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数列中的放缩问题
【知识拓展】
1.数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合试题将稳定在中等偏
难的程度，其核心技能是放缩技巧的应用.
2.通项放缩常见结论
(1)>＝－；
(2)<＝－(n≥2)；
(3)<＝(n≥2)；
(4)＝<＝2；
(5)T ＝C·＝·<<＝－(r≥2)；
r＋1
(6)<1＋1＋＋＋…＋<3；
(7)＝<＝2(－＋)(n≥2)；
(8)＝>＝2(－＋)；
(9)＝<＝
＝(－＋)；
(10)＝<
＝＝－(n≥2)；
(11)＝<
＝·
＝·
＝·<2(n≥2)；
(12)＝<
＝＝＝－(n≥2)；
(13)＝<＝＝－；
(14)<＝－(n≥2).
【类型突破】
类型一 先求和再放缩证明不等式对于数列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放缩证明.
例1 (2024·沈阳模拟)已知数列{a }满足a ＋2a ＋…＋na ＝(n－1)·2n＋1＋2.
n 1 2 n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝＋，证明b ＋b ＋…＋b <.
n 1 2 n
训练1 (2024·鹰潭模拟)设S 为数列{a }的前n项和，已知是首项为、公差为的等
n n
差数列.
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)令b ＝，T 为数列{b }的前n项积，证明：T ≤6n－1.
n n n n
类型二 先放缩通项再求和证明不等式
若数列和的不等式不易求和，一般先适当放缩通项，然后累加求和.
例2 (2024·丽水调研)设数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，2S ＝n2＋n(n∈N*).
n n 1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设数列{b }的前n项和为T ，且b ＝，求T ；
n n n 99
(3)证明：＋＋＋…＋>9.
训练2 已知数列{a }满足a ＝4，当n≥2时，a －4a ＝－.
n 1 n n－1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)已知数列b ＝na －1，证明：＋＋…＋<.
n n
类型三 通项放缩与求值
(1)通项放缩确定新数列；
(2)先放缩再求和式子的应用.
例3 已知各项均为正数的数列{a }的前n项和为S ，且a ，S ，a为等差数列.
n n n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若m为正整数，记集合的元素个数为b ，求数列{b }的前50项和T .
m n 50训练3 (2024·合肥质检)已知T 为正项数列{a }的前n项的乘积，且a ＝3，T＝a.
n n 1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝，数列{b }的前n项和为S ，求[S ]([x]表示不超过x的最大整数).
n n n 2 024
【精准强化练】
1.记T 为正项数列{a }的前n项积，且a ＝1，a ＝2，T T ＝2T.
n n 1 2 n n＋2
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)证明：＋＋…＋<.
2.(2024·重庆诊断)已知数列{a }满足a ＝1，a ＝a ＋1，a ＝2a .
n 1 2n＋1 2n 2n 2n－1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设T ＝＋＋…＋，求证：T <3.
n 2n
【解析版】
1.数列放缩是高考重点考查的内容之一，数列与不等式结合试题将稳定在中等偏
难的程度，其核心技能是放缩技巧的应用.
2.通项放缩常见结论
(1)>＝－；
(2)<＝－(n≥2)；
(3)<＝(n≥2)；
(4)＝<＝2；
(5)T ＝C·＝·<<＝－(r≥2)；
r＋1
(6)<1＋1＋＋＋…＋<3；
(7)＝<＝2(－＋)(n≥2)；
(8)＝>＝2(－＋)；
(9)＝<＝
＝(－＋)；
(10)＝<＝＝－(n≥2)；
(11)＝<
＝·
＝·
＝·<2(n≥2)；
(12)＝<
＝＝＝－(n≥2)；
(13)＝<＝＝－；
(14)<＝－(n≥2).
【类型突破】
类型一 先求和再放缩证明不等式
对于数列和的不等式，若和易求，一般先求和，再放缩证明.
例1 (2024·沈阳模拟)已知数列{a }满足a ＋2a ＋…＋na ＝(n－1)·2n＋1＋2.
n 1 2 n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)设b ＝＋，证明b ＋b ＋…＋b <.
n 1 2 n
(1)解 由题意可知，当n＝1时，a ＝2；
1
当n≥2时，由a ＋2a ＋…＋na ＝(n－1)·2n＋1＋2得，
1 2 n
a ＋2a ＋…＋(n－1)a ＝(n－2)·2n＋2，
1 2 n－1
两式作差可得，na ＝(n－1)·2n＋1－(n－2)·2n＝n·2n，∴a ＝2n，
n n
a ＝2也适合该式，故a ＝2n.
1 n
(2)证明 由题意知b ＝＋＝＋，
n
故b ＋b ＋…＋b ＝＋
1 2 n＝1－＋－×＝－，
由于n∈N*，则＋>0，
故－<，
即b ＋b ＋…＋b <.
1 2 n
规律方法 此类不等式一般另一端为常数，求和以后常利用去项放缩或利用函数
的单调性放缩.
训练1 (2024·鹰潭模拟)设S 为数列{a }的前n项和，已知是首项为、公差为的等
n n
差数列.
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)令b ＝，T 为数列{b }的前n项积，证明：T ≤6n－1.
n n n n
(1)解 因为是首项为、公差为的等差数列，
故＝＋(n－1)＝＋，
即S ＝n(n＋1)＝，
n
当n≥2时，S ＝，
n－1
故S －S ＝a ＝－
n n－1 n
＝＝n2，
当n＝1时，a ＝S ＝＝1，符合上式，
1 1
故a ＝n2.
n
(2)证明 由a ＝n2，S ＝，
n n
故b ＝＝＝，
n则T ＝b b …b ＝··
n 1 2 n
·…·＝，
因为(2n＋1)(n＋1)≥3×2＝6，
故T ≤＝6n－1.
n
类型二 先放缩通项再求和证明不等式
若数列和的不等式不易求和，一般先适当放缩通项，然后累加求和.
例2 (2024·丽水调研)设数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，2S ＝n2＋n(n∈N*).
n n 1 n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)设数列{b }的前n项和为T ，且b ＝，求T ；
n n n 99
(3)证明：＋＋＋…＋>9.
(1)解 因为2S ＝n2＋n，①
n
当n≥2时，2S ＝(n－1)2＋n－1，②
n－1
所以①－②得到2a ＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n，即a ＝n，
n n
又a ＝1，满足a ＝n，所以a ＝n.
1 n n
(2)解 因为b ＝＝＝－，
n
所以T ＝b ＋b ＋…＋b ＝－1＋－＋…＋－＝－1＝9.
99 1 2 99
(3)证明 因为＝>＝－，
所以＋＋…＋＝＋＋…＋>－1＋－＋…＋－＝－1＝9，
即＋＋＋…＋>9.规律方法 此类题型关键是如何放缩数列的通项，需要熟悉常见的放缩技巧及结
论.
训练2 已知数列{a }满足a ＝4，当n≥2时，a －4a ＝－.
n 1 n n－1
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)已知数列b ＝na －1，证明：＋＋…＋<.
n n
(1)解 当n≥2时，a －4a ＝－，
n n－1
两边同除4n后得－＝－，
所以
上述等式累加得－1＝－1＋，
即＝，所以a ＝.
n
又n＝1时，a ＝4满足a ＝，
1 n
故a ＝(n∈N*).
n
(2)证明 由b ＝na －1＝4n－1，
n n
所以b ＝4·4n－1－1＝3·4n－1＋4n－1－1≥3·4n－1，
n
所以≤，
当n＝1时，＝<，
当n≥2时，＋＋…＋<
＝·＝<.
综上，对任意的n∈N*，＋＋…＋<.
类型三 通项放缩与求值(1)通项放缩确定新数列；
(2)先放缩再求和式子的应用.
例3 已知各项均为正数的数列{a }的前n项和为S ，且a ，S ，a为等差数列.
n n n n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)若m为正整数，记集合的元素个数为b ，求数列{b }的前50项和T .
m n 50
解 (1)由已知得2S ＝a ＋a，
n n
当n＝1时，有a ＝1，
1
当n≥2时，有2S ＝a ＋a，
n－1 n－1
∴2a ＝a－a＋a －a ，
n n n－1
(a －a )(a ＋a )＝a ＋a ，
n n－1 n n－1 n n－1
a ＋a >0，
n n－1
∴a －a ＝1，
n n－1
∴数列{a }为等差数列，∴a ＝n.
n n
(2)由＋≤m，得m－≤a ≤m＋，显然b ＝0，b ＝1.
n 1 2
当m≥3时，m－≤1 (m－1)2，
⇔ ⇔
易证2m－11－，
n
∴S ＝＋＋…＋
n
＝n－n－
n
＝n－＝n－1＋>n－1，
∴2 023
