文档内容
专题 10 幂的运算的五种考法
目录
解题知识必备.....................................................................................................................................................1
压轴题型讲练.....................................................................................................................................................2
类型一、幂的混合运算......................................................................................................................................2
类型二、利用幂的运算及逆用比较大小............................................................................................................5
类型三、利用幂的运算及逆用简便运算............................................................................................................8
类型四、利用幂的运算及逆用求式子的值......................................................................................................12
类型五、利用幂的运算及逆用求解新定义型问题...........................................................................................15
压轴能力测评（15题）....................................................................................................................................19
解题知识必备
1.同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2
与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指
数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓
住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
2.幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
3．同底数幂的除法
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什
么．
压轴题型讲练
类型一、幂的混合运算
例题：（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【变式训练1】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
【变式训练2】（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
(3) ；
(4) ．
【变式训练3】（24-25八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．类型二、利用幂的运算及逆用比较大小
例题：（23-24七年级上·江苏盐城·期中）在数学兴趣小组中，同学们学到了很多有趣的数学知识，其中有
一个数学知识引起了同学们的兴趣．
（i）阅读和学习下面的材料：
比较 ， ， 的大小．
分析：小刚同学发现55，44，33都是11的倍数，于是把这三个数都转化为指数为11的幂，然后通过比较
底数的方法，比较了这三个数的大小，解法如下：
解： ， ， ，
．
（ii）阅读和学习下面的材料：
已知 ， ，求 的值．
分析：小明同学发现，这些已知的幂和所求的幂的底数都相同，于是逆用同底数幂和幂的乘方公式，完成
题目的解答．解法如下：
解： ， ，
．
学习以上解题思路和方法，然后完成下题：
(1)比较 ， ， 的大小（用“<”号连接起来）．
(2)计算： ．
【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）阅读材料：下面是底数大于1的数比较大小的两种方法：
①比较 ， 的大小：当 时， ，所以当同底数时，指数越大，值越大；
②比较 和 的大小：因为 ， ， 所以 ．
可以将其先化为同指数，再比较大小，所以同指数时，底数越大，值越大．
根据上述材料，解答下列问题：
(1)比较大小： __________ （填“ ”或“ ”）
(2)已知 ， ， ，试比较 ， ， 的大小．
【变式训练2】（24-25八年级上·全国·课后作业）阅读下列解题过程：
若 ，比较a，b的大小．
解：因为 ，
，
．
所以 ．所以 ．
依照上述方法解答问题：
已知 ，试比较x与y的大小．
【变式训练3】（23-24七年级下·山东淄博·阶段练习）阅读下列两则材料，解决问题：
材料一：比较 和 的大小．
解：∵ ，且
∴ ，即
小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小
材料二：比较 和 的大小
解：∵ ，且
∴ ，即
小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小
【方法运用】
(1)比较 、 、 的大小
(2)比较 、 、 的大小
(3)已知 ， ，比较a、b的大小
类型三、利用幂的运算及逆用简便运算
例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）用简便方法计算：
(1) ；
(2) ．
【变式训练1】（23-24七年级下·河北沧州·期中）上课时王老师给学生出了一道题：
计算： ．同学们看了题目后发表不同的看法．小张说：“指数太大计算不了．”小李说：“可
以逆运用同底数相乘、幂的乘方和积的乘方就可以解决问题．”
(1)下面是小李尚未完成的解题过程，请你帮他补充完整．
解：
________
________
（________）(2)请你利用小李的解题方法解答下面问题：
①计算： ；
②若 ，则 的值为________________．
【变式训练2】（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）阅读下列各式：
…
回答下列三个问题：
(1)验证： ， ；
(2)通过上述验证，归纳得出： ； ．
(3)请应用上述性质计算： ．
【变式训练3】（23-24七年级下·山东潍坊·期中）我们知道，一般的数学公式，法则、定义可以正向运用，
也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：
；
； ；其中m，n为正整数．结合以上材料解决下列问题．
(1)已知 ，请把a，b，c用“ ”连接起来；
(2)若 ，求 的值；
(3)化简： ．
类型四、利用幂的运算及逆用求式子的值
例题：（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知 ， ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值；
(3)直接写出字母 、 、 之间的数量关系为________．
【变式训练1】（2024七年级下·全国·专题练习）若 且 ， 、 是正整数），则 ．
利用上面结论解决下面的问题：
(1)若 ，求 的值．
(2)若 ， ，用含 的代数式表示 ．
【变式训练2】（23-24七年级下·江苏连云港·期中）幂的运算性质在一定条件下具有可逆性，如
，则 ．（ 为非负数、 为非负整数）请运用所学知识解答下列问题：(1)已知： ，求 的值．
(2)已知： ，求 的值．
【变式训练3】（23-24七年级下·江苏扬州·期中）若 （ 且 ），则 ．利用上面结论解
决下面的问题：
(1)已知 ，求 的值．
(2)若 ，求 的值．
(3)若 ， ，用含 的代数式表示 ．
类型五、利用幂的运算及逆用求解新定义型问题
例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）规定两数 ，b之间的一种运算，记作 ，如果 ，那么
．例如：因为 ，所以 ．
(1)根据上述规定，填空：
________， ________；
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象：
，他给出了如下的证明：
设 ，则 ，即 ，
，即 ，
．
请你尝试运用上述方法说明下面这个等式成立的理由．
．
【变式训练1】（22-23七年级下·江苏无锡·期中）如果 ，则 ，例如 ，则 ．
(1)根据上述规定，若 ，则 ；
(2)记 ， ， ，求 之间的数量关系．
【变式训练2】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）阅读理解：①根据幂的意义，an表示 个 相乘；则
；② ，知道 和 可以求 ，我们不妨思考：如果知道 ， ，能否求 呢？对于
，规定 ，例如：因为 ，所以 ．
(1) , ；
(2)分别计算 、 的值，试猜想 、 、 之间的等量关系式；(3)若记 ， ，请用含 的代数式表示 ．
【变式训练3】（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如 的式子中， 我们已经研究过两种情况：①
已知 和 ，求 ，这是乘方运算：②已知 和 ，求 ，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况：
已知 和 ，求 ，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果 ， ， ，则 叫
做以 为底 的对数，记作： ，例如： 求log 8，因为 ，所以 ；又比如
2
，
，
(1)根据定义计算：
① ；② ；③如果 ，那么 ；
(2)设 ， ，则 ， ， ， 、 均为正数） ， ，
，
，即 这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得
出： ； （其 中 、 、 、 、 均为正数， ，
(3)请你猜想： （ ， ， 、 均为正数）
压轴能力测评（20题）
一、单选题
1．（2024·广东惠州·模拟预测）计算 的结果（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．3．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）若 成立，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
4．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）已知 ， ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．2000 D．
5．（2024七年级上·浙江·专题练习）已知 ，则 的值等于（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
6．（23-24七年级下·全国·假期作业）计算 的结果等于 ．
7．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知 ， ，则 ．
8．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若 ，则 的值为 ．
9．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）已知 为正整数，且 ，求 的值为
．
10．（24-25八年级上·吉林长春·期中）若 ，则a、b、c的大小关系是 ．
（用“ ”连接）
三、解答题
11．（23-24七年级上·上海奉贤·期中）计算： ．
12．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ．
13．（23-24六年级下·山东东营·阶段练习）若 且 ， ， 是正整数 ，则 ．你能利
用上面的结论解决下面两个问题吗？
(1)已知 ，求 的值．
(2)已知 ，求 的值．
14．（23-24七年级下·河北唐山·期中）（1）计算：
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）已知 ，求 的值．
15．（23-24七年级下·全国·课后作业）1）已知 ， ．求 的值；（2）已知 ， ．用a，b表示 的值；
（3）已知 为正整数，且 ．求 的值．
16．（2024八年级上·全国·专题练习）阅读下列解题过程：
试比较 与 的大小．
解： ，而 ．
请根据上述解题方法，比较 的大小．
17．（24-25七年级上·四川达州·期中）规定两数 ， 之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么
．例如：因为 ，所以 ．
(1)根据上述规定，填空： ， ， ；
(2)若 ， ， ，请你尝试运用上述运算证明： ；
(3)进一步探究这种运算时发现一个结论： ，
证明：
设 ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ．
∴ ．
结合（2）、（3）探索的结论，计算： ．
18．（24-25八年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果 ，那么我们规定 ．例如：因为 ，所
以 ．
(1) ____________；若 ，则 ____________；
(2)已知 ， ， ，若 ，求 的值；
(3)若 ， ，求 的值
19．（24-25八年级上·湖南·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对
于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，
请阅读下列材料：若 ， ，则 的大小关系是 ______ （填“ ”或“ ”．）
解： ， ，且 ，
，
类比阅读材料的方法，解答下列问题：
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______；A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)比较 的大小；
(3)比较 与 的大小；
(4)已知 ， ， ．求 之间的等量关系．
20．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）规定两数 之间的一种运算，记作 ：如果 ，那么
例如：因为 ，所以 ．
规定： ，比如：
(1)根据上述规定，填空： ____________， ____________， ____________．
(2)小明在研究这种运算时发现一个现象： 他给出如下的证明：设 ，则 ，
而 ，所以 ，则 ，即 ，所以
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
(3)请你参照（2）的 ，写出一个成立的等式____________．
