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专题 10 动角问题压轴题的五种考法全梳理
目录
【考法一、求角度】.......................................................................................................................1
【考法二、求角的运动时间】.......................................................................................................3
【考法三、角度之间数量关系】...................................................................................................5
【考法四、角度定值问题】...........................................................................................................7
【考法五、角度中的新定义问题】...............................................................................................9
【课后练习】................................................................................................................................11
【考法一、求角度】
例．已知一副三角板按如图1的方式拼接在一起，边 与直线 重合，其中
．
(1)求图1中的 的度数；
(2)如图2，三角板 固定不动，将三角板 绕着点 按顺时针方向旋转一个角度 ，
其中 ．
①当三角板 的一边平分 时，求旋转角 的度数；
②是否存在 ？若存在，求此时 的度数；若不存在，请说明理由．变式1．如图， ，射线 在 内部，且 ，射线 分
别在 内部．
(1)若 ，说明： 平分 ；
(2)若 ， 平分 ，求 的度数；
(3)将 沿射线 折叠，得到 ，若 ，设 的度数为x°，
用含x的代数式表示 的度数．
变式2．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知
，射线 ， 分别是 和 的角平分线．
(1)如图1，若射线 在 的内部，且 ，求 的度数；
(2)如图2，若射线 在 的内部绕点 旋转，求 的度数
(3)若射线 在 的外部绕点 旋转（旋转中 ， 均指小于 的角），
其余条件不变，请借助图3探究 的大小．变式3．如图， ， ， 平分 ， 平分 ．
(1)求 的度数；
(2)将 绕着点 顺时针旋转，仍然分别作 ， 的平分线 ， ，能否求
出 的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；
(3)若 （ ）， ，仍然分别作（ ）中操作，能否求出
的度数？若能，直接写出 的度数．
【考法二、求角的运动时间】
例．如图两个形状、大小完全相同的含有 ， 的三角板如图1放置，
， 、 与直线 重合，且三角板 ，三角板 均可以绕
点 旋转．
(1)将图1中的三角板 保持不动，三角板 绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋
转一周，如图2，经过 秒后， 平分 ，求此时 的值；
(2)将图1三角板 绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周的同时，三角板
也绕点 以每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间边 与 首次重
合；
(3)如图③，将图1三角板 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，同时三角板 绕点
以每秒 的速度逆时针旋转，(当 转到与 重合时，两三角板都停止转动)，在旋转
过程中， 、 、 三条射线中，得到三个角 ， ， ，当这三个角中有一个角是另外一个角的2倍时，直接写出旋转的时间 的值．
变式1．将一副三角板按图1摆放，把它抽象成几何图形，便得到图2，已知 ，
．保持三角板 不动，将三角板 绕点C以每秒 的速度顺时针转动
（即三角板 的每一条边都绕点C以相同速度顺时针转动），如图3所示，设转动时间
为t秒（ ）．
(1)当 时， 平分 ，此时 度；
(2)在三角板 转动的过程中，请判断 与 有怎样的数量关系，并说明理由；
(3)如图4，在三角板 转动的过程中，分别作 和 的平分线 和 ，请
求出当t为何值时， ．
变式2．如图，把一副三角尺拼在一起，其中三角形 是等腰直角三角形， ，
并且B，C，E三点在同一直线上．
(1)如图1，求 的度数；
(2)如图2，若射线 ， 分别从 ， 位置开始，同时绕点 以每秒 的速度顺时
针匀速旋转 ， 平分 ， 平分，设旋转的时间为 秒．
①当 时， 的度数是否等于一个定值？若是，请求出这个定值；若不是，请
说明理由；
②当 为何值时， ？
变式3．如图，射线 、 在 内部，且满足 ，其中
．射线 、 同时分别从射线 、 出发，射线 以每秒 的速度顺
时针旋转，射线 以每秒 的速度逆时针旋转， 所在区域为“转换区”：当
从射线 进入“转换区”，其速度变为射线 的旋转速度，当射线 从射线 进入
“转换区”，其速度变为射线 的旋转速度，出“转换区”后都分别以各自原来的速度
旋转，设旋转的时间为 秒．
(1)分别求出 的度数．
(2)当射线 与射线 重合时，求 的值及此时 的度数．
(3)当射线 与射线 重合时停止旋转，求满足 时 的值．
【考法三、角度之间数量关系】
例．已知线段 ， ，线段 在线段 上运动，E、F分别是 、
的中点．
(1)若 ，则 ______cm．
(2)当线段 在线段 上运动时，试判断 的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度；如果变化，请说明理由．
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知 在 内部转动， 、
分别平分 和 ，若 ， ，则 ______．由
此，你猜想 、 和 有怎样的数量关系．（直接写出猜想即可）
变式1．定义：从 的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将
分得的两个角中有一个角与 互为补角，则称该射线为 的“好线”．如图，点O
在直线 上， 在直线 上方，且 ，射线 是 的“好线”．
(1)若 ，且OE在 内部，求 的度数；
(2)若OE恰好平分 ，求 的度数；
(3)若OF是 的平分线，OG是 的平分线，直接写出 与 的数量关
系．
变式2．定义：从 （ ）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线
将 分得的两个角中有一个角与 互为补角，则称该射线为 的“好线”．如图，点
在直线 上， 在直线 上方，且 ，射线 是 的“好线”；
(1)若 ，且 在 内部，则 ；
(2)若 恰好平分 ，请求出 的度数；
(3)若 是 的平分线， 是 的平分线，请画出图形，探究 与
的数量关系，并说明理由．变式3．将一副直角三角板如图1摆放在直线 上（直角三角板 和直角三角板 ，
， ， ， ），保持三角板 不动，将
三角板 绕点O以每秒 的速度顺时针旋转直至 边第一次重合在直线 上
(1)当 秒时， 平分 ；
(2)①如图2，旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的异侧，则 与
数量关系为 ；
②如图3，继续旋转三角板 ，使得 、 同时在直线 的右侧，猜想 与
有怎样的数量关系？并说明理由．
(3)若在三角板 开始旋转的同时，另一个三角板 也绕点O以每秒 的速度顺时针
旋转，当 旋转至直线 上时同时停止．请直接写出在旋转过程中 与 的
关系．
【考法四、角度定值问题】
例．如图1，点O在直线 上，射线 、 在直线 上方， ，
．(1)若 ，请说明射线 是 的角平分线；
(2)射线 在直线 上方， 平分 ， ，
①当 时，求 的度数
②当 时，是否存在常数k使得 的值为定值？若存在，请
求出常数k的值，若不存在，请说明理由．
变式1．如图，两条直线 ， 相交于点 ，且 ，射线 从
开始绕 点逆时针方向旋转，速度为每秒 ，射线 同时从 开始绕 点顺时针方向
旋转，速度为每秒 ，运动时间为 秒（ ，本题出现的角均不大于平角）．
(1)当 时， 的度数为________度， 的度数为________度．
(2) 为何值时， ．
(3)当射线 在 的内部时，探究 是不是一个定值？若是，请求
出这个定值．
变式2．如图，已知 ，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角 和
，并且 ， 平分 ， 平分 ．若设
．
(1)当射线 在 内时．
①若 ，求x的值；②若 是 内的一条射线，且 ，判断 是图中哪个角的平分线，
并说明理由；
(2)改变 的大小，探究 的大小是否发生变化？若不变，请求
出它的值；若变化，请说明理由．
变式3．如图，已知 ，以O为顶点，OA为一边顺次往外画两个锐角 和
，并且 ， 平分 ， 平分 ．若设
．
(1)当射线 在 内时．①若 ，求x的值；
②若 是 内的一条射线，且 ，判断 是图中哪个角的平分线，
并说明理由；
(2)改变 的大小，探究 的大小是否发生变化？若不变，请求
出它的值；若变化，请说明理由．
【考法五、角度中的新定义问题】
例．【新概念】如图1， 为 内一条射线，当满足 时，我们把射
线 叫做射线 的m等个性线，记作 ．（其中m为正整数）
【实际应用】已知： 为直线 上一点，过 点作射线 ．
(1)如图2，将一个三角板（含 ）直角顶点D放在 处，另两条边分别为 ，
当DE是 时， ．（填“是”或“不是”）．(2)如图3，将三角板的 顶点E放在O处，那么当 是 时， 是否也是
?请先猜想结果，再说明理由．
(3)将图3中的射线 绕O点逆时针旋转 ，如图4，此时存在正整数m使
是 的同时， 也是 ，则 ．
变式1．如图，直线 与直线 相交于点O， ． 已知 ，
绕点O在平面内旋转，旋转前，边 与射线 重合，边 与射线 重合． 将
绕点O按每秒 的速度沿顺时针方向旋转一周．
(1)如图1，从 旋转开始至 边与射线 重合时，共需多少秒？
(2) 旋转至如图2所示位置时，试说明 与 有何数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知 ， 绕点O在平面内旋转，旋转前，边 与射线 重
合，边 与射线 重合． 若在 旋转过程中， 绕点O以每秒 的速度绕
点O沿逆时针方向旋转，当 停止旋转时， 也停止旋转，旋转过程中，当边
所在直线恰好平分锐角 时，求出旋转时间．
变式2．若 ，我们则称 是 的“绝配角”．例如：若 ，
，则 是 的“绝配角”，请注意：此时 不是 的“绝配角”．
(1)如图1，已知 ，在 内存在一条射线 ，使得 是 的
“绝配角”，此时 ______：（直接填写答案）
(2)如图2，已知 ，若平面内存在射线 、 （ 在直线 的上方），使
得 是 的“绝配角”， 与 互补，求 大小：(3)如图3，若 ，射线 从 出发绕点O以每秒 的速度逆时针旋转，射线
绕点O从 出发以每秒 的速度顺时针旋转， 平分 ， 平分 ，
运动时间为t秒（ ）．
①当 时， 是 的“绝配角”，求出此时t的值：
②当 时， ______时， 是 的“绝配角”（直接填写答案）．
变式3．如果两个角的差的绝对值等于 ，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫
做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于 小于 的角），例如 ，
， ，则 和 互为“伙伴角”，即 是 的“伙伴角”，
也是 的“伙伴角”．
(1)如图1．O为直线 上一点， ， ，则 的“伙伴
角”是_______________．
(2)如图2，O为直线 上一点， ，将 绕着点O以每秒 的速度逆时针
旋转得 ，同时射线 从射线 的位置出发绕点O以每秒 的速度逆时针旋转，
当射线 与射线 重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，
与 互为“伙伴角”．
(3)如图3， ，射线 从 的位置出发绕点O顺时针以每秒 的速度旋转，
旋转时间为t秒 ，射线 平分 ，射线 平分 ，射线 平分
．问：是否存在t的值使得 与 互为“伙伴角”？若存在，求出t值；若
不存在，请说明理由．
【课后练习】
1．已知 ， 为 内部的一条射线， ．
(1)如图1，若 平分 ， 为 内部的一条射线， ，则；
(2)如图2，若射线 绕着O点从 开始以每秒 的速度顺时针旋转至 结束、 绕
着O点从 开始以每秒 的速度逆时针旋转至 结束，当一条射线到达终点时另一条射
线也停止运动．若运动时间为t秒，当 时，求t的值；
(3)如图3，若射线 绕着O点从 开始以每秒 的速度逆时针旋转至 结束，在旋转
过程中， 平分 ，试问： 在某时间段内是否为定值？若不是，
请画出图形，并说明理由；若是，请画出图形，并直接写出这个定值以及t相应所在的时
间段．（题中的角均为大于 且小于 的角）
2．对于四条具有公共顶点的射线，如果其中两条射线构成的角α位于另两条射线构成的角
β内，且α等于β的一半，那么我们把角α称为角β的内半角，这四条射线称为成内半角射
线组．
(1)如图1，已知 ， ， 是 的内半角，则 度．
(2)下列各图中，已知 ， ， ，那么其中射线 、 、
、 为成内半角射线组的是 ．
(3)如图2，已知 ，现将射线 、 同时绕顶点O以5度/秒的速度顺时针旋转，
对应得到射线 、 ．问：在旋转一周的过程中，射线 、 、 、 能否为成
内半角射线组？如果能，请直接写出旋转的时间；如果不能，请说明理由．3．综合应用：
三角尺是我们学习数学常见的工具，同时也因它的应用广泛性，常常作为命题的素材．
【数学来源于生活】
动手实践：将一副三角尺按甲、乙、丙、丁四种不同方式摆放．
(1)在_________的摆放方式中 与 互余；在_________的摆放方式中 与 互补
(2)在哪种摆放方式中 与 相等？请说明理由．
(3)【抽象数学问题】如图1所示，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．若
，则 _________ ；若 ，则 _________ ．
(4)如图2所示，若两个同样的三角板，将 锐角的顶点A叠放在一起，则 与
有何数量关系，请说明理由．4．已知 在 的内部， ， 是 补角的 ．
（本题出现的角均指不大于平角的角）
(1)如图1，求 的值；
(2)在（1）的条件下， 平分 ，射线 满足 ，求 的大小；
(3)如图2，若 ，射线 绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，同时射线 以
每秒 的速度绕点 顺时针旋转，当射线 与 重合后，再以每秒 的速度绕点 逆
时针旋转．设射线 ， 运动的时间为 秒（ ），当 时，
请直接写出 的值______．
5．如图1，如图点 为线段 上一点，一副直角三角板的直角顶点与点 重合，直角边
在线段 上， ．(1)将图1中的三角板 绕点 沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若 ，
则 ______；猜想 与 的数量关系为______；
(2)将图1中的三角板 绕点 沿顺时针方向按每秒 的速度旋转一周，三角板 不
动，请问几秒后 所在的直线平分 ？
(3)将图1中的三角板 绕点 沿逆时针方向按每秒 的速度旋转两周，同时三角板
绕点 沿逆时针方向按每秒 的速度旋转（随三角板 停止而停止），请直接写
出几秒后 所在的直线平分 ？
6．已知 ，过顶点O作射线 ，若 ，则称射线 为 的
“好线”，因此 的“好线”有两条，如图1，射线 ， 都是 的“好
线”．
(1)已知射线 是 的“好线”，且 ，求 的度数．
(2)如图2，O是直线 上的一点， ， 分别是 和 的平分线，已知
，请通过计算说明射线 是 的一条“好线”．
(3)如图3，已知 ， ，射线 和 分别从 和 同时出发，
绕点O按顺时针方向旋转， 的速度为每秒 ， 的速度为每秒 ，当射线 旋转
到 ，立即绕点O按逆时针方向旋转，直至射线 与 重合时，两条射线同时停止．
在旋转过程中，射线 能否成为 的“好线”．若不能，请说明理由；若能，请求
出符合条件的所有的旋转时间．
7．将一副直角三角板按如图1摆放（ ， ），点D，C，A都在直线
上，保持三角板 不动，将三角板 绕点C以每秒 的速度，顺时针方向旋转．
三角板 的旋转时间为t秒，旋转一周回到原位则停止．（本题中的角均大于 且小于
或等于 ）(1)当 与 重合时，求t的值；
(2)如图2， 平分 ， 为 的三等分线，且 ．
①当 时，求 的值；
②在三角板 旋转一周的过程中，若 ，直接写出t的值为______．
8．已知 ，且 ．
(1)填空： ， ， 与 的关系是 ；
(2)如图， 的边 与 的边 重合，将 绕点O逆时针旋转
，问旋转多少度时， ？
(3)当旋转的度数n满足 时，问旋转过程中， 与 是否一直存在某种
特殊关系？若是，请求出这种关系；若不是，请说明理由．
9．直线 相交于点 ， ，射线 平分 ．（本题中所有角的度
数均不超过 ）(1)若 ，
①将 绕点 旋转至图①的位置， ， ______ ．
②将 绕点 旋转至图②的位置， 与 有怎样的数量关系？请说明理由．
(2)如图③，若 ，将 绕点 顺时针旋转一周，请直接写出在整个旋转过
程中 与 的数量关系．
