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专题 09 一元一次不等式（组）的应用重难点汇编（六大题型）
重难点题型归纳
【题型一：球赛积分问题】
【题型二：分配问题】
【题型三：销售利润问题】
【题型四：方案问题】
【题型五：其他问题】
【题型六：定义问题】
【题型一：球赛积分问题】
1．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精神，某校开展班
级篮球赛．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场扣1分，八年一班在12场比
赛中总积分不低于27分，求该班至少胜多少场？
2．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．某校足
球队共比赛9场，以负1场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于21分，则该校足球队获胜
的场次最少是（ ）
A．6场 B．7场 C．8场 D．9场
3．有A，B，C，D，E五个队分在同一个小组进行单循环足球比赛，争取出线权，比赛规则规定：胜一
场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，A队积分9
分，那么A队最多胜（ ）场？
A．1 B．2 C．3 D．4
【题型二：分配问题】4．某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；
如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是
多少？
5．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一
人所带矿泉水不足2瓶．求登山人数及矿泉水的瓶数．
6．把一些笔记本分给几个学生，如果每人3本 ，那么余8本，如果每人分5本，那么最后一人分到笔记
本但不足3本，求学生有多少人？
7．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每
人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？
8．我市鹰嘴桃果品肉质爽脆、味甜如蜜，现在将一箱鹰嘴桃分给若干名到果园参观的游客品尝，如果每
人分4个，则剩下20个鹰嘴桃；如果每人分8个，则有一名游客分得不足8个，求这批游客的人数和
这箱鹰嘴桃的个数．
9．医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理4名病人，则有20名病人没人护理，如果每名护
士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人，这个医院安排了几名护士护理病人？【题型三：销售利润问题】
10．茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件T恤和5个奥
运会吉祥物共需250元；购进15件T恤和10个奥运会吉祥物共需425元．
(1)求购进一件T恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？
(2)若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种
购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
11．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，
现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型汽车、1辆B型汽车的进价
共计37万元；若单次购买A型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买B型汽车超过15辆每
辆车进价优惠5千元，当购买A型和B型车各20辆时共需支付进价715万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进A，B型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆A型汽车
在进价的基础上提高7000元销售，每辆B型汽车在进价的基础上提高6%销售．假如这些新能源汽车
全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是
多少？
12．某家具店经销A,B两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250
元．
(1)该店销售记录显示，4月份A,B两种品牌的儿童床共售出20张，且销售A,B两种品牌的儿童床的
利润相同．该店4月份A,B两种品牌的儿童床各售出多少张？
(2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的70%，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案．
13．牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的50%以上，黑龙江省发布的
“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购
进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5
箱需910元．请解答下列问题：
(1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？
(2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50
元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不
多于40箱．该商店有哪几种进货方案？
【题型四：方案问题】
14．为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号
的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B
型设备少6万元．
A、B两种型号设备的月处理污水量如下表：
A型 B型
价格（万元/台） a
处理污水量（吨/月） 240 180
(1)设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为 万元；
(2)求A、B两种型号的设备的价格；
(3)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不
低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．15．某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买A，B两款文化衫，每件A款文化衫比每件B款文化衫贵10
元，购买2件A款文化衫和3件B款文化衫共需要220元．
(1)求A款文化衫和B款文化衫每件各多少元；
(2)已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，A款七折优惠，B款每件让利10元，
现计划购买文化衫的费用不超过1530元，且A款文化衫不少于B款文化衫数量的一半，请问共有多少
种购买方案？
16．三明市某化工厂，现有A种原料82千克，B种原料62千克，现准备用这些原料去生产甲、乙两种产品
共20件，已知每生产1件甲种产品需要A种原料5千克以及B种原料2千克；每生产1件乙种产品需要A
种原料3千克以及B种原料4千克，请通过计算写出有哪几种具体的生产方案．
17．某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210元；购
买2顶帽子和3双手套共需340元．
(1)求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？
(2)经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请你
规划一下有哪几种购买方案？
18．为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若
每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和
租金如表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 35 30
租金（元/辆） 400 320
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
19．某市教育局计划购买27台阅卷扫描仪，有A，B两种型号可供选择，其中B型号功能多一点．已知购
买3台A型号和2台B型号共需要27万元；购买5台A型号和3台B型号共需要43万元．
(1)求A，B两种型号阅卷扫描仪的单价；
(2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过137万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案；
(3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？
20．吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创
作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”
造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元．
(1)该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共
170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m、n
的值．
(2)该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160
元又不多于1168元，设购买“滨滨“造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？
21．黔南州某市通过网络直播带货助力乡村振兴，在直播间销售黔南州特色农产品．两名顾客在该直播间购买了一些独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡，下面是他们的一段对话．
(1)请你运用所学知识求出独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡的单价；
(2)小明爸爸准备去该直播间购买独山盐酸菜扣肉和龙里辣子鸡两种特色农产品共13盒，其中购买独
山盐酸菜扣肉至少4盒，并且总费用不低于1440元，请帮小明爸爸计算并写出所有符合条件的购买方
案．
【题型五：其他问题】
22．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租
用一辆），其中A型客车每辆租金500元，B型客车每辆租金600元．已知5辆A型客车和2辆B型客
车坐满后共载客310人；3辆A型客车和4辆B型客车坐满后共载客340人．
(1)求每辆A型客车，每辆B型客车坐满后各载客多少人；
(2)若该校计划租用A型和B型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部
载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱．
23．某商店决定采购A、B两种型号的纪念品，若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5
件，B型3件，需要550元．
(1)求采购A型，B型两种纪念品每件各需多少元？
(2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品
数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、B型纪念品各采购几件？
24．某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方
米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用
为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？
(2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费
用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？
25．应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为xkg．已知这两种原料中维
生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示：
甲种原料 乙种原料
维生素C的含量/（单位/千克） 600 100
原料价格/（元/千克） 8 4
现配制这种饮料10kg，要求含有4200单位以上的维生素C．
(1)请列出x应满足的不等式；
(2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式．
26．随着科技的飞速发展，新能源汽车将我们带入一个新的出行时代，新能源汽车无疑将成为交通领域的
主角．某电车生产车间现有A、B两个工种的工人，其中A工种有300人，B工种有200人，且同类工
种工人月工资相同．已知6个A种工人的月工资与5个B种工人的月工资相同，该生产车间每月共付
工资总额540万元．
(1)A、B两个工种工人的月工资分别为多少万元；
(2)由于市场部订单数量增多，该生产车间计划再招聘A、B两个工种工人共60人．其中，再招聘的B
7
工种工人不超过再招聘的A工种工人的 ，且最终车间所有A工种工人的数量与车间所有B工种工人的
3
数量之差不高于80人．那么该车间有几种招聘方案，哪种方案可使每月付给这60个工人工资总额最
少，最少为多少？27．随着梦天实验舱的顺利发射，我国空间站完成了在轨组装，为了庆祝这令人激动的时刻，科技馆开展
了关于空间站的科学知识问答竞赛．为了奖励在竞赛中表现优异的选手，科技馆准备一次性购买A，B
两种航天器模型作为奖品．已知购买7个A模型和8个B模型共需380元：也可以用380元购买13个
A模型和4个B模型．
(1)求A模型和B模型的单价；
(2)根据科技馆实际情况，需一次性购买A模型和B模型共20个，且选手对A模型的喜爱，要求购买A
模型的数量多于12个，且不超过B模型的3倍．请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需的
费用．
28．2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“π日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数
学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B
种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元．
(1)A，B两种图书的单价分别为多少元？
(2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最
少？并求出最少花费．
29．为了支持一次大型活动，某物流公司需要运输一批展览材料．根据调查得知，3辆重型卡车与2辆轻型
卡车可以一次共同运输800箱：7辆重型卡车与4辆轻型卡车可以一次共同运输1800箱．
(1)求1辆重型卡车和1辆轻型卡车分别能够单独运输多少箱展览材料？
(2)计划用两种类型的货车总共15辆来完成这批物资的运输任务，每趟每辆重型货车的费用为6000元，
每趟每辆轻型货车的费用为4000元．如果要求至少使用7台重型货车，并且总费用不超过78000元，
请列出所有可能的配送方案，并指出哪种方案最经济实惠以及所需最低费用是多少？
【题型六：定义问题】
30．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友
{x−2>0)
好方程”，例如：方程2x−6=0的解为x=3，不等式组 的解集为20)
所以称方程2x−6=0为不等式组 ，的“友好方程”．
x<5
{x−1>0)
(1)下列方程是不等式组 的“友好方程”的是___________；（填序号）
x<3
①x−2=0； ②2x+1=0； ③−2x−2=0．
{3x−6>4−2x)
(2)若关于x的方程3x−3k=3是不等式组 的“友好方程”，求k的取值范围；
x−1≥4x−16
(3)若方程 ，2x−1 都是关于 的不等式组{(m−2)xx+1 )的“关联方程”吗？请说明理由．
3x+3=6
3(x−2)−x≤4
{3x−2>6−x
)
(2)若关于x的方程2x+k=2是不等式组 的“关联方程”，求k的取值范围；
x−1≥4x−13
(3)若关于x的不等式组¿的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求m的取值范围．
32．定义：三个关于x的整式A、B、C，若A+B>C的解集为x>1，则称它们构成“ABC不等式”例如：
三个整式A=2x−5，B=2−x，C=−2有：当(2x−5)+(2−x)>−2时的解集为x>1，则称2x−5，
2−x，−2构成“ABC不等式”．
(1)整式x−3，x+2，1可以构成“ABC不等式”吗？请说明理由；
(2)若三个关于x的整式ax，x，2a，可以构成“ABC不等式”，求a的值；
{2nx+mm
解集．33．【定义】若一个三角形三边长均为偶数，则称这个三角形为“好运三角形”．例如，三边为6，8，
10的三角形是“好运三角形”．
(1)【概念运用】在△ABC中，AB=2，BC=4，若△ABC为“好运三角形”，求AC的长；
(2)【变式运用】已知△ABC的周长为16，AC=4，若AB的长为偶数，试判断△ABC是否为“好运三
角形”．
34．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by=c （其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数x系数a互换，
得到的方程叫“变更方程”，例如：ax+by=c”变更方程”为cx+by=a．
(1)方程3x+2y=4与它的“变更方程”组成的方程组的解为 ；
(2)已知关于x，y的二元一次方程ax+by=c的系数满足a+b+c=0，且ax+by=c与它的“变更方
程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny=p的一个解，求代数式
(m+n)m−p(n+p)+2025的值；
(3)已知整数m，n，t且t满足6L b(x>0,x≠1)，当x>1时，a>b；当0L 1 7的解集是x<2，求不等式L (mx+2)>L 2m的解集；
2 2
2 2
{L (2x−2)>L n
)
3 3
(2)若关于x的不等式组 L x>L (n+1) 的解集中有且只有2个整数解，求n的取值范围．
1 1
3 3
