文档内容
专题09 二次函数的最值问题专训【七大题型】
【题型目录】
题型一 二次函数的定轴定区间求最值问题
题型二 二次函数的动轴定区间求最值问题
题型三 二次函数的定轴动区间求最值问题
题型四 二次函数的面积与最值问题
题型五 二次函数的两个图形面积最值问题
题型六 二次函数的线段最值问题
题型七 二次函数的最值综合问题
【经典例题一 二次函数的定轴定区间求最值问题】
【知识点1 定轴定区间】
对于二次函数 在 上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，
表示y的最大值， 表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在 时，取到最小值，无最大值．
（2）若 ，如图②，当 ， ；当 ， ．
（3）若 ，如图③，当， ；当 ， ．
（4）若 ， ，如图④，当 ， ；当 ， ．b b b b
x=- x=- x=- x=-
2a 2a 2a 2a
① ②
③ ④
【例1】（2023·浙江·一模）已知二次方程 的两根为 和5，则对于二次函数 ，
下列叙述正确的是（ ）
A．当 时，函数的最大值是9． B．当 时，函数的最大值是9．
C．当 时，函数的最小值是 ． D．当 时，函数的最小值是 ．
【变式训练】
1．（2023春·安徽宿州·九年级统考阶段练习）已知二次函数 ，关于该函数在 范围
内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值 B．有最大值4，有最小值
C．有最大值3，有最小值 D．有最大值3，有最小值
2．（2023春·湖南长沙·八年级校考期末）已知二次函数 ，当 时，函数y的最大值
为 ．
3．（2023春·江苏苏州·九年级专题练习）二次函数 的最小值是 ，最大值
是 ．
【经典例题二 二次函数的动轴定区间求最值问题】
【知识点2 动轴或动区间】对于二次函数 ，在 （m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论
m，n与 的大小．
【例2】（2023·河南省直辖县级单位·统考二模）已知抛物线 ，若 时，抛物线上
一点 满足：当 时， ，则m的值是（ ）
A．0 B． C．0或 D．0或4
【变式训练】
1．（2023·浙江·九年级专题练习）已知二次函数 ，当 时，y的最大值为 ，则a
的值为（ ）
A． 或6 B．0或6 C． 或2 D．2或6
2．（2023·吉林长春·长春市解放大路学校校考三模）已知二次函数 ，当
时，函数的最大值为 ，则m的值是 ．
3．（2023·安徽合肥·校考一模）已知二次函数 ，
（1）当 时，二次函数 的最大值为 ．
（2）当 时，二次函数 的最大值为6，则 的值为 ．
【经典例题三 二次函数的定轴动区间求最值问题】
【例3】（2023·浙江温州·校联考三模）已知二次函数 ，关于该函数在 的取值范围内，
下列说法项正确的是（ ）
A．若 ，函数有最大值5 B．若 ，函数有最小值5C．若 ，函数有最小值1 D．若 ，函数无最大值
【变式训练】
1．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知函数 ，当 时，函数的最大值是8，最小值是 ，
则 的值可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
2．（2023·安徽阜阳·统考二模）已知二次函数 的图象经过 ．
（1）该二次函数的对称轴为直线 ．
（2）当 时，若y的最大值与最小值之差为8，则m的值为 ．
3．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）二次函数 ，当 ，y的最小值是
，最大值是 ，则 ．
【经典例题四 二次函数的面积与最值问题】
【例4】（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，点 ， ， ， 均在函数l图
象上，P为该函数在第一象限内图象上一点， 轴于点E，当 的面积取最大值时， 的长为（
）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5
【变式训练】
1．（2022秋·江西宜春·九年级校考阶段练习）如图，抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）经过点C（0，3），点
P（m，n）从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对称轴 向下运动，给出下列说法：
①a=﹣1；
②抛物线的对称轴为x=﹣1；
③当点P，B，C构成的三角形的周长取最小值时，n=1；
④在点P从点A运动到顶点的过程中，当m=− 时， PAC的面积最大．
△
其中，所有正确的说法是（ ）A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①②④
2．（2023·广西北海·统考二模）如图，点E，F，G，H分别位于正方形 的四条边上，四边形
也是正方形，当正方形 的面积最小时， 的度数是 ．
3．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，已知 、 为两条定长的线段， ， ，
，点A、C分别为线段 ， 上的点（点C可与点P重合）， 、 ，若
，则四边形 面积的最大值为 ．【经典例题五 二次函数的两个图形面积最值问题】
【例5】（2023·山东泰安·校考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于
两点．与 轴交于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是抛物线第四象限上的一个动点，过点 作 交 于点 ．
①如图1，记 面积为 面积为 ，求 的面积最大值及此时点 的坐标．
②如图2，若将 沿直线 翻折得到 ，且点 落在线段 上，求此时点 的坐标．
【变式训练】
1．（2023·安徽合肥·校考三模）某花圃基地计划将如图所示的一块长 ，宽 的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为花卉种植区，分别种植 ，
， 三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是 ． ， ， 三种花卉每平方米的产值分别
是 百元、 百元、 百元．
(1)设育苗区的边长为 ，用含 的代数式表花卉 的种植面积是__________
(2)育苗区的边长为多少时， ， 两种花卉的总产值相等？
(3)若花卉 与 的种植面积之和不超过 ，求 ， ， 三种花卉的总产值之和的最大值．
2．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）如图1，经过原点O的抛物线 （a、b为常数， ）
与x轴相交于另一点 ．在第一象限内与直线 交于点 ，抛物线的顶点为C点．
(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D，使得 ？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线
OB交于点G．设 和 的面积分别为 和 ，求 的最大值．
3（2023·湖南长沙·校考三模）我们约定：图象关于 轴对称的函数称为偶函数．
(1)下列函数是偶函数的有________（填序号）；
① ；② ；③ ；④ ．
(2)已知二次函数 （ 为常数）是偶函数，将此偶函数向下平移得到新的二次函数
，新函数的图象与 轴交于 ， 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，若以 为直
径的圆恰好经过点 ，求平移后新函数的解析式；
(3)如图，已知偶函数 （ ）经过 ， ，过点 的一次函数的图象与二次函
数的图象交于 ， 两点（ 在 的左侧），过点 分别作 轴于点C， 轴于点 ，取
的中点 ，连接 、 ，分别用 ， ， 表示 ， ， 的面积，若 ．
①证明： ；
②求直线 的解析式．【经典例题六 二次函数的线段最值问题】
【例6】（2023春·福建福州·八年级福建省福州杨桥中学校考期末）已知抛物线 和直
线 ，且 ．
(1)求抛物线的顶点坐标；
(2)试说明抛物线与直线有两个交点；
(3)已知点 ，且 ，过点 作 轴的垂线，与抛物线交于点 ，与直线交于点 ，当 时，
求线段 长的最大值．
【变式训练】
1．（2020秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）已知抛物线 与x轴交于A、B两
点，顶点为C，连接 ，点P在线段 下方的抛物线上运动．(1)如图1，连接 ， ，若 ，求点P的坐标．
(2)如图2，过点P作 轴交 于点Q， 交 于点H，求 周长的最大值．
(3)如图3，直线 ， 分别与y轴交于点E，F，当点P运动时， 是否为定值？若是，试求出该
定值；若不是，请说明理由．
2．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）如图，在平面直角坐标系中，拋物线 与
轴交于 两点，与y轴交于点C．
(1)求 的面积；
(2)点P是直线 下方抛物线上一动点，过 作 于点 ，求线段 的最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿射线 平移 个单位得到新抛物线 ，新抛物线 与原抛物线 交于点 ，将 沿
直线 平移得到 （不与 重合），若以点 ， ， 为顶点的三角形是以 为腰的等腰
三角形，请直接写出所有符合条件的点 的坐标，并写出求解点 坐标的其中一种情况的过程．3．（2023·湖北襄阳·统考二模）函数 （ 为常数， ）．
(1)求出此函数图像的顶点坐标（用含 的式子表示）；
(2)当 时，此函数图像交 轴于点 （点 在点 的左侧），交 轴于点 ，点 为 轴下方图像
上一点，过点 作 轴交线段 于点 ，求线段 的最大值；
(3)点 ，连接 ，当此函数图像与线段 恰有两个公共点时，求出a的取
值范围．
【经典例题七 二次函数的最值综合问题】
【例7】（2023春·湖南长沙·八年级长沙市实验中学校考期末）在平面直角坐标系中，抛物线
（ ）经过点 ， 和 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)若直线 与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当 有最大值时，求出抛物线
上点M的坐标；
(3)若点P为抛物线 （ ））的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q
为平移后抛物线上一动点，在（2）的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，
求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．
【变式训练】
1．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，过点 的
直线 交抛物线于点 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点 是直线 下方抛物线 的一个动点，当 面积最大时，求点 的坐标及面积最大值．
(3)若点 是抛物线上的动点，在抛物线 的对称轴上是否存在点 ，使得以点 ， ， ，
为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接求出所有满足条件的点 的坐标；如果不存在，请说
明理由．
2．（2023·四川内江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于
， 两点．与y轴交于点 ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线 下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交 于点K，过点P作y轴的平行线
交x轴于点D，求与 的最大值及此时点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得 是以 为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
3．（2023·浙江·一模）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，且与x轴交于A，B两点，
与y轴交于C点，其中 ，连结 ．
(1)求点C的坐标及此抛物线的表达式；
(2)点D为y轴上一点，若直线 和直线 的夹角为 ，求线段 的长度；
(3)当 时，函数的最大值与最小值的差是一个定值，直接写出n的取值范围．
【培优检测】
1．（2023·浙江温州·校联考二模）已知函数 ，且 时， 取到最大值 ，则
的值可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江绍兴·统考一模）已知函数 ，当 时，函数的最大值是8，最小值是 ，
则 的值可能是（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
3．（2023·浙江杭州·统考一模）已知抛物线 ，该抛物线经过平移得到新抛物线 ，新抛物线与x轴
正半轴交于两点，且交点的横坐标在1到2之间，若点 ， 在抛物线 的图象上，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·浙江丽水·九年级期末）已知 ，且 ，令 ，则函数S的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·浙江·九年级开学考试）若函数 在x的一定取值范围内有最大值为0，最小值为
，满足条件的x的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·浙江衢州·九年级统考期末）已知二次函数 ，当 时，y的最小值为
，则a的值为（ ）
A．0或1 B．0或4 C．1或4 D．0或1或4
7．（2023·浙江金华·校联考二模）在平面直角坐标系中，设二次函数 ，
（a，b是实数， ）的最小值分别为m和n，则（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 ，
8．（2023秋·浙江绍兴·九年级校考期末）如图，矩形 中，已知 ， ，点 是边 上一
点，以 为直角边在与点 的同侧作等腰直角 ，连接 ，当点 在边 上运动时，线段 长
度的最小值是( )A． B． C． D．
9．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）二次函数 的最小值是______，最大
值是______．
10．（2022秋·浙江温州·九年级统考期中）已知当 时，二次函数 的函数值y大于
0，则 的取值范围为______．
13．（2022秋·九年级统考期中）如图，利用 的墙角修建一个四边形 的花坛，使得 ，
，如果新建围墙折线 总长15米，那么当 _______米时，花坛的面积会达到最大．
11．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知函数 ( 为常数)，当 时， 随 的
增大而增大， 是该函数图象上的两点，对任意的 和 ， 总
满足 ，则实数 的取值范围是_______．
12．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）若二次函数 的图象经过 ， 两点，则代
数式 的最小值为______．
13．（2022秋·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴、
轴分别交于 、 、 三点，点 是其顶点，若点 是 轴上一个动点，则 的最小值为
__________．14．（2023秋·湖北武汉·九年级校联考期末）已知抛物线 ， ， 是常数， 经过
点 ，下列结论：
① ：
②关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根；
③当 时， 随 的增大而减小；
④ 为任意实数，若 ，则代数式 的最小值是 ．
其中正确的是________(填写序号)．
15．（2023·四川成都·校考三模）定义：将函数 的图象绕点 旋转 ，得到新的函数 的图象，
我们称函数 是函数 关于点P的相关函数．如果当 时，函数 关于点
的相关函数的最大值为8，则m的值为______．
16．（2023·安徽·模拟预测）已知点 是抛物线 上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是______；
（2）当点M到直线 的距离不大于 时，b的取值范围是 ，则 的值为______．
17．（2023·四川成都·模拟预测）已知平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 ，且
．若点 ， 均在该抛物线上，且 ，则 最大值为________．
18．（2023·河南南阳·统考二模）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，已知点 ， ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当 时，求 的最大值与最小值；
(3)点 是抛物线上一动点，且到 轴的距离小于3，请直接写出点 的横坐标 的取值范围．
19．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）夏季即将到来，为满足大众需要，雪糕店推出了新款
盒装雪糕（分A、B两种，不可拆开售卖）共50盒，两款雪糕的成本均为15元/盒，假设购进的所有雪糕
均全部售出，且两款雪糕的销量均为正整数．
设A雪糕销售单价为x元（ ，x为整数），所获总利润为y（单位：元），已知当销售单价 时，
A雪糕的销量为40盒，在此基础之上，x每增加1元，销量就会减少2盒．B雪糕的销售单价恒为30元，
设卖出B雪糕所获总利润s（单位：元）
(1)用含x的代数式表示下列各量：
①卖出A雪糕所获利润 ___________；
②卖出B雪糕所获利润 ___________．
(2)在此次销售中，雪糕店所获总利润为w（单位：元），则当x为多少时w有最大值，并求出该最大值，
(3)每售出一盒B型雪糕，雪糕店的老板就向希望工程捐出a元（ ），若总利润的最大值为722元，
求a的值．20．（2023·湖北咸宁·统考二模）2022年北京冬季奥运会的吉祥物冰墩墩在冬奥会期间火遍全国．某网店
也借机售卖一款冰墩墩．进价为30元/个，规定单个销售利润不低于10元，且不高于31元，试销售期间
发现，当销售单价定为40元时，每天可以售出500个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个，该
网店决定提价销售，设销售单价为 元，每天销售量为 个．
(1)直接写出 与 的函数关系式及自变量 的取值范围；
(2)当销售单价为多少元时，每日销售利润为8960元？
(3)网店为响应“助力竐情防控，回馈社会，共渡难关”活动，决定每销售1个冰墩墩就捐赠 元
给希望工程，若每天扣除捐赠后可获得最大利润为8120元，则 的值是多少？
