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专题 10 几何图形旋转压轴题的三种考法
类型一、旋转最值问题
例．如图，点E是边长为4的正方形 内部一点， ，将 按逆时针方
向旋转 得到 ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】．如图，在矩形 中， ，连接 ，
将线段 绕着点A顺时针旋转 得到 ，则线段 的最小值为 ．
【变式训练2】．如图， 是边长为6的等边三角形，点E为高 上的动点．连接
，将 绕点 顺时针旋转 得到 ．连接 ， ， ，则 周长的最小值
是 ．【变式训练3】．如图，平行四边形 中， ，E是边 上
一点，且 是边 上的一个动点，将线段 绕点E逆时针旋转 ，得到 ，
连接 ，则 的最小值是 ．
类型二、三角形中的旋转问题
例．如图，在 中， ，将 绕点C旋转一定的角度得到
，点D恰好落在边 上．
(1)求证： 平分 ；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【变式训练1】（1）如图1，过等边 的顶点A作 的垂线l，点P为l上点（不与
点A重合），连接 ，将线段 绕点C逆时针方向旋转60°得到线段 ，连接 ．
①求证： ；
②连接 并延长交直线 于点D．若 ， ，求 的长；（2）如图2，在 中， ，将边 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，连
接 ，若 ， ，求 长．
【变式训练2】．如图1，有等边 和等边 ，将 绕点 顺时针旋转，得到
图2所示的图形．
(1)求证： ；
(2)如图3，若 ， ，且旋转角为 时，求 的度数；
(3)如图4，连接 ，并延长 交 于点 ，若 旋转至某一位置时，恰有
， ，求 的值．
【变式训练3】．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识
相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：
如图， 和 均为等腰直角三角形， ，点D为 中点，
绕点D旋转，连接 、 ．
观察猜想：（1）在 旋转过程中， 与 的数量关系为______；
实践发现：（2）当点M、N在 内且C、M、N三点共线时，如图，求证：
；
解决问题：（3）若 中， ，在 旋转过程中，当 且C、M、N
三点共线时，直接写出 的长．类型三、四边形中的旋转问题
例．如图，在矩形 中， ， ，将矩形 绕点A逆时针旋转至矩形
，旋转角为 ，当点C， 和 三点共线时， 的长为（ ）．
A． B． C． D．
【变式训练1】．在平面内，旋转变换指某一个图形绕一个定点按顺时针或逆时针旋转一
定的角度而得到新位置图形的一种变换．
活动一，如图①，在直角三角形 中， 为斜边 上的一点， ， ，且四
边形 是正方形，在求阴影部分面积时，小明运用图形旋转的方法，将 绕点
逆时针旋转 ，得到 （如图②所示），小明立刻就得到了答案，请你写出阴影部
分的面积．
活动二：如图③，在四边形 中， ， ， ， ，
过点 作 于点 ，小明仍运用图形旋转的方法，将 绕点 逆时针旋转 ，
得到 （如图④所示），则：
（1）四边形 是怎样的特殊四边形？答：______；
（2） 的长是______．
活动三：如图⑤，在四边形 中， ， ， 为 中点，连接、 ．若 ， ，求 的长．
【变式训练2】．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，
下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形 的边
上， ，连接 ，试猜想 之间的数量关系
图1 图2 图3
(1)思路梳理：
把 绕点A逆时针旋转 至 ，可使 与 重合，由 ，得，
，即点F、D、G共线，易证 _________，故 之间的数
量关系为_________．
(2)类比引申：
如图2，点E、F分别在正方形 的边 的延长线上， ．连接 ，
试猜想 之间的数量关系为_________，并给出证明．
(3)联想拓展：
如图3，在 中， ，点D、E均在边 上，且
．若 ，直接写出 和 的长．
【变式训练3】．综合与实践：
问题情景：如图1、正方形 与正方形 的边 ， 在一条直线上，
正方形 以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α，在旋转过程中，两个正方形只
有点A重合，其它顶点均不重合，连接 ， ．(1)操作发现：当正方形 旋转至如图2所示的位置时，求证： ；
(2)操作发现：如图3，当点E在 延长线上时，连接 ，求 的度数；
(3)问题解决：如图4， 如果 ， ， ，请直接写出点G到 的距离．
课后训练
1．如图，在 中，点 在 上，连接 ， ，点 在 上，连接 ，
，若 ， 的面积为 ，则 的长为 ．
2．如图，等腰直角 中， ， ，点 是边 上一点，将 绕点
顺时针旋转 到点 ，则 长的最小值是 ．
3．如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为
中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ， ，则 的最小值为
．4．如图，在四边形 中， ， ，将边 绕点 顺时针旋转 后，
点 恰好落在边 上的点 处，已知 ，则 的长度为 ．
5．在 中， ， ，点D，E是边 ， 的中点，连接 ，
，点M，N分别是 和 的中点，连接 ．
(1)如图1， 与 的数量关系是_________；
(2)如图2，将 绕点A顺时针旋转，连接 ，请写出 和 的数量关系，并就图
2的情形说明理由；
(3)在 的旋转过程中，当B，D，E三点共线时，求线段 的长．
