文档内容
衍生数列问题
【知识拓展】
衍生数列是指由已知数列通过插项、去项得到新数列，或由已知的两个数列的公
共项得到新数列，解决此类问题要弄清楚衍生数列与已知数列的关系，确定衍生
数列的特征，以此来解决问题.
【类型突破】
类型一 数列中的去项问题
例1 (2024·汕头模拟)已知数列{a }的前n项和是S ，a ＝1，点(n∈N*)在斜率为
n n 1
的直线上，数列{a }，{b }满足a b ＋a b ＋…＋a b ＝2＋(n－1)·2n＋1.
n n 1 1 2 2 n n
(1)求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
(2)若数列{a }中去掉和数列{b }中相同的项后，余下的项按原来的顺序组成数列
n n
{c }，且数列{c }的前n项和为T ，求T .
n n n 100
训练 1 已知正项数列{a }和{b }，S 为数列{a }的前 n 项和，且满足 4S ＝a＋
n n n n n
2a ，a ＝2log b .
n n 2 n
(1)求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)将数列{a }中与数列{b }中相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列
n n
{c }，记数列{c }的前n项和为T ，求T .
n n n 100
类型二 数列中的公共项问题
例2 (2024·西安调研)已知数列{a }的前n项和S ＝，{b }为等比数列，公比为
n n n
2，且b ，b ＋1，b 为等差数列.
1 2 3
(1)求{a }与{b }的通项公式；
n n
(2)把数列{a }和{b }的公共项由小到大排成的数列记为{c }，求数列{c }的前n项
n n n n
和T .
n
训练2 数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列{a }，数列
n
{b }满足b ＝，则数列{b }的最大项等于________.
n n n
类型三 数列中的并项问题例3 (2024·福州模拟)已知等比数列{a }为递增数列，其前n项和为S ，满足S ＝
n n 2
6，S ＝30.
4
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)记b ＝2n－1，将数列{a }与{b }中的项按从小到大的顺序依次排列，构成一
n n n
个新数列{c }，求数列{c }的前50项和T .
n n 50
训练3 已知等比数列{a }的前n项和为S ，公比q>0，S ＝2a －2，S ＝a －2，
n n 2 2 3 4
数列{b }满足2b ＝b ＋b ，且a ＝4b ，a ＝b .
n n n－1 n＋1 2 1 3 8
(1)求{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)将{a }和{b }中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{c }，求数列{c }
n n n n
的前100项和T .
100
类型四 数列中的插项问题
例4 (2024·石家庄质检)已知等差数列{a }的前n项和为S (n∈N*)，满足3a ＋2a
n n 2 3
＝S ＋6.
5
(1)若数列{S }为递减数列，求a 的取值范围；
n 1
(2)若a ＝1，在数列{a }的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比为2的等
1 n
比数列的前n项，形成新数列{b }，记数列{b }的前n项和为T ，求T .
n n n 95
训练4 (2024·衡阳质检)已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，S ＝2S ＋n＋1.
n n 1 n＋1 n
(1)证明：数列{a ＋1}为等比数列；
n
(2)在a 和a (k∈N*)之间插入k个数构成一个新数列{c }：a ，b ，a ，b ，b ，
k k＋1 n 1 1 2 2 3
a ，b ，b ，b ，a ，…，其中插入的所有数依次构成数列{b }，通项公式b ＝(－
3 4 5 6 4 n n
1)n2n.求数列{c }的前30项和T .
n 30
【精准强化练】
1.(2024·开封质检)已知S 为数列{a }的前n项和，且a >0，a＋2a ＝4S ＋3，b ＝
n n n n n n
a ，c ＝3n.
2n－1 n
(1)求{a }的通项公式；
n
(2)将数列{b }与{c }的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列{d }，求{d }的
n n n n
前10项的和.2.(2024·成都诊断)已知各项均为正数的数列{a }满足a ＝1，a－2S ＝n＋1，S 是
n 1 n n
数列{a }的前n项和.
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)在a 和a (k∈N*)中插入k个相同的数 2k构成一个新数列{b }：a ，2，a ，
k k＋1 n 1 2
22，22，a ，23，23，23，a ，…，求{b }的前90项和T .
3 4 n 90
【解析版】
类型一 数列中的去项问题
例1 (2024·汕头模拟)已知数列{a }的前n项和是S ，a ＝1，点(n∈N*)在斜率为
n n 1
的直线上，数列{a }，{b }满足a b ＋a b ＋…＋a b ＝2＋(n－1)·2n＋1.
n n 1 1 2 2 n n
(1)求数列{a }，{b }的通项公式；
n n
(2)若数列{a }中去掉和数列{b }中相同的项后，余下的项按原来的顺序组成数列
n n
{c }，且数列{c }的前n项和为T ，求T .
n n n 100
解 (1)∵点(n∈N*)在斜率为的直线上，
∴－＝(n≥2，n∈N*)，
又＝a ＝1，
1
∴数列是以1为首项，为公差的等差数列，
∴＝，∴S ＝(n∈N*).
n
当n≥2时，a ＝S －S ＝n，
n n n－1
当n＝1时，a ＝1满足上式，
1
∴a ＝n(n∈N*).
n
∵数列{a }，{b }满足a b ＋a b ＋…＋a b ＝2＋(n－1)·2n＋1，
n n 1 1 2 2 n n∴当n≥2时，a b ＋a b ＋…＋a b ＝2＋(n－2)·2n，
1 1 2 2 n－1 n－1
两式相减，得a b ＝n·2n(n≥2)，
n n
当n＝1时，a b ＝2＋(1－1)×21＋1＝2＝1×21，满足上式，
1 1
∴a b ＝n·2n(n∈N*).
n n
∴b ＝2n(n∈N*).
n
(2)设数列{a }的前p项中有数列{b }的q项，p－q＝100，
n n
则2q≤p，即2q≤100＋q.
易得满足2q≤100＋q的最大正整数q为6，
∴数列{c }的前100项，由数列{a }中的前106项去掉和数列{b }中相同的6项得
n n n
到，
∴T ＝S －(2＋22＋…＋26)＝－＝5 545.
100 106
易错提醒 解答去项问题的易错之处是不能准确确定数列中去掉的项数，或求和
时不会采取原数列和减去去掉各项和的方法.
训练 1 已知正项数列{a }和{b }，S 为数列{a }的前 n 项和，且满足 4S ＝a＋
n n n n n
2a ，a ＝2log b .
n n 2 n
(1)求数列{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)将数列{a }中与数列{b }中相同的项剔除后，按从小到大的顺序构成数列
n n
{c }，记数列{c }的前n项和为T ，求T .
n n n 100
解 (1)因为4S ＝a＋2a ，
n n
所以n≥2时，4S ＝a＋2a ，
n－1 n－1两式相减得4a ＝a－a＋2a n－2a ，
n n－1
(a ＋a )(a －a －2)＝0，
n n－1 n n－1
因为a >0，所以a －a ＝2，
n n n－1
又4a ＝a＋2a ，a >0，
1 1 1
所以a ＝2，
1
所以a ＝2＋2(n－1)＝2n，
n
2n＝2log b ，b ＝2n.
2 n n
(2)根据(1)的结论，数列{b }的前8项依次为：2，4，8，16，32，64，128，256
n
对应数列{a }的第1，2，4，8，16，32，64，128项，
n
故数列{c }的前100项为数列{a }的前107项，剔除数列{b }的前7项的数列.
n n n
所以T ＝(a ＋a ＋…＋a )－(b ＋b ＋…＋b )＝－＝11 302.
100 1 2 107 1 2 7
类型二 数列中的公共项问题
例2 (2024·西安调研)已知数列{a }的前n项和S ＝，{b }为等比数列，公比为
n n n
2，且b ，b ＋1，b 为等差数列.
1 2 3
(1)求{a }与{b }的通项公式；
n n
(2)把数列{a }和{b }的公共项由小到大排成的数列记为{c }，求数列{c }的前n项
n n n n
和T .
n
解 (1)由S ＝，
n
当n＝1时，a ＝S ＝2，
1 1当n≥2时，a ＝S －S ＝3n－1，
n n n－1
当n＝1时，上式也成立，所以a ＝3n－1.
n
依题意，b ＋b ＝2(b ＋1)，b ＋b ·22＝2(b ·2＋1)，解得b ＝2，所以b ＝2n.
1 3 2 1 1 1 1 n
(2)数列{a }和{b }的公共项从小到大依次为21，23，25，27，…，
n n
所以21，23，25，27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，所以c ＝2×4n－
n
1，则T ＝c ＋c ＋…＋c ＝＝(4n－1).
n 1 2 n
规律方法 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小
公倍数；两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公
倍数；等差数列与等比数列的公共项所构成的新数列，一般仍为等比数列.
训练2 数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列{a }，数列
n
{b }满足b ＝，则数列{b }的最大项等于________.
n n n
答案
解析 数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列为 1，7，
13，…，该数列是首项为1，公差为6的等差数列，
所以a ＝6n－5，所以b ＝，
n n
因为b －b ＝－＝，
n＋1 n
所以当n≥2时，b －b <0，
n＋1 n
即b >b >b >…，
2 3 4
又b 0且q≠1，
由已知得得q＝2(负值舍去)，
所以a ＝2，所以a ＝a qn－1＝2n.
1 n 1
(2)数列{a }中的项从小到大依次为2，4，8，16，32，64，128，…，
n
又b ＝79，b ＝99，
40 50
所以依题意可知新数列{c }的前50项中，数列{a }中的项只有前6项，数列{b }
n n n
中的项有44项，
所以T ＝(2＋4＋8＋16＋32＋64)＋(1＋3＋5＋7＋…＋87)＝＋＝126＋1 936＝2
50
062.
易错提醒 解决数列的并项问题的难点，也是易错之处，为确定两个数列中各有
多少项作为新数列的项，求解时可利用解不等式法或试探法.
训练3 已知等比数列{a }的前n项和为S ，公比q>0，S ＝2a －2，S ＝a －2，
n n 2 2 3 4
数列{b }满足2b ＝b ＋b ，且a ＝4b ，a ＝b .
n n n－1 n＋1 2 1 3 8
(1)求{a }和{b }的通项公式；
n n
(2)将{a }和{b }中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列{c }，求数列{c }
n n n n
的前100项和T .
100解 (1)由S ＝2a －2，S ＝a －2两式作差可得a ＝a －2a ，即a q＝a q2－2a ，
2 2 3 4 3 4 2 2 2 2
∵a ≠0，则q2－q－2＝0，∵q>0，解得q＝2，
2
∴2a －2＝4a －2＝a ＋a ＝3a ，
2 1 1 2 1
解得a ＝2，∴a ＝a qn－1＝2n.
1 n 1
∵2b ＝b ＋b ，
n n－1 n＋1
故数列{b }为等差数列，设该数列的公差为d，
n
由于a ＝4b ＝4，可得b ＝1，a ＝b ＝8，
2 1 1 3 8
∴d＝＝1，∴b ＝b ＋(n－1)d＝n.
n 1
(2)当n≤6时，a ＝2n≤64，
n
当n≥7时，a ＝2n≥128，
n
∴数列{c }的前100项中，{a }有6项，{b }有94项，
n n n
∴T ＝＋＝4 591.
100
类型四 数列中的插项问题
例4 (2024·石家庄质检)已知等差数列{a }的前n项和为S (n∈N*)，满足3a ＋2a
n n 2 3
＝S ＋6.
5
(1)若数列{S }为递减数列，求a 的取值范围；
n 1
(2)若a ＝1，在数列{a }的第n项与第n＋1项之间插入首项为1，公比为2的等
1 n
比数列的前n项，形成新数列{b }，记数列{b }的前n项和为T ，求T .
n n n 95
解 (1)法一 记{a }的公差为d，由3a ＋2a ＝S ＋6得3(a ＋d)＋2(a ＋2d)＝5a
n 2 3 5 1 1 1＋d＋6，得d＝－2，
所以S ＝na ＋×(－2)＝－n2＋(a ＋1)n.
n 1 1
若数列{S }为递减数列，则S －S <0(n≥1)恒成立，即a ＝a －2n<0(n≥1)恒
n n＋1 n n＋1 1
成立，
得a <2n(n≥1)恒成立，即a <2.
1 1
法二 记{a }的公差为d，由3a ＋2a ＝S ＋6得3(a ＋d)＋2(a ＋2d)＝5a ＋d＋
n 2 3 5 1 1 1
6，得d＝－2，
所以S ＝na ＋×(－2)
n 1
＝－n2＋(a ＋1)n.
1
若数列{S }为递减数列，则需满足<，解得a <2.
n 1
(2)由(1)知，{a }的公差d＝－2，
n
又a ＝1，所以a ＝1＋(n－1)×(－2)＝3－2n.
1 n
根据题意，数列{b }为1，20，－1，20，21，－3，20，21，22，－5，…，－2n＋
n
3，20，21，…，2n－1，－2n＋1，….
可将数列分组：
第一组为1，20；
第二组为－1，20，21；第三组为－3，20，21，22；
……
第k(k∈N*)组为－2k＋3，20，21，22，…，2k－1；
……
则前k组一共有2＋3＋…＋(k＋1)＝(项)，
当k＝12时，项数为90.
故T 相当于是前12组的和再加上－23，1，2，22，23，
95
即T ＝[1＋(－1)＋(－3)＋…＋(－21)]＋[20＋(20＋21)＋(20＋21＋22)＋…＋(20＋21
95
＋…＋211)]＋(－23＋1＋2＋22＋23).
20＋(20＋21)＋(20＋21＋22)＋…＋(20＋21＋…＋211)可看成是数列{c }(c ＝2n－1)的
n n
前12项和，
所以T ＝＋－12－23＋1＋2＋4＋8＝213－142＝8 050.
95
规律方法 解决插项问题，首先要清楚插入数列的项数，新插入数列与原数列各
项之间的关系，然后利用分组或并项法求和.
训练4 (2024·衡阳质检)已知数列{a }的前n项和为S ，a ＝1，S ＝2S ＋n＋1.
n n 1 n＋1 n
(1)证明：数列{a ＋1}为等比数列；
n
(2)在a 和a (k∈N*)之间插入k个数构成一个新数列{c }：a ，b ，a ，b ，b ，
k k＋1 n 1 1 2 2 3
a ，b ，b ，b ，a ，…，其中插入的所有数依次构成数列{b }，通项公式b ＝(－
3 4 5 6 4 n n
1)n2n.求数列{c }的前30项和T .
n 30
(1)证明 当n＝1时，S ＝2S ＋2，
2 1得a ＋a ＝2a ＋2，解得a ＝3.
1 2 1 2
当n≥2时，S ＝2S ＋n＋1，①
n＋1 n
S ＝2S ＋n，②
n n －1
①－②得a ＝2a ＋1(n≥2)，
n＋1 n
∵a ＝3＝2a ＋1，
2 1
∴a ＝2a ＋1(n≥1)，
n＋1 n
则a ＋1＝2a ＋2＝2(a ＋1)，
n＋1 n n
∵a ＋1＝2≠0，∴＝2，
1
∴{a ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列.
n
(2)解 由(1)知a ＋1＝2n，a ＝2n－1.
n n
在数列{c }中，项a 之前(含a )共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28<30，
n 7 7
∴数列{c }的前30项中包含了数列{a }的前7项及数列{b }的前23项，
n n n
∴T ＝a ＋a ＋…＋a ＋b ＋b ＋…＋b
30 1 2 7 1 2 23
＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(27－1)＋(－2＋4－6＋8－…－46)
＝－7＋[－2＋(－2)×11]＝223.
【精准强化练】
1.(2024·开封质检)已知S 为数列{a }的前n项和，且a >0，a＋2a ＝4S ＋3，b ＝
n n n n n n
a ，c ＝3n.
2n－1 n
(1)求{a }的通项公式；
n(2)将数列{b }与{c }的所有公共项按从小到大的顺序组成新数列{d }，求{d }的
n n n n
前10项的和.
解 (1)由a＋2a ＝4S ＋3，
n n
可知a＋2a ＝4S ＋3，
n＋1 n＋1
两式相减得a－a＋2(a －a )＝4a ，
n＋1 n n＋1
即(a ＋a )(a －a )＝2(a ＋a ).
n＋1 n n＋1 n n＋1 n
因为a >0，所以a －a ＝2.
n n＋1 n
又a＋2a ＝4S ＋3，a >0，解得a ＝3，
1 1 1 1
即{a }是首项为3，公差d＝2的等差数列，
n
所以{a }的通项公式为a ＝3＋2(n－1)＝2n＋1.
n n
(2)由(1)知b ＝4n－1，数列{b }与{c }的公共项满足b ＝c ，
n n n n k
即4n－1＝3k，k＝＝n＋，
而k，n∈N*，于是可令＝m－1(m∈N*)，
即n＝3m－2，此时k＝4m－3，m∈N*，
因此b ＝c ＝12m－9，
3m－2 4m－3
即d ＝12n－9，
n
数列{d }是以3为首项，12为公差的等差数列.
n
令{d }的前n项和为T ，
n n则T ＝10×3＋×12＝570，
10
所以{d }的前10项的和为570.
n
2.(2024·成都诊断)已知各项均为正数的数列{a }满足a ＝1，a－2S ＝n＋1，S 是
n 1 n n
数列{a }的前n项和.
n
(1)求数列{a }的通项公式；
n
(2)在a 和a (k∈N*)中插入k个相同的数 2k构成一个新数列{b }：a ，2，a ，
k k＋1 n 1 2
22，22，a ，23，23，23，a ，…，求{b }的前90项和T .
3 4 n 90
解 (1)当n＝1时，a ＝2，
2
当n≥2时，得a－2S ＝n，
n－1
又a－2S ＝n＋1，
n
两式相减得a－a＝2a ＋1，
n
a＝a＋2a ＋1＝(a ＋1)2，
n n
∵数列{a }各项均为正数，∴a －a ＝1，
n n＋1 n
又∵a －a ＝1，∴数列{a }为等差数列，
2 1 n
故a ＝a ＋n－1＝n.
n 1
(2)在数列{b }中，在a 之前的所有项数为
n k＋1
k＋(1＋2＋3＋…＋k)＝≤90，
故k≤12时，当k＝12时，数列{b }中，a 之前的所有项数恰好为90，
n 13
∴T ＝(a ＋a ＋a ＋…＋a )＋(1×21＋2×22＋3×23＋…＋12×212)
90 1 2 3 12＝＋(1×21＋2×22＋3×23＋…＋12×212)
＝78＋(1×21＋2×22＋3×23＋…＋12×212)，
令Q ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋12×212，
12
则2Q ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋12×213，
12
∴－Q ＝21＋22＋23＋24＋…＋212－12×213＝－11×213－2，
12
∴Q ＝11×213＋2，
12
∴T ＝78＋Q ＝11×213＋80.
90 12
