专题09 一次函数与几何压轴汇编（八大题型）
重难点题型归纳
【题型1：一函数中面积问题】
【题型2：一次函数中等腰三角形的存在性问题】
【题型3：一次函数中直角三角形的存在性问题】
【题型4：一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
【题型5：一次函数中平行四边形存在性问题】
【题型6：一次函数中菱形的存在性问题】
【题型7：一次函数与将军饮马问题】
【题型8：一次函数中角度问题】
【题型1 一函数中面积问题】1．如图，直线y=kx+6分别与x轴、y轴交于点E，F，已知点E的坐标为(−8,0)，点A
的坐标为(−6,0)．
(1)求k的值；
(2)若点P(x,y)是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，则当点P运动到什么位
27
置时，△OPA的面积为 ？请说明理由．
8
1
2．如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y = x+1与直线CD:y =mx+n交于点
1 2 2A(4,a)，直线CD交y轴于点D(0,9)．
(1)求出a的值；
(2)求直线CD的解析式；
(3)若点P在x轴上，当△ABP的面积为6时，求点P的坐标．
3．如图，一次函数y=−3x+b的图象与x轴交于点A(−1,0)，与y轴交于点B，点C(3,0)，
点M是线段AC上的任意一点，过点M作直线l∥y轴，直线l交直线AB于点P，交直线
BC于点Q．
(1)求直线BC的函数表达式；
(2)当PQ=2时，求△PQC的面积．
4．如图(1)，将一块长方形纸板摆放在平面直角坐标系中，使长方形纸版的一个直角顶点B与坐标原点重合，两条边与坐标轴重合，已知BC=4，AB=3．
(1)求直线AC的解析式；
(2)将长方形纸板的一个直角沿AE折叠，使B点恰好落在线段AC上的B′处，折痕AE交
BC边于点E（图(2)），求点E坐标；
(3)在(2)的条件下，直线AC上是否存在一点P，使得S =S ？若存在，请直接写
△ADP △ABE
出点P的坐标，若不存在，请简要说明理由．
【题型2 一次函数中等腰三角形的存在性问题】
1．如图所示，在平面直角坐标系中，直线AB:y=kx+2与x轴交于点A(−1,0)，与y轴交
于点B(0,2)．(1)求直线AB的表达式：
(2)若直线AC⊥AB交y轴负半轴于点C，求△ABC的面积：
(3)在y轴负半轴上是否存在点P，使以A,B,P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若
存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
3
2．如图，直线y=− x+15与x轴，y轴分别交于A，B两点，D，E分别是线段AB，OA
4
上的点．
(1)若BD=5．
①求AD的长．
②若△ODE是等腰三角形，求点E的坐标．
(2)连接BE，若BD=AE，当OD+BE最小时，求点E的坐标．
3．如图，直线l 的解析式为y=−x+2，l 与x轴交于点B，直线l 经过点D(0,5)，与直线
1 1 2
l 交于点C(−1,m)，且与x轴交于点A；
1(1)求点C的坐标及直线l 的解析式；
2
(2)连接BD，试求△BCD的面积．
(3)若点P是直线y=−x+2上的一点，当△BOP为等腰三角形时，求点P的坐标．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴、y轴分别交A、B两点，与直线
1 1
y=− x+b相交于点C(2, m)，若直线y=− x+b与x轴相交于点D．动点P从点D
2 2
开始，以每秒1个单位的速度向x轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．
(1)求m和b的值；
(2)在点P的运动过程中，△ACP的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量
t的取值范围；
(3)是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请
说明理由．5．如图，正比例函数y=2x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点A(m,4)，一次函数
图象与y轴的交点为C(0,2)，与x轴的交点为D．
(1)求一次函数y=kx+b的表达式；
(2)一次函数y=kx+b的图象上是否存在点P，使得S =3，若存在，求出点P的坐标；
△ODP
若不存在，说明理由；
(3)如果在一次函数y=kx+b的图象存在点Q，使△OCQ是以CQ为腰的等腰三角形，请
求出点Q的坐标．
【题型3 一次函数中直角三角形的存在性问题】
1．如图，直线l ：y=x+3与过点A(3,0)的直线l 交于点C(1,m)，与x轴交于点B．
1 2
(1)求直线l 的函数表达式；
2
(2)点M在直线l 上，且在点C右侧，MN∥y轴交直线l 于点N，若MN=AB，求点
1 2
M的坐标．
(3)在x轴上是否存在点D，使得△ACD是直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
2．已知直线l 经过点(5,6)，交x轴于点A(−3,0)，直线l :y=3x交直线l 于点B．
1 2 1
(1)求直线l 的解析式和点B的坐标．
1
(2)求△AOB的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得△PAB是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
3．已知函数y=x+1的图象与y轴交于点A，一次函数y=kx+b的图象经过点B(0,−1)，
与 x轴以及y=x+1的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为(1,n)．
(1)求k，b，n的值．
(2)求四边形AOCD的面积．
(3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，
请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由．
4．如图， 直线AB交x轴于点A(−4,0)，交y轴于点B(0,2)，
(1)求直线 AB的解析式；(2)在坐标轴上是否存在点P，使得 △ABP是直角三角形? 若存在，求出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
1
5．如图，直线l :y= x+2与y轴交于点A，直线l 与x轴交于点B(1,0)，与y轴交于点C，
1 2 2
与直线l 交于点D(2,n).
1
(1)求直线l 的函数关系式；
2
(2)连接AB，求△ABD的面积；
(3)若点P在y轴上，且△ADP是直角三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
6．如图，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
(1)求点C的坐标：
(2)在x轴上找一点D，使得S =S ，求点D的坐标；
△ACD △ABC
(3)在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
1
7．如图，直线l :y= x+2与y轴交于点A，直线l 与x轴交于点B，与y轴交于点
1 2 2C(0,−3)，与直线l 交于点D(2,n)．
1
(1)求直线l 的函数解析式；
2
(2)求△ABD的面积；
(3)在y轴上有一点P，且△ADP是直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐
标．
【题型4 一次函数中等腰直角三角形的存在性问题】
1
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 l :y= x+b过点A(−2,0)．若直线 l :y=kx+4
1 2 2
与x轴、y轴分别交于点B、D，且与直线l 交于点C，点C的横坐标为2．
1
(1)求直线l 的表达式；
2
(2)直线 l 上是否存在点M，使△ABM为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足
2
条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，已知一次函数y=−x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．直线AB上有
一点C，点C在第二象限，连接OC，以OC为直角边，点O为直角顶点，在直线AB下
方作等腰直角三角形COD，连接BD．
(1)求证：AC=BD．
(2)当BD=2BC时，在x轴上有一点P，若△COP是等腰三角形，直接写出所有P点的
坐标．
(3)若点B是AC的三等分点，求点D的坐标．
3 5
3．已知，一次函数y=− x+6与x轴、y轴分别交于点A、点B，与直线y= x相交于点
4 4
C，过点B作x轴的平行线l，点P是直线l上的一个动点．
(1)若S =S ，求点P的坐标．
△AOC △BCP
5
(2)若点E是直线y= x上的一个动点，当△APE是以AP为直角边的等腰直角三角形
4
时，求点E的坐标．2
4．如图1，已知直线l :y =− x+a与坐标轴交于A,B两点，直线l :y =kx+b与坐标轴
1 1 3 2 2
交于C，D两点，且OB=3OC=3OD=6．
(1)分别求出两个一次函数的关系式；
(2)如图2，过点B作平行于y轴的直线l ，点N为直线l 上一点，点M为直线l 上一点，
3 3 2
问能否构成以点A,M,N为顶点，以AM为腰的等腰直角三角形？若能，请求出M点
的坐标；若不能，请说明理由．
1
5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l ：y=− x+3与x轴交于点A，与y轴交于
1 2
点B，直线l 与x轴交于点C，与y轴交于D点，AC=9，OD=2OC．
2
(1)求直线l 的解析式；
2
(2)连接AD，点Q为直线CD上一动点，若有S =5S ，求点Q的坐标；
△QAD △OAB
(3)点M为直线l 上一点，点N为y轴上一点，若M，N，C三点构成以MN为直角边
1
的等腰直角三角形，求点M的坐标．【题型5 一次函数中平行四边形存在性问题】
1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A(−2,0)，与y轴交于点B，点
C(2,4)在直线AB上．
(1)求直线AB的解析式．(2)P为x轴上一动点，连接PB,PC，当PB+PC最小时，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当PB+PC最小时，在平面内是否存在一点Q，使得四边形
ABPQ是平行四边形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，在△AOB中，点B在x轴上，直线y=2x+b经过点A(4,3)，且与x轴交于点
C，直线y=−x+4与x轴相交于点B，与AC相交于点D．
(1)求直线AC的表达式；
(2)在y轴上是否存在一点E，使△ODE是等腰三角形，若存在，求出点E坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)点P在直线AC上，在直线BD上是否存在点Q，使以点O，D，P，Q为顶点的四边
形是平行四边形．若存在，求出点Q的坐标：若不存在，请说明理由．
3．在平面直角坐标系中，直线l与x轴，y轴分别交于A(4,0)，B(0,2)两点，点C的坐标是
(2,4)．
(1)求直线l的解析式；
(2)若点P是直线l上的一个动点，在x轴上是否存在一点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
4．如图，直线 与直线 1 交于点 ( 3) 与 轴交于点
l :y =kx+1 l :y =− x+b A 1, ，l x
1 1 2 2 2 2 1
B，l 与x轴交于点C．
2
(1)求点B和点C的坐标；
(2)P为直线l 上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线l 交于点Q，设点P的横坐
1 2
标为m，△OPQ的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
(3)点M是y轴上一点，点N是直线l 上一点，以点A、C、M、N为顶点的四边形是平
1
行四边形，求出点N的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B
的直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为10．(1)求点C的坐标及直线BC的解析式；
(2)若M为线段BC上一点，且满足S =S ，求直线AM的解析式；
△AMB △AOB
(3)若E为直线AM上一个动点，在x轴上是否存在点D，使得以点D、E、B、C为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【题型6 一次函数中菱形的存在性问题】
1．已知：在平面直角坐标系中，直线l :y=−x+2与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线
1
l 经过点A，与y轴交于点C(0,−4)．
2(1)求直线l 的解析式；
2
(2)如图1，点P为直线l 一个动点，若△PAC的面积等于12时，请求出点P的坐标；
1
(3)如图2，将△ABC沿着x轴平移，平移过程中的△ABC记为△A B C ，请问在平
1 1 1
面内是否存在点D，使得以A 、C 、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点
1 1
D的坐标；不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长（
{ x− 1 y=0)
OA<OB）是方程组 2 的解，点C是直线y=2x与直线AB的交点，点D在
3x−y=6
线段OC上，CD=❑√5．
(1)求点C的坐标．
(2)求直线AD的解析式．
(3)当点P在直线AD上运动时，在平面内是否存在点Q，使以O、A、P、Q为顶点的
四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=− x+8的图象与x轴和y轴分别交于点A和
3点B．
(1)点A的坐标为___________，点B的坐标为___________；
(2)若点P在线段AB上，过点P分别作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，若四边形
PCOD是正方形，求点P的坐标；
(3)点M在x轴上，第一象限内是否存在一点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边
形是菱形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线m:y=kx−6k分别交x轴，y轴于A，B(0，3)
3
两点，直线l:y= x+b交y轴于C点，交直线m于点P(n，1)．
4
(1)填空：k= ，b= ，n= ；
(2)点D是直线m上一点，E是直线l上的一点，若BD与CE互相平分，求点E的坐标
及四边形BCDE的面积；
(3)N是平面直角坐标系内一点，直线l上是否存在点M，使以点B，C，M，N为顶点
的四边形是菱形，请求出符合条件的点N的坐标．
5．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为(6,8)，一次2
函数y= x+b的图像与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是
3
线段DE上的一个动点．
(1)求得b=____；
(2)连接OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:5，求点M的坐标；
(3)设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求
出点N的坐标．
6．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为(15,21)，
3
一次函数y=− x+15的图象与边OC、AB分别交于D、E两点，点M是线段DE上
5
的一个动点．
(1)求证：OD=BE；
(2)点M坐标为(5,12)，设点P是x轴上一动点，点Q是平面内的一点，以O、M、P、
Q为顶点的四边形是菱形，直接写出点Q的坐标．
【题型7 一次函数与将军饮马问题】1．如图，直线l 与x轴、y轴分别交于点A、点B(0,1)，直线l ：y=−x+4与x轴、y轴分
1 2
别交于点C、点D，直线l 与l 交于点E(2,m)．
1 2
(1)求m的值和直线l 的表达式；
1
(2)点G是x轴上的一个动点，连接GB，GE，求GB+≥¿的最小值和此时点G的坐标；
(3)在直线CD上是否存在一点P，使得△BEP的面积等于5，若存在，请求出点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
2．将矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，
OA=12，OC=6．
(1)如图①，沿OB折叠矩形，点C落在C′处，BC′交OA于点F，求点F的坐标；
(2)如图②，点D是OC中点，点E在OA上，求BE+DE的最小值；
(3)如图③，折叠该纸片，使点 落在边 上的点为 ，折痕为 ，点 在边
C OA C′ (4,0) MN M
BC上，求直线C′M的函数解析式．3．如图，过点A(2,0)的直线l ：y=−x+2与直线l ：y=kx+b交于点C(a,3)，其中
1 2
2⋅OB=3⋅OA．
(1)求直线l 对应的表达式；
2
(2)若点P在直线l 上运动，点Q在y轴上运动，求AQ+QP的最小值．
2
3 9
4．如图，直线y=− x+ 与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C、D在直线x=2（直线
4 2
3
上所有点的横坐标均为2）上，且CD= ．
2
(1)求A、B两点坐标；
(2)四边形OACD的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在说明理
由．【题型8 一次函数中角度问题】
1．【模型建立】
如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过点A作
AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】
（1）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所
在直线分别为x轴、y轴，若OB=2，OC=1，请解答下列问题：
①点C的坐标是________，点A的坐标是________；
②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出
点M的坐标：________；
（2）如图3，已知直线l ：y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l 绕点
1 1
B旋转45°至直线l ，求直线l 的函数表达式．
2 23
2．如图1，在平面直角坐标系中，直线l ：y=− x+b与x轴交于点A，与直线
1 4
4
l ：y= x交于点B(3,m)．
2 3
(1)求m的值；
(2)点D是直线l 上一动点．
1
①如图2，当点D恰好在∠AOB的角平分线上时，求直线OD的函数表达式；
②是否存在点D，使得∠DOB=45°，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说
明理由．
3．新人教版八年级下册课本第30页介绍：美国总统伽菲尔德利用图1验证了勾股定理，
直线l过等腰直角△ABC的直角顶点C：过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于
点E，研究图形，不难发现：△ADC≌△CEB．(1)如图2，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，点C的
坐标为(0,−2)，A点的坐标为(4,0)，求B点坐标；
(2)如图3，在平面直角坐标系中，直线l :y=2x+4分别与y轴，x轴交于点A,B，将
1
直线l 绕点A顺时针旋转45°得到l ，求l 的函数表达式；
1 2 2
4．如图，直线l ∶y=x+a与x轴交于点A(−3，0)，与y轴交于点B，C点在x轴上A
1
1
点的右边，AC=7，经过点C的直线l 与正比例函数y=− x的图象平行，直线l 与
2 2 1
直线l 相交于点D，点P为直线l 上一动点．
2 1
(1)求点D坐标；
(2)若7S =6S ，请求出P点的坐标；
△PCD △ACD
(3)若∠PCD=45°，请直接写出点P坐标．
5．综合与实践
如图，直线y=kx+b与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AO上，将△ABC
沿BC所在直线翻折后，点A恰好落在y轴上的点D处，已知OA=4，OB=3．
(1)求直线AB的解析式．
(2)求S :S 的值．
△ABC △OCD(3)直线CD上是否存在点P使得∠PBC=45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若
不存在，请说明理由．
6．如图，已知直线l ：y=−2x+3与x轴，y轴分别交于A，B两点，过点A的直线l 与y
1 2
轴负半轴交于点C，且OA:OC=1:3．
(1)求直线l 的函数表达式；
2
(2)点D在x轴负半轴上，在直线l 上是否存在点E，使以A，B，D，E为顶点的四边形
2
为平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)直线l ：y=kx+k与y轴正半轴交于点F，与直线l 交于点P，若∠FPA=45°，求
3 2
k的值．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y=−x+4分别交x轴、y轴于点B、A，直线
y=2x+4分别交x轴、y轴于点C、A．(1)求线段AC的中点坐标；
(2)若点M是直线 上的一点，连接 ，若S 3，求点M的坐标；
AB CM △ACM =
S 4
△ABC
(3)在（2）的条件下，若点M在第一象限内，以M为顶点作∠CMP=45°，射线MP
交x轴于P．求点P的坐标．
8．定义：一次函数y=kx+b（k≠0且b≠0）和一次函数y=−bx−k为“逆反函数”，如
y=3x+2和y=−2x−3为“逆反函数”．如图1，一次函数l ：y=x−2的图象分别
1
交x轴、y轴于点A、B．
(1)请写出一次函数l 的“逆反函数”l 的解析式______；点C(a,0)在l 的函数图象上，
1 2 2
则a的值是______．
(2)一次函数l 图象上一点D(m,n)又是它的“逆反函数”l 图象上的点，
1 2
①求出D点坐标；
②求出△ACD的面积．
(3)如图2，过点D作y轴的垂线段DE，垂足为E，M为y轴上的一点，且∠MDE=∠CDA，请直接写出直线DM的解析式．
2
9．如图，一次函数y=−2x+4与一次函数y=kx− 交于x轴上的同一点A，且一次函数
3
2
y=−2x+4交y轴于点B，一次函数y=kx− 交y轴于点C．
3
(1)求k的值；
(2)若点E是x轴上的一个动点，△BCE是以BE为腰的等腰三角形，求点E的坐标；
2
(3)若点P是y=kx− 上的一个动点，若∠ABP=∠BAO，求点P的坐标．
3
10．如图，在平面直角坐标系中，直线y=❑√3x+9分别交x轴、y轴于点A、点B，直线
交 轴于点 (9❑√3 )．
BC x C ,0
2(1)如图1，求直线BC的解析式；
(2)如图1，过点A的直线交线段BC于点M，且满足△ABM与△ACM的面积比为4:5，
点E和点F分别是直线AM和x轴上的两个动点，当CE+EF的值最小时，求出
CE+EF的最小值．
(3)如图2，已知点D(0,−2)，在x轴上是否存在点P，使得∠PDO=2∠PBO，若存
在，请直接写出点P的坐标．
1
11．如图，直线l :y= x+2和直线l 与x轴分别相交于A,B两点，且两直线相交于点C，
1 2 2
直线l 与y轴相交于点D(0,−4)，OA=2OB．
2
(1)求出直线l 的函数表达式；
2
(2)在y轴上有一点P，使得BP+CP最小，求点P的坐标；
(3)若F是直线l 上方且位于y轴上一点，满足∠ACF=2∠CAO，请求出点F的坐标，
1
判断△BCF的形状并说明理由．12．如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，连接DE，AF⊥DE于点F．以点B
为原点，BC所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，已知一次
函数y=2x−6的图象经过点D，E．
(1)画出直角坐标系及一次函数图象，求点D的坐标；
(2)连接BF，判断AB与BF的数量关系，并给予证明；
(3)连接AC，点G在直线DE上，若∠CAF=∠GAB，求点G的坐标．
