上，且l ，l 之间的距离为2，l ，l 之间的距离为3，则AC的长是（ ）
1 2 3 1 2 2 3
A．2❑√17 B．2❑√5 C．4❑√2 D．7
2．（2020春•硚口区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝45°，AB＝4❑√2，CD＝5，AD＝
7，则BC＝ ，AC＝ ．
类型二 构造手拉手旋转全等
（一）与等边旋转60°构造共顶点双等边三角形
3．（1）如图①，△ABE，△ACD都是等边三角形，若CE＝6，则BD的长＝ ；
（2）如图②，△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝3，BC＝4，D是△ABC外一点，且△ACD是等边三角形，
则BD的长＝ ．
4．（2023•增城一模）如图，点P为等边△ABC内一点，若PC＝3，PB＝4，PA＝5，则∠BPC的度数是
．5．（2021春•麻城市校级月考）△ABC中，BC＝5，以AC为边向外作等边△ACD．
（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的长；
（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的长．
（二）与等腰直角三角形，旋转90°构造共顶点双等腰直角三角形
6．（2022春•钦州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内一点，且PB＝1，PC
＝2，PA＝3，过点C作CD⊥CP，垂足为C，令CD＝CP，连接DP，BD，求∠BPC的度数．
7．（2023秋•槐荫区期末）如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC＝45°，AD＝1，CD＝3，则BD的长为
（ ）A．3 B．❑√11 C．2❑√3 D．4
8．（2023春•江汉区期中）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∠APC＝165°，PA＝3，PC
=❑√2，则PB＝ ．
（三）构造共顶点双等腰三角形
9．（2015•道里区一模）如图．在△ABC中．以AC为边在△ABC外部作等腰△ACD．使AC＝AD．且
3
∠DAC＝2∠ABC，连接BD．作AH⊥BC于点H．若AH= ，BC＝4，则BD＝ ．
2
类型三 夹半角构造旋转全等
（一）90°夹45°
10．（2021秋•晋安区校级月考）如图，等腰直角△ABC中，AC＝BC，点D，E在AB上，∠DCE＝45°．
（1）将△ACD绕点C逆时针旋转90°，点D对应点为点F，画出旋转后的图形，并证明：DE＝EF；
（2）求证：AD2+BE2＝DE2．11．（2019春•老城区校级月考）已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∠MCN＝45°．
（1）如图1，当点M、N在AB上时，求证：MN2＝AM2+BN2；
（2）如图2，将∠MCN绕点C旋转，当点M在BA的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证
明；若不成立，请说明理由．
（二）120°夹60°
12．（2022春•福田区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4❑√3，∠BAC＝120°，点D、E都在边BC
上，∠DAE＝60°．若BD＝2CE，则DE的长为 ．
类型四 倍长中线构造全等
13．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（ ）
A．❑√61 B．2❑√61 C．13 D．12
14．（2021春•荆门校级月考）如图，在△ABC中，∠A＝60°，D是BC的中点，E、F分别在AB、AC上，
DE⊥DF，若BE＝2，CF＝4，则EF的长为（ ）A．2❑√7 B．2❑√5 C．5 D．2❑√6
15．（2020春•江岸区期中）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，点E为线段CD的中点，AD
＝1，CB＝2，AE＝3，则AB＝ ．
16．（2023春•天长市校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为边AB的中点，E，F分别为边
AC，BC上的点，且AE＝AD，BF＝BD．
（1）∠EDF＝ °．
（2）若DE=❑√2，DF＝2，线段AB的长为 ．
