数列——2025届高考数学二轮复习易错重难提升新高考版（含解析）_2025年新高考资料_二轮复习_新高考版2025届高考数学二轮复习易错重难提升训练（含解析）

（5）数列 ——2025 届高考数学二轮复习易错重难提升【新高考版】 易混重难知识 1.等差数列通项公式： . 2.等差中项公式： . 3.等差数列前n项和公式： . 4.等差数列的性质： 已知数列 是等差数列， 是 的前n项和. （1）若 ，则有 . （2）等差数列 的单调性：当 时， 是递增函数；当 时， 是递减函数； 当 时， 是常数列. （3）若 是等差数列，公差为d，则 是公差为 的等差数列. （4）若 是等差数列，则 也是等差数列，其首项与 的首项相同，其公差是 的公差的 . （5）若 是等差数列， 分别为 的前 m 项，前 2m 项，前 3m 项的和，则 成等差数列，公差为 （d为数列 的公差）.5.等比数列通项公式： . 6.等比中项公式： . 7.等比数列前n项和公式： . 8.等比数列的前n项和的性质： （1）当 （或 且k为奇数）时， 是等比数列. （2）若 ，则 成等比数列. （3）若数列 的项数为2n， 与 分别为偶数项与奇数项的和，则 ；若项数为 ，则 . 易错试题提升 1.已知数列 的前n项和 ，则 的值为( ). A.15 B.37 C.27 D.64 2.已知等比数列 的公比为q，前n项和 ，若 ，则 ( ) A.13 B.15 C.31 D.33 3.已知数列 是等差数列，若 ， ，则 等于( ) A. B. C. D. 4.设公差不为零的等差数列 的前n项和为 ， ，则 ( )A.15 B.1 C. D. 5.山西大同的辽金时代建筑华严寺的大雄宝殿共有9间，左右对称分布，最中间的是明间， 宽度最大，然后向两边均依次是次间、次间、梢间、尽间.每间宽度从明间开始向左右两边均 按相同的比例逐步递减，且明间与相邻的次间的宽度比为 .若设明间的宽度为a，则该宝 殿9间的总宽度为( ) A. B. C. D. 6.已知各项均为正数的数列 满足对任意的正整数m，n都有 ，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 7.数列 满足 ， ，若 ，且数列 的前n项和 为 ，则 ( ) A.64 B.80 C.-64 D.-80 8.我国《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，如图所示，将1，2，3，…，9填入 的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和都相等，便得到一个3阶幻方.一般地， 将连续的正整数1，2，3，…，n2 填入 个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数 S 的和都相等，这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的数的和（即方格内的所有数的和）为 n， 如 ，那么下列说法错误的是( )S 666 A. 6 B.7阶幻方第4行第4列的数字可以为25 C.8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为260 D.9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为396 9.（多选）已知等差数列 ，其前n项和为 ，若 ，则下列结论正确的是( ) A. B.使 的n的最大值为16 C.公差 D.当 时 最大 10.（多选）已知 是等比数列，公比为q，前n项和为 ，则下列说法正确的是( ) A. 为等比数列 B. 为等差数列 C.若 ，则 D.若 ，则 11.设 为等差数列 的前n项和，且 ， ，则 ______. 12.记 为等比数列 的前n项和.若 ，则 ______________. 13.已知数列 的前n项和为 ，首项 且 ，若 对 恒成立，则实数 的取值范围是______________.14.已知数列 满足 ， . （1）设 ，求证：数列 是等比数列； （2）求数列 的前n项和 . 15. 为数列 的前n项和，已知 ， . (1)求 的通项公式； (2)设 ，求数列 的前n项和.答案以及解析 1.答案：B 解析：由题意得， ，故选：B. 2.答案：B 解析： 是等比数列， ， 故 ，等比数列 的前n项和 ， 又 ，故 ， ， 则 ， ， ， .故选：B. 3.答案：C 解析：因为 是等差数列，所以 ， ， 可得 ， ，所以 .故选：C. 4.答案：D 解析：设等差数列 的公差为 . ， ，解得： ， . ， . .故选：D. 5.答案：D 解析：由题意，设明间的宽度a为等比数列的首项，从明间向右共5间（包括明间），宽度 成等比数列，公比为 ，同理从明间向左（包括明间）共5间，宽度成等比数列，公比为 .则由 可得 ， 所以总宽度为 ，故选D. 6.答案：A 解析：因为正数的数列 满足对任意的正整数m，n都有 ， 取 ，可得 ，即 ， 可得数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ， 又因为 ，可得 ， 则 . 故选：A. 7.答案：C 解析：数列 满足 ， ， 则 ， 可得数列 是首项为1、公差为1的等差数列， 即有 ，即为 ， 则 ，则 . 故选：C. 8.答案：D 解析：根据n阶幻方的定义，n阶幻方的数列有 项，为首项为1，公差为1的等差数列，故 ，每行、每列、每条对角线上的数的和均为 . 对于A， ，A正确； 对于B，7阶幻方有7行7列，故第4行第4列的数字可以为该数列的中间值，即 ， B正确； 对于C，8阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为 ，C正确； 对于D，9阶幻方每行、每列、每条对角线上的数的和均为 ，D错误. 故选D. 9.答案：ACD 解析： 等差数列 ， ， 又 ， ，，A正确. ，C正确. ， ， ， 使 的n的最大值为15.B错误. ， ， 当 ， ， ， 所以当 时 最大.D正确. 故选：ACD. 10.答案：ABD 解析：对于A， ，故 为公比为 的等比数列，故A正确； 对于B， ，所以 是公差为 的等差数列，故 B正确； 对于C，若 ，则 ， 则 ，所以 ，但 ，故C错误； 对于D，因为 ，所以 ， ， ， 因为 是等比数列，所以 ，解得： ，故D正确， 故选：ABD. 11.答案：39 解析：根据题意，设等差数列 的公差为d，等差数列 中 ， ，则 ， 变形可得： ， 又由 ，则有 ，即 ， 则有 ， 则 . 故答案为：39. 12.答案：60 解析：设等比数列 公比为q， 当 时， ，无解； 当 时， ，得 ， . 故答案为：60. 13.答案： 解析：因为 ，所以 ， 数列 是以 为首项，公比为2的等比数列， ， .因此 . 所以 对 恒成立，可化为 对 恒成立. 当n为奇数时， ，所以 ，即 ； 当n为偶数时， ，解得 . 综上，实数 的取值范围是 . 故答案为： . 14.答案：（1）见解析 （2）见解析 na 3n1a 解析：（1）证明：依题意，由 n1 n，可得 a a n1 3 n n1 n ，即b 3b ， n1 n a b  1 1  1 1 ， b  数列 n 是以1为首项，3为公比的等比数列， a n 3n1 （2）由（1），可得b 13n1 3n1 ，即 n ， n a n3n1 nN* n ， ， S a a a a 130 231332 n3n1 n 1 2 3 n ， 3S 131232 n13n1n3n n ， 13n 2S 13132 3n1n3n  n3n 两式相减，可得 n 13 1 1  n 3n     2 2， 2n13n 1 S   n 4 4 . 15.答案：(1) (2) 解析：（1）①当 时， ， 又 ， ， ②当 时，由 ，可得 两式相减得： ，整理得 ， ， ， 是以首项为4，公差为3的一个等差数列， ； （2）由（1）可得 ， 数列 的前n项和： .