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专题 1.1 三角形全章知识典例详解
【人教版】
知识点1 三角形的边
1．三角形的分类：注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角
（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）．
2．三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.
3．三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边．
即a、b、c三条线段可组成三角形 两条较小的线段之和大于最大的线段．
注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或
当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．
【典例1】（2023秋•东平县期末）图中的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【典例2】（2023秋•新乡县月考）如图是三角形按常见关系进行分类的图，则关于 P、Q区域的说法正确
的是（ ）
A．P是等边三角形，Q是等腰三角形
B．P是等腰三角形，Q是等边三角形
C．P是直角三角形，Q是锐角三角形
D．P是钝角三角形，Q是等腰三角形
【典例3】（2023秋•凉山州期末）已知a，b，c是三角形的三边长，化简：|a﹣b﹣c|+|b﹣c+a|+|c﹣a﹣b|
＝ ．
【典例4】（2024春•永寿县月考）三边长不等的△ABC的两条边长分别为2和3，则且第三边长为整数
值，则这个三角形的第三边长为 ．【典例5】（2024春•成华区期末）一个三角形的两边长分别是2和4，第三边长为偶数，则这个三角形的
周长是 ．
知识点2 三角形的高、中线与角平分线
1．三角形的角平分线：
①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角
平分线．
②性质：三角形的三条角平分线交于一点．
线段AD为 的一条角平分线
2．三角形的中线：
①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．
②性质：三角形的三条中线交于一点．
线段AD为BC边上的中线
3．三角形的高：
①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．
②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三
角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三
条高的交点是三角形的直角顶点．
总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点.
线段AD为BC边上的高
【典例1】（2024春•新野县期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于E．
F为AB上一点，CF⊥AD于H，下面判断正确的有（ ）
①CH是△ACD边AD上的高；
②BE是△ABD边AD上的中线；
③AD是△ABE的角平分线；④AH是△ACF的角平分线和高．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例2】（2024春•安源区月考）如图，在△ABC中，下列关于高的说法正确的是（ ）
A．线段AD是AC边上的高 B．线段CF是BC边上的高
C．线段CF是AC边上的高 D．线段BE是AC边上的高
【典例3】（2023秋•乌拉特前旗期末）若线段 AM、AN分别是△ABC中BC边上的高线和中线，则
（ ）
A．AM＞AN B．AM＞AN或AM＝AN
C．AM＜AN D．AM＜AN或AM＝AN
知识点3 三角形的稳定性
三角形的三边一旦确定，则三角形的形状和大小就确定，这是三角形的稳定性。
【典例1】（2024春•揭阳月考）如图所示的图形中具有稳定性的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②④ D．①②③
【典例2】（2023秋•香洲区期末）如图，一个六边形形状的木框，为使其稳定，工人师傅至少需要加固（
）根木条．A．2 B．3 C．4 D．5
知识点4 三角形的角
1．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°.
如图，在 中， ．
2．直角三角形的性质与判定：
①性质:直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形 ABC可以写成Rt△ABC.
②判定：有两个角互余的三角形是直角三角形.
如右图,在△ABC中,如果∠A+∠B=90°,那么△ABC是直角三角形.
3．三角形的外角：
①定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.
如图，∠ACD是△ABC的一个外角.
②性质:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的
内角；三角形的外角和等于360°．
注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外
角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的．
∠1+∠2+∠3=360°如：外角 ， ， ．
， ， ， ， ，
【典例1】（2024春•浦江县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝Rt∠，∠A＝30°，CE、CD分别是△ACB
的角平分线和高线，交AB于点E、D．则∠DCE的值为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【典例2】（2024•西和县二模）如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥BD，垂足为D，∠DAC＝20°，
∠C＝38°，则∠BAD＝（ ）
A．50° B．58° C．60° D．62°
【典例3】（2024春•建邺区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，B、C、E共线，则 、 、 之间
的数量关系是（ ） α β γ
A． + ＝ B．2 ﹣ ＝ C．2 ﹣ ＝ D．2 ﹣ ＝
【典例α4】β（γ2023秋•红古区期α 末β）如γ 图，BP是△AβBCα中∠γ ABC的平分线γ，αCPβ是△ABC的外角的平分
线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A等于（ ）A．30° B．40° C．50° D．60°
【典例5】（2024春•南山区校级期中）在下列条件：①∠A+∠B+∠C＝180°；②∠A：∠B：∠C＝1：
1 1 1
2：3；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A= ∠B= ∠C；⑤∠A＝∠B= ∠C中，能确定△ABC为直角三
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角形的条件有 ．
【典例6】（2024春•普陀区校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠CAD＝40°，
∠CEA＝70°，则∠EAB＝ ．
【典例7】（2024春•丹徒区期末）如图，∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，BF和CG分别是∠ABD和
∠ACE的角平分线，延长FB和GC交于点H．设∠A＝ ，∠H＝ ，则 与 之间的数量关系为
． α β α β
知识点5 多边形及其内角和
1．多边形相关概念
定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线多边形组成的角叫做多边形的外角.如图，∠1是五边形ABCDE的一个外角.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形
就是凸多边形.
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.
一个n边形从一个顶点出发有 360° 条对角线,所有对角线的数量是 360° 条.
2．多边形的内角和、外角和
多边形的内角和计算：多边形的内角和计算公式为(n-2)×180°(n≥3，n是正整数)。
多边形的外角和计算：任意多边形的外角和都等于 360° ，它与边数的多少无关.
正多边形的每个内角度数计算： 360° ，每个外角度数计算：360°
【典例1】（2023秋•微山县校级月考）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【典例2】（2024秋•柘城县校级月考）一个正多边形，它的每个内角都等于相邻外角的 5倍，则这个多边
形是（ ）
A．正五边形 B．正十边形
C．正十二边形 D．不存在
【典例3】（2024春•宛城区月考）正多边形的一个内角等于它相邻外角的4倍，则此正多边形是（ ）
A．正九边形 B．正十边形
C．正十一边形 D．正十二边形
【典例4】（2023秋•柳州期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个四边形，则原
多边形纸片的边数不可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例5】（2023秋•灵丘县校级月考）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如
图的五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5的度数
和为（ ）A．180° B．360° C．540° D．720°
【典例6】（2024春•仓山区校级月考）如图，正五边形ABCDE和正方形CDFG的边CD重合，连接EF，
则∠AEF的度数为（ ）
A．27° B．28° C．29° D．30°
