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长沙市 2023 年新高考适应性考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
3+i (3+i)(1+i)
解析：由z= = =1+2i，可得|z|= 5．
1−i (1−i)(1+i)
2．【答案】C
y=x x=0 x=1 x=−1
解析：联立 ，解得 ，或 ，或 ，
y=x3 y=0 y=1 y=−1
即A∩B={(0,0),(1,1),(−1,−1)}，共有3个元素．
3．【答案】C
1
解析：由 =log 2 2t+ 2，解得t> +1；
2
6
当两圆内含时， 1+4t2 <| 2t− 2|，解得00，则g(a)单调递增，有g(a)∈[1−ln(ln2),e−1)，
ln2
x +1 e
即 2 ∈[ ,ee−1)．
x +2 ln2
1
当a≥1时，方程 f(t)=a有一个实根t=ea −1≥e−1>1，方程 f(x)=t只有一个实
根，不合题意．
x +1 e
综上可知， 2 ∈[ ,ee−1)．
x +2 ln2
1
x+2, x<−1
法2：设g(x)= f(f(x))，则g(x)=ln(x+2), −1≤x<0 ，作出图象如下，易知
ln(ln(x+1)+1), x≥0
a∈[ln2,1)．
6x +1 eea−1
由x +2=a，ln(ln(x +1)+1)=a，即x +1=eea−1，可得 2 = ．
1 2 2 x +2 a
1
eea−1 eea−1(aea −1)
设ϕ(a)= ,a∈[ln2,1)，则ϕ'(a)= >0，可得函数ϕ(a)单调递增，有
a a2
e x +1 e
ϕ(a)∈[ ,ee−1)，即 2 ∈[ ,ee−1)．
ln2 x +2 ln2
1
四．解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
解析（1）设{a }的公差为d，{b }的公比为q，
n n
2q=2d+1
依题意可知a =1,b =2，且 ，消去q化简得d +4d =5．
1 1 1+2d +2q2 =11
又函数 f(x)= x+4x在(−∞,+∞)单调递增的函数，且 f(1)=5，则d =1，q=2．
因此，a =1+(n−1)×1=n，b =2⋅2n−1 =2n．................................................5分
n n
（2）依题意，S =1×21+2×22+⋯+n×2n①，
n
两边同时乘以公比2，得2S =1×22 +2×23⋯+(n−1)×2n +n×2n+1②，
n
将①，②两边同时相减得
2(1−2n)
−S =2+22 +23+⋯+2n −n×2n+1= −n×2n+1=(1−n)2n+1−2，
n
1−2
故S =(n−1)2n+1+2．.......................................................................................................10分
n
18．（本题满分12分）
a−b c
解析（1）由正弦定理，可得 = ，整理得a2 +c2 −b2 = 3ac．由余弦定理，
3a−c a+b
a2+c2 −b2 3 π
可得cosB= = ，解得B= ．................................................................5分
2ac 2 6
7a b c 2 b c 1
（2）法1：由正弦定理 = = ，即 = = ，可得b= ，
sinA sinB sinC sinA π sinC sinA
sin
6
5π
2sin( −A)
c= 2sinC = 6 = 3sinA+cosA = 3+ cosA ，
sinA sinA sinA sinA
A
2cos2
则b+c= 3+ 1+cosA = 3+ 2 = 3+ 1 ．
sinA A A A
2sin cos tan
2 2 2
π
0< A<
2 π π π A π
在锐角(cid:1)ABC中，由 ，解得 < A< ，即 < < ．
5π π 3 2 6 2 4
0= (cid:2)(cid:3) (cid:3) = = ，
|m||n| 3× 5 5
15
即平面FEB与平面EAB的夹角的余弦值为 ．....................................12分
5
法 2：如下图，在平面 EAB 中，过点 M 作 EB 的垂线与 EA相交于点 N ，则
∠NMF 为二面角F−EB−A的平面角．
由(cid:1)ENM ∽(cid:1)EBA，可得 EN = NM = ME ．又BA=1，EB= 6 ，ME= 6 ，
EB BA AE 2
3 5 30
AE= 5 ，解得EN = ，MN = ．
5 10
过点N 作NP⊥ED于点P，过点P作PQ⊥FC 于点Q，
10可求得NP= 3 ，PQ=1，QF = 1 ，则NF2=NP2+PQ2+QF2= 7 ．
5 5 5
2
又MF = BF2−BM2 = ，在(cid:1)NMF 中，由余弦定理可求得
2
MN2 +MF2 −NF2 15
cos∠NMF = =− ，
2MN⋅MF 5
15
即平面FEB与平面EAB的夹角的余弦值为 ．..............................12分
5
20．（本题满分12分）
3 4 3
解析（1）由题意可知，甲组获得决赛资格的的概率为 p = × = ，
1 4 5 5
3 2 2
乙组获得决赛资格的概率为p = × = ．
2 5 3 5
3 2 6
X 的可能取值为0，1，2，则P(X =0)=(1− p )(1− p )=(1− )×(1− )= ，
1 2 5 5 25
3 2 3 2 13 6
P(X =1)=(1− p )⋅p + p ⋅(1− p )=(1− )× + ×(1− )= ， P(X =2)= p ⋅p = ，
1 2 1 2 5 5 5 5 25 1 2 25
可得X 的分布列为
X 0 1 2
6 13 6
P
25 25 25
6 13 6
E(X)=0× +1× +2× =1． ...........................................................................6分
25 25 25
（2）设B表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，A表示事件“甲
1
小组抢到最后一道题”，A 表示事件“乙小组抢到最后一道题”，
2
9 11 3 2
则P(A)= ，P(A )= ，P(B|A)= ，P(B|A )= ．
1 20 2 20 1 5 2 5
9 3 11 2 49
根据全概率公式，可得P(B)=P(A)P(B|A)+P(A )P(B|A )= × + × = ，
1 1 2 2 20 5 20 5 100
9 3
×
从而P(A |B)= P(A 1 B) = P(A 1 )P(B|A 1 ) = 20 5 = 27 ，
1 P(B) P(B) 49 49
100
27
即该题是甲组答对的概率为 ．.................................................12分
49
11备用：设A表示事件“甲小组抢到最后一道题”，A 表示事件“乙小组抢到最后
1 2
一道题”，B 表示事件“甲小组对最后一道题回答正确”，B 表示事件“乙小组对最
1 2
后一道题回答正确”，B表示事件“该单位的某小组对最后一道题回答正确”，
9 11 3 2
则P(A)= ，P(A )= ，P(B )= ，P(B )= ．
1 20 2 20 1 5 2 5
9 3 11 2 49
可得P(B)=P(AB)+P(AB )=P(A)P(B)+P(A )P(B )= × + × = ，
1 1 2 2 1 1 2 2 20 5 20 5 100
9 3
×
从而P(AB |B)= P(A 1 B 1 B) = P(A 1 B 1 ) = P(A 1 )P(B 1 ) = 20 5 = 27 ，
1 1 P(B) P(B) P(B) 49 49
100
27
即该题是甲组答对的概率为 ．.................................................12分
49
21．（本题满分12分）
解析（1）设直线AB:y=kx，两点A，B的坐标分别为(x ,y )，(x ,y )，将直线AB
A A B B
与椭圆的方程联立，可得(2k2 +1)x2 −2=0，
2
则x +x =0，x x =− ．
A B A B 2k2 +1
y −1 y −1 kx −1 kx −1 2kx x −(x +x )
从而k +k = A + B = A + B = A B A B =2k ，
AP BP x x x x x x
A B A B A B
即直线PA，AB，PB的斜率成等差数列．......................5分
2
（2）法1：点P(0,1)到直线y=−x+2的距离d = ，为定值，
2
y −1
直线PA的方程为y= A x+1，与直线方程y=−x+2联立，
x
A
x x x
可解得x = A = A ； 同理可得x = B ，
C D
x + y −1 (k+1)x −1 (k+1)x −1
A A A B
1 1
k2 + k2 +
CD = 2| x A −x B |= 2⋅ 2 = 2⋅ 2 ．
(k+1)2x A x B −(k+1)(x A +x B )+1 |k+ 1 | (k+ 1 )2
4 4
121
k2 +
从而S = 1 |CD|⋅d == 1 2 ．
(cid:1)PCD 2 2 (k+ 1 )2
4
1 1 3 1 4 128 3 8 2 2
令t=k+ ，则k =t− ， 可得S = ( − )2 + ≥ × = ，当且仅
4 4
(cid:1)PCD
8 t 9 81 8 9 3
2
当k =2时取等号，故(cid:1)PCD面积的最小值为 ．.................................12分
3
法2：根据题意可知
y −1 y −1 y y −(y +y )+1 y (−y )−(y −y )+1 y2 −1 y2 −1 1
k ⋅k = A ⋅ B = A B A B = A A A A = A = A =− ．
AP BP x x x x x (−x ) x2 2−2y2 2
A B A B A A A A
y =−x +2 1 1
由 C C ，解得x = ； 同理可得x = ．
y
C
=k
AP
x
C
+1 C 1+k
AP
D 1+k
BP
直线y=−x+2与 y轴相交于点E(0,2)，则
1 1 1 1 1 k −k
S =|S −S |= ⋅|PE|⋅|x −x |= | − |= | BP AP |
(cid:1)PCD (cid:1)PED (cid:1)PEC 2 C D 2 1+k 1+k 2 k k +(k +k )+1
AP BP AP BP AP BP
= 1 | (k AP +k BP )2−4k AP k BP |= 1 | 4k2−4×(− 1 2 ) |= 1 k2+ 1 2 ．
2 k AP k BP +(k AP +k BP )+1 2 − 1 +2k+1 2 (k+ 1 )2
2 4
后续过程，类似于解法1．.....................................................................................12分
22．（本题满分12分）
解析（1）依题意， f '(x)=(4x−3x2 −2x2 +x3)e1−x =x(x−1)(x−4)e1−x，
则 f(x)在(0,1)单调递增，在(1,4)单调递减，在(4,+∞)单调递增．
当x≥2时， f(x)≤0恒成立，则 f(x)的最大值为 f(1)=1．....................................4分
（2）设g(x)=ax2e1−x+|lnx|−a，其中x>0．
方法1（先对参数分类讨论，再对自变量分段讨论）
当a=0时，g(x)=|lnx|≥0，符合题意．
当a>0时，注意到g(1)=0．
（i）当0g(1)=0，
a
符合题意．
1 1
若0< <1，即a>1时，存在x ∈(0,1)，使得 f(x )= ．当x∈(x ,1)时，
a 0 0 a 0
1
f(x)> ，且g'(x)>0，则g(x)单调递增，可得g(x)lnx−a≥lnx−1≥0；当1≤xmin{h(1),h(e)}=min{0,e3−e −1}=0，从而g(x)=a⋅h(x)+lnx>0．符合题
意．...........................................................................................................8分
当a<0时，注意到g(1)=0．
1
（i）当0g(1)=0，符合题意．
（ii）当x≥1时，g(x)=ax2e1−x +lnx−a，且
1 a 1
g'(x)=a(2x−x2)e1−x + = [f(x)+ ]．
x x a
1
若 >−1，即a<−1时，由（1）知 f(x)在(0,2)单调递减，且 f(x)∈(0,1)．存在
a
1 1
x ∈(1,2)，使得 f(x )+ =0，当x∈(1,x )时， f(x)+ >0，且g'(x)<0，则g(x)单
1 1 a 1 a
调递减，可得g(x)g(1)=0，符合题意．
若a=0时，g(x)=−lnx>0，符合题意．
1
若 ≥1，即0g(1)=0，
a
符合题意．
1 1
若0< <1，即a>1时，存在x ∈(0,1)，使得 f(x )= ．当x∈(x ,1)时，
a 0 0 a 0
1
f(x)> ，且g'(x)>0，则g(x)单调递增，可得g(x)1时，g(x)=ax2e1−x +lnx−a，且g'(x)=a(2x−x2)e1−x + = [f(x)+ ]．
x x a
1
若 >−1，即a<−1时，由（1）知 f(x)在(1,2)单调递减，且 f(x)∈(0,1)．存在
a
1 1
x ∈(1,2)，使得 f(x )+ =0，当x∈(1,x )时， f(x)+ >0，且g'(x)<0，则g(x)单
1 1 a 1 a
调递减，可得g(x)0，则g(x)在(1,+∞)单调递增，有
a
g(x)>g(1)=0，符合题意．
若a=0时，g(x)=lnx>0，符合题意．
若0lnx−a≥lnx−1≥0；当1min{h(1),h(e)}=min{0,e3−e −1}=0，从而g(x)=a⋅h(x)+lnx>0．符合题意．
若a>1时，结合情况②，无需再讨论．
综上可知，a∈[−1,1]符合题意．...........................................................................12分
说明注意到g(1)=0，则g(x)≥0恒成立的必要条件为：g'(1)≤0(0
