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专题 10 圆中的最值模型之瓜豆原理（曲线轨迹）
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该
压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型
的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原
理（动点轨迹为圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
模型1、运动轨迹为圆弧
模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-2. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=k AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。
则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。
模型1-3. 定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折
中）
如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，
则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。模型1-4. 定边对定角（或直角）模型
1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧．
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。
P
P
P P P
P
A B
O
A B
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半
径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
例1.（2023.重庆九年级期末）如图，点P（3，4），圆P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是
圆P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是_______．
【答案】1.5
【解析】由题意可知M点为主动点，C点为从动点，B点为定点．
∵C是BM中点，可知C点轨迹为取BP中点F，以F为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨迹，如图所示：
由题中数据可知OP＝5，又∵点A、F分别是OB、BP的中点，∴AF是△BPO的中位线，∴AF＝2.5，当M运动到如图位置时，AC的值最小，此时A、C、O三点共线，∴AC＝2.5－1＝1.5.
例2．（2023春·湖北黄石·九年级校考阶段练习）如图，四边形 为正方形，P是以边 为直径的
上一动点，连接 ，以 为边作等边三角形 ，连接 ，若 ，则线段 的最大值为
．
【答案】 /
【分析】连接 、 ，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ，通过证明
，得出 ，从而得出点Q在以点 为圆心， 为半径的圆上运动；则当
点O， ，P三点在同一直线上时， 取最大值，易证 为等边三角形，求出 ，即
可求出 ．
【详解】解：连接 、 ，将 绕点B逆时针旋转 得到 ，连接 ，
∵ 绕点B逆时针旋转 得到 ，∴ ， ，
∵ 为等边三角形，∴ ， ，
∴ ，即 ，在 和 中， ，∴ ，
∵ ，四边形 为正方形，∴ ，则 ，
∴ ，∴点Q在以点 为圆心， 为半径的圆上运动；
∴当点O， ，P三点在同一直线上时， 取最大值，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∵ ， ， ∴ 为等边三角形，∴ ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查看瓜豆模型——圆生圆模型，解题的关键是确定从动点Q的运动轨迹，以及熟练掌
握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质．
例3.（2023.浙江九年级期中）如图，正方形ABCD中， ，O是BC边的中点，点E是正
方形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．求线
段OF长的最小值．
D
A
E F
B O C
【解析】E是主动点，F是从动点，D是定点，E点满足EO=2，
故E点轨迹是以O为圆心，2为半径的圆．
考虑DE⊥DF且DE=DF，故作DM⊥DO且DM=DO，F点轨迹是以点M为圆心，2为半径的圆．
直接连接OM，与圆M交点即为F点，此时OF最小．可构造三垂直全等求线段长，再利用勾股
定理求得OM，减去MF即可得到OF的最小值．答案为A D A D
M M
F
E E
F
B O C B O C
例4．（2020·凉山州·中考真题）如图，矩形ABCD中，AD=12，AB=8，E是AB上一点，且EB=3，F是
BC上一动点，若将 沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距为 ．
【答案】
【分析】如图 ，连接 利用三角形三边之间的关系得到 最短时 的位置，如图 利用勾股定
理计算 ，从而可得答案．
【详解】解：如图 ，连接 则 ＞ ，
为定值， 当 落在 上时， 最短，
图1 图2
如图 ，连接 ， 由勾股定理得：
即 的最小值为： 故答案为：
【点睛】本题考查的是矩形的性质，考查利用轴对称求线段的最小值问题，同时考查了勾股定理的应用，
掌握以上知识是解题的关键．例5．（2022·湖北·武汉模拟预测）如图，在矩形ABCD中，动点E、F分别从C、D两点同时出发在边
BC、CD上移动（其中一点到达终点时另一点也随之停止），其中点F的运动速度是E的两倍，连接AF
和DE交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动．若AD＝4，CD＝2，线段CP的最小值是
____________．
【答案】
【分析】由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径以AD中点为圆心，AD的一半为半径的弧
DG，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求
CP即可．
【详解】如图：由于点P在运动中保持∠APD=90°，
点P的路径是一段以AD中点为圆心，AD的一半为半径的弧，
设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，
AD＝4，CD＝2，
在Rt△QDC中，QC= ∴CP=QC-QP= 故答案为：
【点睛】本题考查了90°角所对的圆周角是直角，勾股定理，求一个点到圆心的距离，找到 的轨迹是解
题的关键．
例6．（2022·安徽·三模）如图，点P是边长为6的等边 内部一动点，连接BP，CP，AP，满足
，D为AP的中点，过点P作 ，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】在 中， ，易得 ，故点P在 的外接圆的弧BC上，当
时，AP有最小值 ，则DE的最小值是 ．
【详解】解：如图所示，∵PE⊥AC，∴ 是直角三角形，
∵D为AP的中点，∴DE= AP，∴当AP最小时，DE最小．
∵ 是等边三角形，∴∠1+∠PBC=60º，
∵∠1=∠2，∴∠2+∠PBC=60º，∴∠BPC=180º-(∠2+PBC)=120º，
∴点P在 的外接圆的 上，
找出 的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是 ，
∴当 时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F，
此时∠PFC=90º，∠PBC=∠PCB=30º，FC= BC= =3，
∴PF=FC·tan∠PFC=3× = ，AF= = =3 ，
∴AP的最小值=AF-PF=3 - =2 ，∴DE的最小值= AP= ×2 = ．故选：D．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；解题的
关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题．
课后专项训练
ABCD CF,DF
1．（2021·内蒙古·中考真题）如图，已知正方形 的边长为6，点F是正方形内一点，连接 ，
ADF=DCF AD EB,EF EBEF
且 ，点E是 边上一动点，连接 ，则 长度的最小值为________．3 13
【答案】 -3
【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，
如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接
PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
ADF=DCF
∵ ，∴∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠DFC＝90°，∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，
连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，
PG2＋OG2 62 92 3 13
∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OP＝ ，
3 13 3 13 3 13
∴FP＝ -3，∴BE＋FE的长度最小值为 -3，故答案为： -3．
【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短
距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．2．（2022·湖北·武汉九年级阶段练习）如图， 是 的直径， ，C为 的三等分点（更靠近A
点），点P是 上一个动点，取弦 的中点D，则线段 的最大值为__________．
【答案】 +1
【分析】如图，连接OD，OC，首先证明点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点D在CK
的延长线上时，CD的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题．
【详解】解：如图，连接OD，OC，
∵AD＝DP，∴OD⊥PA，∴∠ADO＝90°，
∴点D的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，AC，当点D在CK的延长线上时，CD的值最大，
∵C为 的三等分点，∴∠AOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴CK⊥OA，
在Rt△OCK中，∵∠COA＝60°，OC＝2，OK＝1，∴CK= ，
∵DK＝ OA＝1，∴CD＝ +1，∴CD的最大值为 +1，故答案为： +1．
【点睛】本题考查圆周角定理、轨迹、勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是正确寻找点D
的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考阶段练习）如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A
按顺时针方向旋转α度（0 α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长
度的最小值为 ．【答案】 ﹣1
【分析】根据点D和点M关于AE对称，即可得到AD与AM相等，确定点M的运动轨迹是以A为圆心
AD为半径的圆上，通过圆外一点到圆的最短距离是A、M、C三点共线时，再算出AC长和AM相减，即
可求出结果．
【详解】解：如图所示，连接AM，
∵四边形ABCD是正方形，且边长为1，∴AC= = ，
∵点D与点M关于AE对称，∴AM=AD=1，∴点M在以A为圆心，AD长为半径的圆上，
∴连接AC与圆A的交点即为CM最小时M的位置，
∴CM的最小值=AC=AM= -1．故答案为： -1．
【点睛】本题考查旋转的性质、圆的性质及点和圆的位置关系、轴对称性质、勾股定理，依据旋转的性质
确定出点M运动的轨迹是解题的关键．
4.（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在平行四边形 中， 与 交于点O， ，
， ．点P从B点出发沿着 方向运动，到达点O停止运动．连接 ，点B关于直线
的对称点为Q．当点Q落在 上时，则 = ，在运动过程中，点Q到直线 的距离的最大值为 ．
【答案】 2
【分析】①过点O作 ，垂足为H，根据题意可得 ，利用平行四边形的性质可得 ，
然后在 中，用锐角三角函数的定义求出 、 的长，在 中，用锐角三角函数的定义
求出 、 的长，从而求出 、 的长，进行计算即可求出 的长；②根据题意可得点Q的轨迹
为：以点A为圆心， 长为半径的圆弧上，当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接 ，过
点Q作 ，垂足为G，连接OQ，根据轴对称的性质可得 ， ，
，从而可得 ， ，进而求出 ，
然后利用等腰三角形的性质以及三角形的外角性质可得 ，最后设 ，则 ，
，再在 中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：①过点O作 ，垂足为H，由题意得： ，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ，
在 中， ，∴ ，
，在 中， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴当点Q落在 上时，则 ，
②∵ ，∴点Q的轨迹为：以点A为圆心， 长为半径的圆弧上，
当点P运动到点O，则点Q在圆弧终点的位置，连接 ，过点Q作 ，垂足为G，连接 ，
∵点B关于直线AP的对称点为Q，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
设 ，则 ，∴ ，∴ ，
在 中， ，∴ ，
∴ 或 （舍去），∴ ，
∴在运动过程中，点Q到直线 的距离的最大值为2．故答案为： ；2【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理，轴对称的性质，根据题目的已知条件
并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
5．（2022·江苏无锡·校考二模）已知在矩形 中， ， ，O为矩形的中心；在
中， ， ， ．将 绕点A按顺时针方向旋转一周，则 边上的高为 ．
连接 ，取 中点M，连接 ，写出 的取值范围 ．
【答案】
【分析】利用面积即可求解；延长 至 ，使 ，连接 ， ，作 于 ，求出
， ， 的长度，利用点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，表示出 的最大值和最小
值，根据 表示出 的取值范围即可．
【详解】设 边上的高为h，
∵在 中， ， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ；
如图，延长 至 ，使 ，连接 ， ，作 于 ，， ，即 ，
，在 中，由勾股定理得，
， 点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
的最大值 ， 的最小值 ，
是 的中点， ， ，
故答案为： ， ．
【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握旋转的性质，通过添加辅助线
构造相似三角形是解题关键．
6．（2023·安徽黄山·校考一模）如图，在矩形 中， ， ， 是边 上一点，将
沿直线 折叠得到 ，作直线 交线段 于点 ．当 有最小值时， 的长是 ．
【答案】【分析】根据点 的位置变化范围，推出点 的运动范围，得到当 时， 最大，即 最小，
根据全等三角形的判定和性质，得 ， ，根据点 、 重合，求出 的长度，从而
得到 的长度．
【详解】如图所示，以点 为圆心， 为半径画圆弧，交 、 两点，
∵ 沿直线 折叠得到 ，∴当 在 上运动时，点 在圆弧上运动，
∵当 与圆弧相切时，∴ ， 最长，
∵ ， ，∴当 与圆弧相切时，点 、 重合，
∵四边形 是矩形，∴ ， ，∴ ，
在 与 中， ，∴
∴ ，∴ ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】本题考查矩形，折叠的知识，圆的切线的性质，解题的关键是掌握矩形的性质，折叠的性质，勾
股定理，全等三角形的判定和性质．
7．（2023·福建福州·学校考模拟预测）如图，已知正方形 的边长为3，动点P满足 ，将点P
绕点D按逆时针方向旋转 90°，得到点Q，连接 ，则 的最大值是 ．【答案】5
【分析】连接 ，根据正方形的性质可得 根据旋转的性质可得
从而可得 然后可证 从而利用全等三角形的性质可得
进而可知点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2 的圆，最后可得当点Q在 的延长线
时， 的值最大，进行解答即可.
【详解】 连接 ，∵四边形 是正方形，
由旋转得：
即
∴点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2 的圆，
∴当点Q在 的延长线时， 的值最大，如图所示：
∴ 的最大值= 故答案为：5
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，点与圆的位置关系，旋转的性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键.
8．（2023·江苏无锡·统考二模）如图，正方形 的边长为6，正方形 的边长为 ，将正方形
绕点C旋转， 和 相交于点K，则 的最大值是 ．连结 ，当点C正好是 的内心时，
的长是 ．
【答案】 /
【分析】连接 ， ， 和 ， ， 交于点O， ， 交于点M，作 于Q，作
于R，证明 ，从而确定点K在以 为直径的圆上运动；根据内心特征，确定内心点
C到 的距离，进一步得出结果．
【详解】解：如图，
连接 ， ， 和 ， ， 交于点O， ， 交于点M，作 于Q，作 于
R，
∵四边形 和四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ， ，，
∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴点K在以 为直径的圆O上运动，
∴当 为圆O直径时， 最大，此时点K于点C重合，∴ ，
当点C为 的内心时， ， ， 分别平分 ， 和 ，∴ ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，∴点B、C、F共线，∴ ，
∴ ，
∵ ， ∴ ，∴ ，
∴ ，故答案为： ； ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，解直角三角形等
知识，解决问题的关键是熟练掌握有关综合知识，添加合适的辅助线．
9．（2023·江苏扬州·校联考二模）如图， ，线段 的两个端点分别在射线 、 上滑动，
且 ，以 为直角边在点 的异侧作 ，且 ， ，问滑动过程中 的最
大值为 ．
【答案】
【分析】先由题意判断：过点A、O、B三点的圆E的半径大小不变，如图1，连接 ，则当O、C、E三点共线时， 最大，作辅助线如图2，根据圆周角定理、等腰三角形的性质和解直角三角形的知识求
出圆的半径和 即可．
【详解】解：由于 ， ，所以过点A、O、B三点的圆E的半径大小不变，故本题也可看
作是 固定不动，当定角 在圆上运动时，求 的最大值，如图1，连接 ，
则当O、C、E三点共线时， 最大，如图2，连接 ，作 于点F，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，在直角三角形 中，∵ ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，
过点B作 于点G，则 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
即 的最大值为 ．故答案为： ．
【点睛】本题是圆的最值问题，主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形的知识等内
容，弄清题意、作出辅助圆是解题的关键．
10．（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正
方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段
CF长的最小值为 ．【答案】
【分析】如图，由EG＝2，确定 在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明
（SAS）， 可得 可得当 三点共线时， 最短，则 最短，再利用勾
股定理可得答案．
【详解】解：如图，由EG＝2，可得 在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，
∵正方形ABCD，∴ ∴
∵DE=DF， ∴ （SAS）， ∴
∴当 三点共线时， 最短，则 最短，
∵ 位BC 中点， ∴
此时 此时
所以CF的最小值为： 故答案为：
【点睛】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆
的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
11．（2022秋·江苏·九年级统考期中）如图，正方形 中， ， 是 的中点．以点 为圆心，
长为半径画圆，点 是 上一动点，点 是边 上一动点，连接 ，若点 是 的中点，连接
、 ，则 的最小值为 ．【答案】 /
【分析】取点B关于直线 的对称点M，连接 、 两线交于点O，连接 ，由勾股定理求得
，根据 即可求得 的最小值．
【详解】解∶取点B关于直线 的对称点M，连接 、 两线交于点O，连接 ， ， ，
过O作 于点N，
∵点Q是 的中点，∴ ，
∴点Q在以O为圆心，l为半径的 上运动，
∵四边形 是正方形，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ， ∴ ，
∵ ，
∴当M、F、Q、O四点共线时， 的值最小，
∴ 的最小值为 ．故答案为∶ ．
【点睛】本题考查圆的有关性质的应用，正方形的性质，两点之间线段最短公理的应用，勾股定理，解题
的关键是正确确定点Q的运动轨迹．
12．（2023·江苏无锡·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知 ，射线 满足 ，点 为射线 上的一个动点，过 作 轴于 ，过 作 射线 交 延长线于点 ，连接
并延长交 于点 ，过 作 射线 交 轴于点 ．
（1）若 ，则C坐标为 ；（2） 的最大值为 ．
【答案】
【分析】（1）根据正切定义，和题干提到的 ， ，即可推出 ，
轴， ，根据正切定义即可推出 ，即求出点C的坐标．
（2）根据题意得出 点在以 为圆心， 为半径的圆上运动，当 与 相切于第一象限时， 取
得最大值，此时 取得最大值，根据 ，可得 ，解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：如图所示 于点M
轴 ，
， 故答案为：（2）∵ ，∴ 在以 为直径的弧上运动，
∵ ∴ 点在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
∴当 与 相切于第一象限时， 取得最大值，此时 取得最大值
如图所示，连接 ，则
∵ ∴ ∴ ∴ ，∴ 故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
13．（2022·广东江门·校考一模） 中， ， ，点 为 的对称轴上一动点，
过点 作 与 相切， 与 相交于点 ，那么 的最大值为 ．
【答案】 /
【分析】设 的对称轴交 于F，连接 ，根据圆周角定理及题意得出点E在以 为直径的圆上，
由勾股定理得出 ，结合图形即可得出最大值．
【详解】解：设 的对称轴交 于F，连接 ，
∵ ，∴ 的对称轴 ，∴ 切 于F，∵ 是 的直径，∴ ，
∴ ，∴点E在以 为直径的圆上，
∵ ， ，∴ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．故答案为： ．
【点睛】题目主要考查圆周角定理及等腰三角形的性质，勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助
线是解题关键．
14．（2022秋·山东淄博·九年级淄博市博山区第六中学校考期末）已知 的直径 为4cm，点 是
上的动点，点 是 的中点， 延长线交 于点 ，则 的最大值为 cm．
【答案】
【分析】以 为直径作⊙K，当直线 切 于D时， 的值最大．
【详解】解：如图，以 为直径作 ，当直线 切 于D时， 的值最大．
∵ 是 的切线，∴ ，∴ ，
∵ 是直径，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，故答案为： ．
【点睛】本题考查动点问题，圆周角定理，平行线的性质，切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．15．（2021·广东梅州·统考一模）如图，已知 ，平面内点P到点O的距离为2，连接AP，若
且 ，连接AB，BC，则线段BC的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图所示，延长PB到D使得PB=DB，先证明△APD是等边三角形，从而推出ABP=90°，
∠BAP=30°，以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，
解直角三角形得到 ，从而证明△AMB∽△AOP，得到 ，则 ，则点B
在以M为圆心，以 为半径的圆上，当M、B、C三点共线时，即点B在点 的位置时，BC有最小值，
据此求解即可．
【详解】解：如图所示，延长PB到D使得PB=DB，
∵ ，∴ ，又∵∠APB=60°，∴△APD是等边三角形，
∵B为PD的中点，∴AB⊥DP，即∠ABP=90°，∴∠BAP=30°，
以AO为斜边在AC下方作Rt△AMO，使得∠MAO=30°，连接CM，过点M作MH⊥AC于H，
∴ ，同理可得 ，∵∠OAM=30°=∠PAB，∴∠BAM=∠PAO，
又∵ ，∴△AMB∽△AOP，∴ ，
∵点P到点O的距离为2，即OP=2，∴ ，
∴点B在以M为圆心，以 为半径的圆上，连接CM交圆M（半径为 ）于 ，
∴当M、B、C三点共线时，即点B在点 的位置时，BC有最小值，∵AC=2AO=8，∴AO=4，∴ ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴BC的最小值为 ，故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，
圆外一点到圆上一点的最值问题，解题的关键在于能够熟练掌握瓜豆模型即证明点B在以M为圆心，半径
为 的圆上运动．
16．（2023·重庆·统考中考真题）在 中， ， ，点 为线段 上一动点，连
接 ．
(1)如图1，若 ， ，求线段 的长．(2)如图2，以 为边在 上方作等边 ，点
是 的中点，连接 并延长，交 的延长线于点 ． 若 ，求证： ．(3)在
取得最小值的条件下，以 为边在 右侧作等边 ．点 为 所在直线上一点，将 沿
所在直线翻折至 所在平面内得到 ． 连接 ，点 为 的中点，连接 ，当 取最
大值时，连接 ，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，请直接写出此时 的值．
【答案】(1) (2)见解析(3)
【分析】（1）解 ，求得 ，根据 即可求解；
（2）延长 使得 ，连接 ，可得 ，根据 ，得出
四点共圆，则 ， ，得出
，结合已知条件得出 ，可得 ，即可得证；
（3）在 取得最小值的条件下，即 ，设 ，则 ， ，根据题意得出点
在以 为圆心， 为半径的圆上运动，取 的中点 ，连接 ，则 是 的中位线， 在半径为
的 上运动，当 取最大值时，即 三点共线时，此时如图，过点 作 于点 ，过点
作 于点 ，连接 ，交 于点 ，则四边形 是矩形，得出 是 的中位线，同
理可得 是 的中位线， 是等边三角形，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得
到 ，则 ，在 中，勾股定理求得 ，进而即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ；
（2）证明：如图所示，延长 使得 ，连接 ，
∵ 是 的中点则 ， ， ，
∴ ，∴ ，∴ ，∴
∵ 是等边三角形，∴ ，∵ ，∴ 四点共圆，
∴ ， ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ；
（3）解：如图所示，
在 取得最小值的条件下，即 ，设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ．
∴ ∴点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
取 的中点 ，连接 ，则 是 的中位线，∴ 在半径为 的 上运动，
当 取最大值时，即 三点共线时，此时如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点
，
∵ 是 的中点， ∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，如图所示，连接 ，交 于点 ，则四边形 是矩形，∴ ， 是 的中点，∴
即 是 的中位线，同理可得 是 的中位线，
∴ ，
∵ 是等边三角形，将 沿 所在直线翻折至 所在平面内得到 ，
∴ ∴ 则
在 中， ∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，
折叠的性质，圆外一点到圆上距离的最值问题，垂线段最短，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，熟
练掌握以上知识是解题的关键．
17．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求 的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得 ，又因为
∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以 ，得 所以 ．
又因为 ，所以 最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将 转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出
CP+ BP的最小值．【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，
求 的最小值．【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD=
3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ．
【答案】[问题解决] ；[尝试应用] ，见详解；[能力提升]
【分析】[问题解决]利用勾股定理即可求出，最小值为 ；
[尝试应用]在 上取一点C使OC=4，通过证明 得到 ， ，所以，再求出AC的值，问题即可求解；
[能力提升]由BD= 3CD确定点D的运动轨迹是一个圆，过点D作 于G，若△ABD面积的最大，
则DG最大，所以DG过圆心，进而求解本题.
【详解】解：[问题解决]如图，在 中， ，
的最小值为 ，故答案为： ；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连续PO，PC，AC
， ， ，
， ， ，
，过点C作 于D，
sin ，
， ，
在 中， ，
最小值为 ；
[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则 ，
， ，， ，连接DE，DF，
由 ， 点E，F到BD，CD的距离相等，，
DE，DF是 的内，外角平分线， ，
点D是平面内任意一点， 点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作 交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时
的面积最大， ，EO=3，
在 中， ，
， ，
，
△ABD面积的最大值为 ，故答案为：
【点睛】本题考查了圆和相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，
直径所对的圆周角直角，角平分线的判定，最短路径，锐角三角函数等知识，构造辅助线是角本题的关键.
18．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）【实验操作】
已知线段BC＝2，用量角器作 ，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯
一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）．(1)请你帮助解决小丽同学提出的问题：
①该弧所在圆的半径长为______；② 面积的最大值为______；
(2)【类比探究】小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为 ，请你证明 ；
(3)【问题拓展】结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点
，过点B作 轴， 轴，垂足分别为A、C，若点P在线段 上滑动（点P可以与点
A、B重合），使得 的位置有两个，求m的取值范围．
【答案】(1)① ；② (2)见解析(3)
∵ ，∴ ，又∵ ，∴ 是等边三角形，
∴ ，即半径为 ，故答案为：
②∵ 以 为底边， ，∴当点 到 的距离最大时， 的面积最大，
如图1，过点 作 的垂线，垂足为 ，延长 ，交圆于 ，
∴ ， ，∴ ∴ ，
∴ 的最大面积为 故答案为：
（2）解：如图，延长 ，交圆于点 ，连接 ，∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，即 ；（3）解：如图2，以 为边作等腰直角三角形 ，以点 为圆心， 为半径作圆 ，
（ ， ） ， ∴ ， ，
∴当点 在 上方的圆 上时， ，
当点 或点 在圆 上时， ，即 ，
当 与圆 相切时， ，∴ ．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，圆的
有关知识，解题关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹．
