文档内容
专题09 一元一次方程常考实际应用（十二大类型）
重难点题型归纳
【题型1：行程问题】
【题型2：工程问题】
【题型3：销售问题】
【题型4：方案问题】
【题型5：比赛积分问题】
【题型6：日历问题】
【题型7：数字问题】
【题型8：几何问题】
【题型9：水费和电费问题】
【题型10：比例分配问题】
【题型11：古代问题】
【题型12：其他问题】
【题型1：行程问题】
【典例1】如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的
数为−6，点B表示的数为10，点C表示为18，我们称点A和点C在该数轴上的“折线距离”为24个
长度单位，动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点
B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着
折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动
的时间为t秒，则：
(1)动点P从点A运动至点C需要______秒，动点Q从点C运动至点A需要_______秒；
(2)若P，Q两点在点M处相遇，求相遇时间t以及点M在折线数轴上所表示的数；(3)是否存在t值，使得P、O两点在数轴上的“折线距离”与Q、B两点在数轴上的的“折线距离”相
等．
【变式1-1】甲站和乙站相距1500km，一列慢车从甲站开出，速度为60km/h，一列快车从乙站开出，
速度为90km/h．
(1)若两车相向而行，慢车先开30min，快车开出多少小时后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距1800km？
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距1200km（快车在慢车的后面）？
【变式1-2】已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点
A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，
PQ同时出发，设运动时间为t(t>0)秒．
(1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到AB的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：
①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？
【变式1-3】综合与探究：
【背景知识】在学习绝对值后，我们知道，|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离．如图，如：
|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而|5)=|5−0)，即|5−0)也可理解为5、0在数轴上对应的
两点之间的距离．类似的，|5−3)表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的
两点之间的距离，如|x−3)的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数x的点之间的距离，一般地，
点A、B在数轴上分别表示数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a−b)．
【问题解决】请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上表示2和3的两点之间的距离是_________；（2）数轴上点P表示的数是2，P、Q两点的距离为3，则点Q表示的数是_________；
【拓展延伸】
（3）如图，A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为−20，B点对应的数为100．现有一只电子蚂
蚁P从B点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单
位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁经过t秒，在数轴上的C点相遇．
①请你求出相遇时t为多少秒？
②请你求出C点所对应的数是多少．
【题型2：工程问题】
【典例2】哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙
两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要20天，乙车队单独运完需要30天．乙车队先运了5天，
然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金170元，比乙车队少30元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
【变式2-1】某学校开展社会实践活动，七年级（1）班和（2）班承担了为树苗浇水的任务，已知
（1）班单独完成需要7.5h，（2）班单独完成需要6h．
(1)先由（1）班工作2h，然后两个班合作，前后共需几小时？
(2)如果需要在一个上午4h内完成，你将如何安排这次活动？
【变式2-2】一项工程由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元：由乙队承担，需工期100天，工
程费用80万．为了节省工期和费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个队继续工作到工程完成．结算时，共支出工程费用88万元．问：甲、乙两队合作了多少天？
【变式2-3】一项工程，若请甲、乙两个工程队合作，则需6周完成，需要施工费12.6万元；若先请甲
工程队单独做4周后，剩下的请乙工程队来做，则还需要9周完成，需要施工费12.4万元．
(1)甲、乙两个工程队单独修路分别需要多少周完成？
(2)请甲、乙两个工程队工作一周需要施工费分别为多少万元？
(3)若只请一个工程队单独做，使该工程的施工费用低，应该选择甲工程队还是乙工程队？
【题型3：销售问题】
【典例3】某超市第一次用7000元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、
乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利=售价−进价）
甲 乙
进价/（元/件） 20 30
售价/（元/件） 25 40
(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第
一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次
获得的总利润多800元，求第二次乙商品的售价是多少？
【变式3-1】小华的妈妈为爸爸买了一件上衣和一条裤子，共用了306元，其中上衣按标价打七折，裤
子按标价打八折，上衣的标价为300元．裤子的标价为多少元？
【变式3-2】小明同学用的练习本可以在甲、乙两个商店买到．已知两个商店的标价都是每本1元．甲的优惠条件是：购买10本以上，从第11本开始按标价的六折卖；乙商店的优惠条件是：从第1本开始
就按标价的八折卖．
(1)当购买数量超过10本时，请用含x的式子分别表示在甲、乙两商店购买本子的费用．
(2)小明要买25本练习本，到哪个商店购买较省钱？并说明理由．
(3)小明现有30元，最多可买多少本练习本？
【变式3-3】【课本再现】：下面是人教版初中数学教科书七年级上册第102页探究1的部分内容．
探究1 销售中的盈亏
（1）一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，这两
件衣服的进价分别是 元和 元，卖这两件衣服总的是 （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）．
【解决问题】：
七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件80元的价格购进了200件，并以每件120元的
价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价40%销售，并全部
销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？
【题型4：方案问题】
【典例4】某学校在一次环保知识宣传活动中，需印刷若干份调查问卷．印刷厂有甲、乙两种收费方式，
甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷费0.12
元：设共印刷调查问卷x份．
(1)按甲种方式应收费 元，按乙种方式应收费 元；（用含x的代数式表示）
(2)试问学校选用哪种印刷方式所需费用较少？【变式4-1】新学年，学校为了更新体育器材，计划购买10副乒乓球拍和若干盒乒乓球（大于10盒），
已知甲乙两家体育用品商店的标价相同，一副乒乓球拍的标价为60元，一盒乒乓球的标价是20元，现
了解到两家体育用品商店都在做促销活动，甲店；买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙店：所有商品均
打八折．
(1)若学校购买乒乓球30盒，则在甲店购买球拍和球的总费用为_______元，在乙店购买球拍和球的总
费用为________元；
(2)学校经过测算，去甲店购买与去乙店购买所付的总费用相同，求学校计划购买乒乓球多少盒？
(3)依据（2）的购买数量，选择在甲，乙两家体育用品商店同时购买所需器材，请你设计一种最省钱的
购买方案．
【变式4-2】商店售出茶壶和茶杯，茶壶每只定价24元，茶杯每只定价5元．该店制定了两种优惠办法，
方法1：买一只茶壶赠送一只茶杯；方法2：按总价打九折．某顾客需购买茶壶5只，茶杯若干只（不少
于5只），若设购买茶杯数为x只，付款数分别按两种优惠办法计算．
(1)计算两种不同的收费；
(2)当顾客在同一商店购买多少只茶杯时，两种办法的付款数相同？
【变式4-3】七年级某班因参加校园运动会为学生购置运动装．经了解，某服装店男款运动装每套100
元，女款运动装每套120元，原价购买50套运动装共需5520元．为吸引顾客，该店推出两种优惠方案：
方案一：全部运动装八五折销售；
方案二：一次性购买40套运动装（男女运动装均可）及以上免费赠送10套男款运动装，其余的按原价
销售．
(1)该班购买的男款运动装和女款运动装各多少套？
(2)请通过计算说明该班购买50套运动装应选择哪种优惠方案更合算？【题型5：比赛积分问题】
【典例5】某校组织学生参加2022年冬奥知识问答，问答活动共设有20道选择题，每题必答，每答对
一道题加分，答错一道题减分，下表中记录了A、B、C三名学生的得分情况：
参赛学
答对题数 答错题数 得分
生
A 20 0 100
B 18 2 86
C 15 5 65
请结合表中所给数据，回答下列问题：
(1)本次知识问答中，每答对一题加______分，每答错一题减______分；
(2)若小明同学答对16题，请计算小明的得分；
(3)若小刚同学参加了本次知识问答，下列四个选项中，哪一个可能是小刚的得分_____（填写选项）；
A．75；B．63；C．56；D．44
并请你计算他答对了几道题，写出解答过程，（列一元一次方程解决问题）
【变式5-1】5支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场各得 1分，
负一场不得分．全部比赛结束后，发现 5 支球队共得 27 分，那么共有多少场平局？
【变式5-2】学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小
芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了84分，她做对了几题？
【变式5-3】某次篮球联赛部分球队积分表胜
队名 比赛场次 平场 负场 积分
场
A 16 8 4 4 36
B 16 2 8 6 28
C 16 0 16 0 32
D 16 6 2 8 30
E 16 0 12 a c
F 16 b 6 10 22
(1)由表中数据可知，胜一场积______分，平一场积______分，负一场积______分；
(2)直接写出a=______，b=______，c=______；
(3)设一个队胜m场，负场是平场的2倍，则平______场（用含m的式子表示）；
(4)G队平了3场，该队队长声称他们队的积分是30分，你认为可能吗？为什么？
【题型6：日历问题】
【典例6】月历中的数学：观察如图所示的2020年11月的月历，解答下列问题：
(1)用形如□的长方形框去框月历里同一行的4个连续的数．
①若框里4个数中的最小数记为x，用含x的代数式表示这4个数的和为_____，这4个数的和的最大值
是_____．
②若框里4个数的和是66，则这4个数分别是多少？
(2)用一个4×3的长方形框去任意框12个数（如图），框里的12个数的和能等于222吗？能等于246吗？若能，请求出框里的12个数中的最小数；若不能，请说明理由．
【变式6-1】如图是某年9月的日历，用形如X型框，去框日历中的日期数每次同时框5个数．
(1)设X框最中间的数为a，则这5个数之和为_____（用含a的代数式表示）；
(2)这5个数的和能等于68吗？请说明理由．
【变式6-2】你对生活中常见的月历了解吗？月历中存在许多数字奥秘，你想知道吗？下表是2023年3
月的月历．
(1)它的横行、竖列上相邻的两数之间有什么关系？
(2)如果告诉你一竖列上连续三个数的和为72，你能知道是哪几天吗？
【变式6-3】如图是2023年8月份的月历，现用十字框任意框出5个数，如：(1)十字框框出的5个数与十字框中间的数有什么关系？
(2)如果十字框框出的5个数之和为55，那么十字框中间的数是多少？
(3)十字框框出的5个数之和可以是105吗？
【题型7：数字问题】
【典例7】观察下面三行数：
−2，4，−8，16，−32，…①
1，−2，4，−8，16，…②
3，6，12，24，48，…③
(1)第①行第6个数是______；第②行第7个数是______；第③行第7个数是_____；
(2)已知3072是其中的数，则它是第______行的第______个数；
(3)取每行的第n个数，若这三个数的和是32768，求n的值．
【变式7-1】观察下列按一定规律排列的三行数：
第一行：−2，4，−8，16，−32…：
第二行：0，6，−6，18，−30…；
第三行：−1，2，−4，8，−16…
解答下列问题：
(1)每一行的第6个数依次是：___________，___________，_________．
(2)分别写出第二行和第三行的第n个数_______，_________．
(3)第一行中是否存在某三个相邻数的和为1536？若存在，求出这三个数；若不存在请说明理由．【变式7-2】“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（图1），是世界上最早的矩阵，又称“幻
方”，用今天的数学符号翻译出来，“洛书”就是一个三阶“幻方”（图2）．观察图1、图2，我们
可以归纳出“九宫图”中各数字之间的关系．在新“幻方”（图3）中，求a、b的值．
【变式7-3】幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译
出来，就是一个三阶幻方（图1），也即在3×3的方格中填写了9个数，使得每行、每列、每条对角线
上的三个数之和相等．请你解答下列问题：
(1)在图2中空格处填上合适的数，使它构成一个三阶幻方；
(2)计算图3方格中m，n的值为多少时，它能构成一个三阶幻方．
【题型8：几何问题】
【典例8】有A，B两种规格的长方形纸板，如图1，无重合无缝隙的拼成如图2所示的正方形，已知该
正方形的周长为36cm，A长方形的宽为1cm，则B长方形的面积是（ ）A．15.25cm2 B．52cm2 C．33.25cm2 D．18cm2
【变式8-1】如图，正方形的一边长减少2cm后，得到一个长方形（图中阴影部分），若长方形的周长
为26cm，求正方形的边长．设正方形的边长为xcm，可列方程为（ ）
A．x+(x+2)=26B．2x+2(x+2)=26C．x+(x−2)=26 D．2x+2(x−2)=26
【变式8-2】一个学习小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动．图①是一个正方形纸板，裁掉阴影
部分后将其折叠成如图②所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，长比高多3cm，则这个正
方形纸板的边长为 cm．
【变式8-3】如图，长方形ABCD中，AB=12厘米，BC=8厘米，平行四边形BCEF的一边BF交CD
于G，若梯形CEFG的面积为64平方厘米，则CG长为 ．【变式8-4】如图，小10块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，设小长方形墙砖的长为x厘米，则
依题意列方程是
【题型9：水费和电费问题】
【典例9】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过
50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家
每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元．
(1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？
(2)试写出y与x(x>50)间的表达式；
(3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？
【变式9-1】2015年上海出租车收费标准作了新的调整，起步价调整为14元（0到3公里）；超过3公
里并且不超过15公里时，超出的部分每公里2.5元；超过15公里时，超出的部分每公里3.6元．
(1)小丽打车去外婆家，如果路程是9公里，那么车费是_________元；如果路程是16公里，那么车费是
___________元．
(2)小丽打车去外婆家，行程x公里，（3
