文档内容
专题 10 特殊的平行四边形中的最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟
考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，
方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
【模型背景】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之
间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老
人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不
归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的
一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
B
砂石地 V1
V1
驿道
A V2 C
∠A的对边
sinA=
斜边
补充知识：在直角三角形中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即 。
若无法理解正弦，也可考虑特殊直角三角形（含30°，45°，60°）的三边关系。
【模型解读】一动点P在直线MN外的运动速度为V ，在直线MN上运动的速度为V ，且V 1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短。
ABCD AB AC 10 AC BD
例1．（2021·眉山市·中考真题）如图，在菱形 中， ，对角线 、 相交于点
1
，点 在线段 上，且 ，点 为线段 上的一个动点，则MP PB的最小值是______．
O M AC AM 3 P BD 2
例2．（2023·湖北武汉·九年级期末）如图，
▱
中 ， ， ， 为边 上一点，
则 的最小值为______．
例3．（2023上·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，点 在
上，连接 ，在点 的运动过程中， 的最小值为 ．
例4．（2022·广东佛山·校考一模）在边长为1的正方形 中， 是边 的中点， 是对角线 上
的动点，则 的最小值为 ___________．例5．（2022·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 分别交x轴、
y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
例6．（2023·山东济宁·校考模拟预测）如图，矩形 的对角线 ， 相交于点 ， 关于
的对称图形为 ．（1）求证：四边形 是菱形；（2）连接 ，若 ， ．
①求 的值；②若点 为线段 上一动点（不与点 重合），连接 ，一动点 从点 出发，
以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，再以 的速度沿线段 匀速运动到点 ，到达点 后
停止运动．当点 沿上述路线运动到点 所需要的时间最短时，求 的长和点 走完全程所需的时间．课后专项训练
1．（2023上·四川乐山·九年级统考期末）如图，在 中， ，若D是
边上的动点，则 的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
3．（2023·广东东莞·校考三模）如图，菱形ABCD的边长为6，∠B＝120°．点P是对角线AC上一点（不与
端点A重合），则 AP+PD的最小值为_____．
3．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC ，E为线段AB上一动点，连接CE，则 AE＋CE的最小值为___．
4．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图， ▱ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝2，P为边CD上的一动
点，则2PB+ PD的最小值等于______.
5．（2023·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形 中， ，E为边
上的一动点，那么 的最小值等于______．
6．（2023·内蒙古通辽·统考一模）如图，已知菱形ABCD的边长为8，点M是对角线AC上的一动点，且
∠ABC=120°，则MA+MB+MD的最小值是________．
7．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，按下列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的一
个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
8．（2023上·江苏淮安·八年级校联考期中）已知等边 中， ， ，若点P在线段
上运动时， 的最小值为 ．
9．（2023上·广东深圳·九年级校考期中）如图，在 中， ， ， . ，
分别是边 ， 上的动点，且 ，则 的最小值为 ．
10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴于B、A两点，点C（0，1）在y
轴上，点P在x轴上运动，则 PC＋PB的最小值为___．11．（2023·四川眉山·统考一模）两张宽为3cm的纸条交叉重叠成四边形ABCD．如图所示若 ，P
是对角线BD上的一个动点，则 的最小值是______．
12．（2023·湖北孝感·校考模拟预测）如图，四边形 是正方形纸片， ．对折正方形纸片
，使 与 重合，折痕为 ；展平后再过点 折叠正方形纸片，使点 落在 上的点 处，
折痕为 ；再次展平，延长 交 于点Q．有如下结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ 为线段 上一动点，则 的最小值是 ．其中正确结论的
序号是 ．
13．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在 ， ， ，求点
到 的距离．（2）【问题延伸】如图②，在 ， ， ．若点 在边 上，点在线段 上，连结 ，过点 作 于 ，则 的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形 中， ．点 在边 上，点 在边 上，点 在
线段 上，连结 ．若 ，则 的最小值为______．
14．（2023·广东广州·九年级校考自主招生）如图，已知菱形 的边 、 上的中点分别为点E、
F，且 ， ．(1)若 的延长线交于点 ， ，求 的面积．(2)在（1）的
条件下，点 是直线 上一点，求 的最小值．15．（2023下·江苏淮安·八年级统考期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）
题是这样一个问题：
如图1，在正方形 中，点 分别在边 上，且 ，垂足为M．那么 与 相等
吗？
（1）直接判断： ___________ （填“ ”或“ ”）；在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：（2）如图2，在正方形 中，点 分别在边 和 上，且 ，垂足
为M．那么 与 相等吗？证明你的结论；
问题拓展：（3）如图3，在（2）的条件下，当 在正方形 的对角线 上时，连接 ，将
沿着 翻折，点 落在点 处．①四边形 是正方形吗？请说明理由；
②若 ，如图4，点 在 上，且 ，直接写出 的最小值为__________．
