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2023年高考押题预测卷03
理科数学·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B D C D D C B B D D D C
13 3 14. ①③④ 15. 16.
17．
【详解】（1）由 得 即
，即 ，又 ，所以 ............................4分
（2）当 时， ，
当 时， ，............................6分
两式相加可得 ，得 ，............................8分
由于 ，所以
............................12分
18．
【详解】（1）记“甲取红球”为事件 ，“甲取黄球”为事件 ，“甲取蓝球”为事件 ，“乙
取红球”为事件 ，“乙取红球”为事件 ，“乙取红球”为事件 ，
则由已知可得， ， ， ， ， ， ........3
分
由已知，乙胜可以用事件 来表示，
根据独立事件以及互斥事件可知， ..................5分（2）由题意知， ， ， .
用随机变量 来表示乙得分，则 可取 ,............................6分
则 ， ， ，
所以 .............................8分
所以 .
因为 ，所以 ，且 ， ， ，
所以 ，............................11分
当且仅当 ， ， 时，等号成立.
所以，乙得分均值的最大值为 ，此时 ， ， .............................12分
19．
【详解】（1）如图，设E，F分别为棱PB和PC的中点，连接AE，EF，FD，
则 ，且 ，
又 ， ，所以 ，且 ，
所以四边形ADFE为平行四边形，故 ，............................2分
因为 ，E为棱PB的中点，所以 ，
又M为棱AP的中点，所以 ，故 ，
又 平面PDC， 平面PDC，所以 平面PDC；............................5分
（2）设 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 和 为等边三角形，
设O为棱CD的中点，连接OP，OB，故 ，
又 ， ， ， 平面POB， 平面POB，
所以 平面POB．又 平面ABCD，所以平面 平面ABCD，
故直线PB与平面ABCD所成的角为 ，所以 ，又 ，所以 ，
综上OP，OB，OC两两垂直，以 为坐标原点，以OB，OC，OP分别为x轴、y轴、z轴，... .7
分
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则 ， ， ， ，
因为 ，所以 ，
又 为棱 的中点，则 ，............................8分
所以 ， ， ，
设 为平面MCD的法向量，
则 ,即 ，令 ，可得 ，...........................9分
设 为平面BMD的法向量，
则 ，即 ，令 ，可得 ，............................10分
所以 ，
故平面BMD与平面MCD夹角的余弦值为 .............................12分
20．
【详解】（1）根据题意可知C的一条渐近线方程为 ，设 到渐近线 的距离为 ，............................3分
所以 ，
所以 的方程为 ............................5分
（2）设C的左顶点为A，则 ,
故直线 为线段 的垂直平分线.
所以可设PA， 的斜率分别为 ，故直线AP的方程为 .............................6分
与C的方程联立有 ，
设B ），则 ，即 ，所以 ...........................7分
当 轴时， ， 是等腰直角三角形，
且易知 ............................8分
当 不垂直于x轴时，直线 的斜率为 ，故 ............................9分
因为 ，
所以
所以
因为
所以所以 为定值，............................12分
21
【详解】（1）因为 ，所以 ，
令 ，则 ， .
①当 时， ， 单调递增，无极值点；.........................2分
②当 时， ， 单调递减，
， .
故存在唯一 ，使得 ...........................3分
当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减， 有极大值点 ；
综上 在区间 上有1个极值点...........................5分
（2）若 为 的极值点，则 ， ，
所以 ，......7分
令 ， ，即 ，
记 )，即 ；
①当 时 ，故g(t)在 上单调递增， ，符合题意； .......9分
②当 时，若 ，则 ，故 在 上单调递减.
由（1）知 在区间 上存在极值点，记为 ，则 ，.............11
分故 ，不符题意；
综上，整数 的最大值为1...........................12分
22.
【详解】（1）因为 ，所以 ，。。。。。。。。。
所以 ，
整理得 ，
曲线C的直角坐标方程为 ，
所以 其中 为参数．
则对应的参数方程为 其中 为参数． .........................5分
（2）由（1）参数方程可设 ，
则由 ，
得 其中 为参数．
对应的直角坐标方程为 ，
圆心 到l距离 ，则 与l相离．.........................10分
23.
【详解】（1）证明：由柯西不等式有
，........................4分
当且仅当 时，等号成立，
故 ..........................5分
（2）解： ，所以， ，所以，
，......................8分
若第一个等号成立，即 ，即 时，
第二个等号若要成立，则要满足 ，此时 ，故等式可成立．
所以， ，当且仅当 时，等号成立........................10分
