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专题 09 中考热点勾股定理与网格中的作图及计算（原卷版）
类型一 求网格中角的度数
（一）角的顶点是格点
1．（2023秋•鼓楼区月考）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，
A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC＝ °．
（二）角的顶点不是格点
2．（2023春•微山县期中）在3×2的网格中（如图所示），每个小正方形的顶点称为格点．线段AB，CD
的端点均在格点上，线段AB，CD交于点O，则∠BOD的度数等于（ ）
A．30° B．40° C．45° D．50°
（三）求角的和或差
3．（2023秋•北京期末）如图所示的网格是正方形网格，则∠DAB+∠DBA＝ °．（点D，A，B是网格
线交点）
4．（2023秋•南召期末）如图，A，B，C，O四点都在3×3正方形网格的格点上，则∠AOB﹣∠BOC＝
°．
5．（2023 春•庐阳区期中）如图，在正方形网格内，A、B、C、D 四点都在小方格的格点上，则
∠BAC+∠DAC＝（ ）A．30° B．45° C．60° D．75°
6．（2023秋•惠安期末）如图是2×4正方形网格图，点A、B、C、D、E都是格点，则∠BAC﹣∠BDE＝
°．
7．（2022秋•集贤县期末）如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图形的各个顶点均为格点，
则∠2+∠3的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
8．（2023春•滨州期末）如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E
均在格点上，连接AC，AD．
（1）∠DAC的大小为 （度）；
（2）∠ABC﹣∠DCE＝ （度）．
9．（2023秋•青秀区月考）在如图所示的3×3正方形网格中，∠1+∠2+∠3＝ 度．
10．（2023秋•张店区期中）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，E，F，G，H，I都在格点上，则∠IAH+∠IBG+∠ICF+∠IDF+∠IEF＝ °．
类型二 求线段的长度
11．（2023秋•于洪区期末）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B都在格点上，则线段AB的长为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4❑√13
12．（2022秋•高碑店市期末）如图，边长为1的正方形网格图中，点A，B都在格点上，若AC=
3
，则BC的长为（ ）
2❑√13
A． B．❑√13 C．2❑√13 D．3❑√13
3
13．（2023秋•市中区期中）如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的线段长为有理数的有（ ）条．
A．4 B．3 C．2 D．1
14．（2023秋•薛城区期末）如图：4×1网格中每个正方形边长为1，表示❑√5长的线段是（ ）A．OA B．OB C．OC D．OD
15．（2023秋•深圳期末）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆
心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（ ）
A．❑√13 B．❑√5 C．2.2 D．3−❑√5
16．（2023•雁塔区二模）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，
若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
❑√10 3❑√10
A． B．❑√10 C． D．3❑√10
2 2
17．（2023春•泗水县期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1，△ABC的三个顶
点A，B，C都在格点上，已知D是边AC的中点，连接BD，则BD的长为（ ）
5
A．2 B． C．3 D．5
2
类型三 求三角形的高或者点到直线的距离
18．（2023•电白区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则AC边长
的高为（ ）❑√30 8 ❑√13 4
A． B． ❑√5 C． D． ❑√5
2 5 2 5
19．（2023春•桥西区期末）如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C均在正方形格点上，则C点到
AB的距离为（ ）
3❑√10 2❑√10 5❑√10 4❑√10
A． B． C． D．
10 5 4 5
类型四 求点的坐标
20．（2023秋•南昌期末）在3×3的网格中，有A（1，1）、B（3，0）、C三个格点，当△ABC是直角三
角形时，则点C的坐标可以是 ．
21．（2023春•上高县期末）如图，在数轴上方作边长为1的小正方形网格，以原点O为圆心，OB的长为
半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为 ．
22．（2023秋•白银期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），以点O为圆心，OA的长为半
径画弧，交网格线于点B（a，2），则a的值是 ．类型五 通过计算判断三角形的形状
23．（2023秋•忻州期末）在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
24．（2023春•玉州区期中）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，
所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
25．（2023春•思明区期末）如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，
A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（
）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
26．（2023秋•佛山期末）如图，在4×4的小正方形网格中，点A，B为格点，另取一格点C，使△ABC为
直角三角形，则点C的个数为（ ）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
27．（2023秋•泾阳县期末）如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你
根据所学的知识解决下面问题．
（1）求△ABC的周长；
（2）判断△ABC是不是直角三角形，并说明理由．
28．（2023秋•莲湖区期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在
小正方形的顶点上，请判断△ABC的形状，并说明理由．
类型六 求三角形（图形）的面积
29．（2023秋•南昌期末）如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，△ABC的三个顶点都在
格点上．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）图中线段BC的长为 ；
（3）△ABC的面积为 ；
（4）点P在y轴上，且△ABP的面积等于△ABC的面积，则点P的坐标为 ．30．（2023秋•长春期末）如图，A、B、C、D在边长为1的正方形网格的格点上．
（1）求四边形ABCD的周长．
（2）直接写出四边形ABCD的面积为 ．
31．（2023•新昌县模拟）一青蛙在如图所示的8×8的正方形网格（每个小正方形的边长为1）的格点上跳
跃，它每次所跳的距离均为❑√5，从点A开始连续跳8次正好回到点A，构成一个封闭图形，则封闭图
形面积的最大值为（ ）
A．16 B．20 C．24 D．28
类型七 在网格中作特殊三角形
32．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下
列要求画三角形．
（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2❑√2，❑√5；
（3）在图3中，画一个三角形，使它的三边都是无理数，并且构成的三角形是直角三角形．类型八 仅用无刻度的直尺在网格中作图
33．（2023春•武昌区期中）正方形网格中的每个小正方形的边长都是一个单位，每个小正方形的顶点叫
做格点．已知A、B、C均为格点，仅用无刻度的直尺作出符合下列问题的图形．
（1）在图1中，线段AB＝ ，∠ACB＝ 度；
（2）在图1中，在AB上作出点D，使得DA＝DC；
（3）在图2中，AB交其中一条网格线于点E，在平面中作一个点F，使得EF=❑√10；
（4）在图3中，点A是格点，点P在网格线上，将线段AP向左平移三个单位得线段MN．类型九 网格中的画图与计算的综合应用
34．（2023春•海淀区期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点，
其中格点A已在网格中标出，以格点为顶点按下列要求画图（不需要写画法）．
（1）在图中画一个△ABC，使其三边长分别为AB=❑√2，AC＝2❑√2，BC=❑√10；
（2）在（1）的条件下，计算：S△ABC ＝ ；BC边上的高为 （直接写出结果）；
（3）设直角三角形的两条直角边及斜边上的高分别为a，b及h，
1 1 1
求证： + = ．
a2 b2
ℎ
2
35．（2021春•新洲区期中）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：
（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；
（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出
PA+PB的最小值： ；
（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出 的最小值： ．
❑√x2+32+❑√(7−x) 2+4236．（2023春•高阳县期中）问题背景：
在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为❑√5、❑√10、❑√13，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时．先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 1），再在网格中画出格点
△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处）．如图①所示．这样不需求△ABC的高．而借用
网格就能计算出它的面积．
（1）请你将△ABC的面积直接填写在横线上 ；
思维拓展：
（2）我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法．若△ABC三边的长分别为❑√2，❑√13，❑√17，请利
用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的△ABC．
并求出它的面积
探索创新：
（3）若△ABC三边的长分别为❑√5a、2❑√2a、❑√17a（a＞0），请利用图（2）的正方形网格（每个小正
方形的边长为a）画出相应的△ABC．并求出它的面积．
（4）若△ABC三边的长分别为 、 ，2 （m＞0，n＞0，且m≠n），试运
❑√m2+16n2 ❑√9m2+4n2 ❑√m2+n2
用构图法求出这个三角形的面积．
