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专题 10 解三角形的实际应用
类型一、仰角、俯角问题
例．为了保护学生视力，要求学生写字时应保持眼睛与书本最佳距离约为 ．如图，
为桌面，嘉琪同学眼睛 看作业本 的俯角为 ，身体离书桌距离 ，眼睛
到桌面的距离 ．
(1)通过计算，请判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；
(2)为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离 和眼睛到桌面的距
离 保持不变的情况下，需将作业本沿 方向移动到点 处，求作业本移动的距离 ．
（结果精确到 ）（参考数据： ， ， ．）
【答案】(1)距离不符合最佳要求
(2)作业本移动的距离
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用——仰角俯角问题，勾股定理，熟练掌握仰
俯角的概念是解题关键．
（1）根据三角函数的定义列式计算即可；
（2）根据勾股定理求出 的长，再利用三角函数求出移动后的俯角，再求出 的长，
即可求出最后结果．
【详解】（1）解：如图，在 中，
， ，
，
，
，
，
，
距离不符合最佳要求；（2）在 中， ， ，
，
为了符合最佳要求， ，
在 中， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【变式训练1】．（1）如图：为测量河宽 （假设河的两岸平行），在点 处测得
，在点 处测得 ，且 ，则河宽 为多少 （结果保留根
号）．
（2）如图所示，小明同学在学校某建筑物的点 处测得旗杆顶部点 的仰角为 ，旗杆
底部点 的俯角为 ．若旗杆底部点 到建筑物的水平距离 米，旗杆台阶高 米，
则旗杆顶点 离地面的高度为多少米（结果保留根号）．
【答案】（1）河宽 为 ；（2）旗杆顶点 离地面的高度为 米
【分析】（1）根据 ， ，则 ，根据等角对等边，
，在 中，根据 ，得出 的长即可；（2）作 于点 ，构成两个直角三角形．运用锐角三角函数分别求出 和 ，
即可解答．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ．
答：河宽 为 ；
（2）解：如图，作 于点 ．
∵根据题意可得：在 中，有 ，
在 中，有 ，∴ ，
∴旗杆顶点 离地面的高度为 米．
答：旗杆顶点 离地面的高度为 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数解直角三角形是解题的
关键．
【变式训练2】．如图，小明为了测量小河对岸大树 的高度，他在点A测得大树顶端
的仰角为 ，沿斜坡走 米到达斜坡上点 ，在此处测得树顶端点 的仰角为 ，且
斜坡 的坡比为 ， ，A， 在同一水平线上．(1)求小明从点A到点 的过程中，他上升的高度．
(2)大树 的高度约为多少米 参考数据： ， ，
【答案】(1)小明从点A到点 的过程中，他上升的高度为 米
(2)大树 的高度约为 米
【分析】（1）作 于 ，在 中， ，则 ．由勾股定理
得 ,即可求出答案；
（2）延长 交 于点 设 米．求出 米 在
中， ，则 米 在 中，
，则 米．由 得到 ，即可求得答案．
【详解】（1）作 于 ，如图所示，
在 中，
，
．
，
，米
答：小明从点A到点 的过程中，他上升的高度为 米
（2）如图，延长 交 于点 设 米．
由题意，得 ，
米．
米，
米
在 中， ，
米
在 中， ，
米．
，
，
解得 ．
答：大树 的高度约为 米
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡角、仰角、三角函数的概念等知识
是解题的关键．
【变式训练3】．位于河南省登封市嵩山南麓嵩岳寺内的嵩岳寺塔是中国现存最早的砖塔，
也是全国古塔中的孤例．嵩岳寺塔建于北魏正光年间，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹
立，也是中国唯一的一座十二边形塔．某数学小组测量嵩岳寺塔 的高度，如图，在台
阶 底端A处用测角仪测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为 ，在台阶 顶端B处用测角仪
又测得嵩岳寺塔顶端D的仰角为 ．已知测角仪的高度为 ，平台 的高度为 ，
台阶 的坡度 ，图中所有点均在同一竖直平面内，点A，H与点C在同一水平线上，
求嵩岳寺塔 的高度．（结果精确到 ．参考数据： ， ，
）【答案】
【分析】过点E作 于点M，过点F作 于点N，延长 交 于点K，
延长 交 于点L，如图所示，则 ， ．根据题意可得
， ． ，设嵩岳寺塔 的高
度为 ，则 ， ．
在 和 中，利用锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：过点E作 于点M，过点F作 于点N，延长 交 于点
K，延长 交 于点L，如图所示，则 ， ．
由题意得 ， ， ．
∵台阶 的坡度 ，
∴ ，
即 ，
设嵩岳寺塔 的高度为 ，则 ， ．
在 中， ，
∴ ．
在 中， ， ，
∴ ，
解得 ．经检验， 是分式方程的解，且符合实际意义．
答：嵩岳寺塔 的高度约为 ．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念，
熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
【变式训练4】．小东同学学习了《锐角三角函数》一章后，决定运用所学知识测算教室
对面远处正在施工的塔吊（一种将重物吊到高处的建筑工具）的高度．小东现在所处的位
置是四楼教室的点 处 ，小东利用测角仪测得对面远处塔吊正在施工的六层
（每层高 ）建筑物的顶部点 的仰角为 ，测得被这幢六层建筑物遮住了一部
分的塔吊的顶端点 的仰角为 ．按照安全规定：此时塔吊的底部点 距建筑物的底部
点 是 ．利用这些数据，小东经过详细的计算，得出塔吊的高度约为 ，但这个高
度明显违反了此种塔吊使用的安全规定（塔吊的最高高度与建筑物的最高高度差必须保持
在 ），亲爱的同学，你也来利用小东测得的数据，仔细算一算塔吊的高度，并判
断该塔吊是否违规操作．（结果保留一位小数．参考数据： ，
， ， ， ）
【答案】塔吊的高度为： ，塔吊没有违规操作.
【分析】如图，过 作 于 ，交 于 ，则 ， ，
， ， ， ， ，可得
，再分别求解 ， ， ，从而可得答案.
【详解】解：如图，过 作 于 ，交 于 ，则 ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ， ，
，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴塔吊的高度为： ，而 ，
∴塔吊没有违规操作.
【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，作出合适的辅助线，理解仰角的含义是
解本题的关键．
类型二、方位角问题
例．如图一艘轮船位于灯塔 的正西方向的 处，且灯塔 到 处的距离为20海里，轮船
沿东北方向匀速航行，速度为10海里/时．
(1)多长时间后，轮船行驶到达位于灯塔 的西北方向上的 处？（结果保留根号）
(2)轮船不改变航行行驶到达位于灯塔 的北偏东15°方向上的 处，求灯塔 到 处的距
离。（结果保留根号）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） ， 的位置就是灯塔 的西北方向，在直角 中求得 ，
即可利用速度公式求解；（2）在 中利用三角函数即可求解．
【详解】（1）解：在 中， ， ， 海里，
海里．
轮船行驶到灯塔 的西北方向点 所用的时间为 （小时）；
（2）解：在 中， ， ，
．
海里．
海里
答：灯塔 到 处的距离是 海里．
【点睛】本题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．
【变式训练1】．如图，三角形花园 紧邻湖泊，四边形 是沿湖泊修建的人行步
道，经测量，点C在点A的正东方向， 米，点E在点A的正北方向，点B，D在点
C的正北方向， 米，点B在点A的北偏东 ，点D在点E的北偏东 ．
(1)求步道 的长度（精确到个位）；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经
过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据： ， ）
【答案】(1)141米
(2)经过点B到达点D较近，理由见解析
【分析】（1）过D作 ，交 的延长线于F，易证四边形 是矩形，因此
，在 中，由于 ，通过解直角三角形可得
，代入即可求解步道 的长度；
（2）在 中，解直角三角形 ，在 中，根据 ，可得 ， ，因此经过点B到达点D路
程为 （米），另外 ，
，因此经过点E到达点D路程为
米，由此比较可得到他走哪一条路较近．
【详解】（1）过D作 ，交 的延长线于F，如图：
∴ ，
由题意可知： ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
∴ （米）；
∴步道 的长度约为141米．
（2）在 中， ，
∴ ，
∵点B在点A的北偏东 ，即 ，
∵ ，
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴经过点B到达点D路程为 （米），∵ ，
∴ ，
∴ 米，
∴经过点E到达点D路程为 米，
∵ ，
∴经过点B到达点D较近．
【点睛】本题考查通过勾股定理，锐角三角函数解直角三角形，读懂题意，从实际问题从
抽象出几何问题，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键．
【变式训练2】．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向．
有一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西 的方向，从B处测得渔船在其东北方
向，且测得B，P两点之间的距离为30海里．
(1)求观测站A，B之间的距离（结果保留根号）；
(2)渔船从点P处沿射线 的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得
渔船在北偏西 的方向．在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时25
海里的速度前往C处，请问补给船能否在100分钟之内到达C处？（参考数据：
）
【答案】(1)观测站A，B之间的距离为 海里；
(2)补给船能在100分钟之内到达C处，理由见解析
【分析】（1）过点P作 于D点，可得 ，然后在 中，
利用锐角三角函数的定义求出 ， 的长，再在 中，利用锐角三角函数的定义
求出 的长，进行计算即可解答；
（2）过点B作 ，垂足为F，根据题意得： ， ，从而求
出 ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再在 中，
利用锐角三角函数的定义求出 的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）解：过点P作 于D点，∴ ，
点P在点B的东北方向上，
，
在 中， 海里，
（海里）， （海里），
在 中， ，
（海里），
（海里），
∴观测站A，B之间的距离为 海里；
（2）解：补给船能在100分钟之内到达C处，
理由：过点B作 ，垂足为F，
，
由题意得： ， ，
，
在 中， ，
）海里，
在 中， ，海里，
∴补给船从B到C处的航行时间 （分钟），
，
∴补给船能在100分钟之内到达C处．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添
加适当的辅助线是解题的关键．
【变式训练3】．在一次海上救援中，两艘专业救助船A、B同时收到某事故渔船P的求救
讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西 方向上，
在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里
(1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离（结果保留根号）；
(2)求救助船A、B分别以40海里/小时，30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故
渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．
【答案】(1) 海里
(2)救助船B先到达
【分析】（1）如图，作 于 ，在 中先求出 的长，继而在 中求出
的长即可；
（2）根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可．
【详解】（1）解：作 于C．则 ，
由题意得： 海里， ， ，
在 中，∵ ， ，
∴ 海里，
在 中，∵ ， ， ，
∴ （海里），
答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为 海里；
（2）∵ 海里， 海里，救助船A，B分别以40海里/小时、30海里/小时
的速度同时出发，
∴救助船A所用的时间为 （小时），救助船B所用的时间为 （小
时）
∵ ，
∴救助船B先到达．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直
角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键．
【变式训练4】．如图，某渔船在完成捕捞作业后准备返回港口C，途经某海域A处时，
港口C的工作人员监测到点A在南偏东 方向上，另一港口B的工作人员监测到点A在
正西方向上．已知港口C在港口B的北偏西 方向，且B、C两地相距120海里．(1)求出此时点A到港口C的距离（计算结果保留根号）；
(2)若该渔船从A处沿 方向向港口C驶去，当到达点 时，测得港口B在 的南偏东
的方向上，求此时渔船的航行距离（计算结果保留根号）．
【答案】(1)此时点 到港口 的距离为 海里
(2)此时该渔船的航行距离为 海里．
【分析】（1）延长 ，过点 作 延长线与点 ，利用 ，代入数
据计算即可求解；
（2）过点 作 于点N，推出 ，设 ，则 ，
，根据 ，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：如图所示：延长 ，过点 作 延长线与点 ，
由题意可得： ， 海里，
则 海里，
，
即 ，
（海里），
即此时点 到港口 的距离为 海里；（2）解：过点 作 于点N，如图：
由（1）得： 海里， 海里，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 平分 ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，解得： ，
∴ 海里，
答：此时该渔船的航行距离为 海里．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定义．
课后训练
1．遮阳伞可以遮住灼灼骄阳，站在伞下会凉爽很多，如图①，把遮阳伞（伞体的截面示意
图为 ）用立柱 固定在地面上的点O处，此时 垂直于地面 ，遮阳伞顶点A
与P重合．需要遮阳时，向上调节遮阳伞立柱 上的滑动调节点 ，打开支架 ，伞面
撑开如图②，其中， ， ， 为 中点， ，根据生活经验，
当太阳光线与伞口 垂直时，遮阳效果最佳．（图中的虚线就是太阳光线，同一时刻的
太阳光线是平行的）(1)某天上午10点，太阳光线与地面的夹角为 ，如图③，为使遮阳效果最佳，滑动调节
点 ，此时立柱 与支梁 夹角_________度．
(2)在（1）的情况下，若 为遮阳伞落在地面上的阴影如图④所示，求出这个阴影的长度．
(3)如图⑤，正午时分，太阳光与地面的夹角约为 ，滑动调节点 到 ，使遮阳效果最
佳，此对调节点 滑动的距离约为多少？（ ， ，
，结果精确到 ）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得 ， ，由 可得
，从而得到 ，由 即可得到柱 与支梁 夹角度
数；
（2）过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，可得四边形
为平行四边形，根据 ， 可得 ，再 利用
可求出 的长度，即可得到阴影的长度；
（3）过点 作 交 于点 ，根据题可求出 ，由 ，
， 即可得到调节点 滑动的距离；
【详解】（1）解：∵遮阳效果最佳，∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
，
∵ 为 中点， ，
∴ ， ，
∴立柱 与支梁 夹角 度；
（2）解：如图，过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ,
∴阴影的长度为 ．
（3）如图，过点 作 交 于点 ，∵遮阳效果最佳，即 ， ，
∴由四边形内角和知： ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
．
∴调节点 滑动的距离约为 ．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的三角函数值，平行四边形
的判定及性质是解决本题的关键．
2．某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度
，遮阳棚前端自然下垂边的长度 ，遮阳棚固定点A距离地面高度
，遮阳棚与墙面的夹角 ．
(1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面 的距离；
(2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角 ，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度
的长（结果精确到 ）．（参考数据：
）
【答案】(1)遮阳棚前端B到墙面 的距离约为(2)遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长约为
【分析】（1）作 于E，在 中，根据 列式计算即可；
（2）作 于E， 于H，延长 交 于K，则 ，可得四边形
，四边形 是矩形，解直角三角形 求出 ，可得 ，
然后 中，解直角三角形求出 ，进而可得 的长．
【详解】（1）解：如图3，作 于E，
在 中， ，即 ，
∴ ，
答：遮阳棚前端B到墙面 的距离约为 ；
（2）解：如图3，作 于E， 于H，延长 交 于K，则 ，
∴四边形 ，四边形 是矩形，
由（1）得 ，
∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，由题意得： ，
∴ ，∴ ，
在 中， ，即 ，
∴ ，∴ ，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长约为 ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造
出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．综合与实践
【问题情境】某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长 的云梯 ，如图，云
梯斜靠在一面墙上，这时云梯底端距墙脚的距离 ， ．(1)【独立思考】这架云梯顶端距地面的距离 有多高？
(2)【深入探究】消防员接到命令，按要求将云梯从顶端 下滑到 位置上(云梯长度不改
变)， ，那么它的底部 在水平方向滑动到 的距离 也是 吗？若是，请说
明理由；若不是，请求出 的长度．
(3)【问题解决】在演练中，高 的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员．
经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的 ，则云梯和消
防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达 高的墙头去救援被困人员？
【答案】(1) m
(2) 不是 m，而是 m
(3)云梯的顶端能到达 高的墙头去救援被困人员
【分析】（1）本题考查解直角三角形，将梯子底部到墙的距离线段对应为一个直角边，梯
子顶端到地的距离线段对应为另一个直角边，所以梯子顶端到地的距离为 ，
所以梯子顶端到地为 米；
（2）根据勾股定理求出 ，再与 作差，求出 的长度；
（3）先求出梯子能够到达墙面的最大高度，再与 比较，即可求得．
【详解】（1）解：（1）在 中，
∴ ．
（2）解：云梯的底部 在水平方向滑动到 的距离 不是 m．理由如下：
由（1）可知 m，
∴ ．
在 中，
∴ ，
∴ ．
（3）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的 ，
则能够到达墙面的最大高度为 ．∵ ，
∴ ，
因此，云梯的顶端能到达 高的墙头去救援被困人员．
4．如图，甲、乙两队同时从A点出发，相约去河对面的公园D游玩．甲队选择的线路为
，其中在BC段划船过河；乙队选择的线路为 ，其中在FE
段乘坐游船过河．已知四边形 为矩形，A，B，C三点在同一直线上， 长为600米，
， ， ．（参考数据： ， ，
， ， ）
(1)求D到 的距离；（结果精确到个位）
(2)甲、乙两队在陆地上都是步行，且步行速度均为 ．已知甲队划船的速度为
，乙队游船的速度为 ，若 长为1800米，请通过计算说明哪一队
先到达公园D．
【答案】(1)D到 的距离为
(2)甲队先到达公园D，理由见解析
【分析】（1）过点作 于点H，在 中求出 ， ，由
矩形的性质得 ，再在 中求解即可；
（2）根据时间=路程÷速度分别求出甲队和乙队用的时间比较即可．
【详解】（1）过点作 于点H
在 中， ，∵ ， ，
∴ ， ，
∵四边形 为矩形
∴
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴D到 的距离为346m．
（2）∵四边形BCEF为矩形， 长为1800米，
∴ 米，
据题意得：
甲队所用时间为
乙队所用时间为
∵
∴甲队先到达公园D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上
建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
5．下图是测温员使用测温枪的侧面示意图，其中枪柄 与手臂 始终在同一直线上，
枪身 与额头保持垂直．量得胳膊 ， ，肘关节M与枪身端点A之
间的水平宽度为 （即 的长度），枪身 ．
(1)求 的度数；
(2)测温时规定枪身端点，A与额头距离范围为 ，若测得 ，小红与测温员之间距离为 ．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理
由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据： ）
【答案】(1)
(2)端点A与额头距离在规定范围，理由见解析
【分析】（1）过点B作 ．可得四边形 是矩形，求出 ，再求出
的余弦值，结合参考数据可得答案；
（2）延长 交 于Q，求出 的度数，解 求出 ，进而求出端点A与
小红额头的距离，即可判断．
【详解】（1）解：如图，过点B作 ．
可得四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
即 ；
（2）解：端点A与额头距离在规定范围．理由如下：
如图，延长 交 于Q，， ，
∴ ，
中 ，
∴ ，
∴端点A与小红额头的距离为 ，
，
∴端点A与额头距离在规定范围．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，解题的关键是通过添加辅助线构造直角
三角形．
6．如图，一数学项目学习小组要测量某路灯Q﹣P﹣M的顶部到地面的距离 的长，他
们借助卷尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部M的仰角α α＝58°
测角仪到地面的距离AB AB＝1.6米
路灯顶部M正下方N至测量点B的水平距离BN BN＝2米
根据以上测量结果，计算路灯顶部到地面的距离 为多少米．（参考数据：
，结果精确到0.1米．）
【答案】【分析】过A作 于H，根据矩形的性质得到 m， m，
解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：过A作 于H，
则 m， m，
在Rt 中， ，
，
(m)，
答：路灯顶部到地面的距离 约为 .
【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角，解题的关键是构造直角三角形，利用
三角函数关系求值．
