文档内容
专题 10 课题学习 最短路径问题（2 个知识点 2 种题型）
【目录】
倍速学习四种方法
【方法一】 脉络梳理法
知识点1.最短路径问题（重点）
知识点2.“造桥选址”问题
【方法二】 实例探索法
题型1.解决最短路径的选址问题
题型2.求图形的最小周长问题
【方法三】 成果评定法
【学习目标】
1. 能运用“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”探索最
短路径问题。
2. 能运用“三角形两边之和大于第三边”说明关于最短路径的选址问题的道理。会运用图形的轴对称、
平移等变换转化图形，进而利用数学模型解决实际问题。
【知识导图】
【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法
知识点1.最短路径问题（重点）
1.垂直线段最短问题
动点所在的直线已知型
方法技巧：一动点与一定点连成的线段中，若动点在定直线上，则垂线段最短。
【例1】如图，在锐角三角形 中， ， ， 的平分线交 于点D，点M、N
分别是 和 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】D
【分析】如下图，先根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，再根据两点之间线段最短可得
的最小值为 ，然后根据垂线段最短可得当 时， 取得最小值，最后利用三角形的
面积公式即可得．
解：如图，在 上取一点E，使 ，连接 ，
是 的平分线，
，
在 和 中，，
，
，
，
由两点之间线段最短得：当点 共线时， 取最小值，最小值为 ，
又由垂线段最短得：当 时， 取得最小值，
，
，
解得 ，
即 的最小值为5，
故选D．
【点拨】本题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定定理与性质、两点之间线段最短、垂线段最短等
知识点，正确找出 取得最小值时 的位置是解题关键．
【变式】如图，在 中， ， 是 的两条中线， 是 上一个动点，则下列
线段的长度等于 最小值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】．B
【详解】试题分析：在 中， ，AD是 的中线，可得点B和点D关于直线AD对
称，连结CE，交AD于点P，此时 最小，为EC的长，故选B.
2.将军饮马问题方法技巧：定点关于定直线对称转化为两点之间线段最短求最值．
①两定一动
②一定两动
③两定两动
【例2】如图，在 中， ， ，面积是10； 的垂直平分线 分别交 ， 边于
E、D两点，若点F为 边的中点，点P为线段 上一动点，则 周长的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．10 D．14
【答案】A
【分析】连接 ，根据线段垂直平分线性质得 ， 周长
，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出 ， ，即可得出答案．
【详解】解：如图所示．连接 ，
∵ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ 周长 ．
连接 ，
∵ ，点F是 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ 周长的最小值是 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判
断 周长的最小值是解题的关键．
【变式】如图，点P是 内任意一点， ，点M和点N分别是射线 和射线 上的动点，
，则 周长的最小值是 ．
【答案】
【分析】分别作点P关于 的对称点C、D，连接 ，分别交 于点M、N，连接
，当点M、N在 上时， 的周长最小．
解：分别作点P关于 的对称点C、D，连接 ，分别交 于点M、N，连接．
∵点P关于 的对称点为C，关于 的对称点为D，
∴ ；
∵点P关于 的对称点为D，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ．
∴ 的周长的最小值 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查最短路径问题和等边三角形的判定． 作点P关于OA、OB的对称点C、D是解题的
关键所在．
知识点2.“造桥选址”问题
方法技巧：将分散的线段平移集中，再求最值．
A
M
N
【例3】如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥ l ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互
1 2 1 2
垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两点间直线距离最短，使EFP'P为平行四边形即可，即PP'垂直河岸且等于河宽，接连
QP'即可．
【详解】解：作PP'垂直于河岸l ，使PP'等于河宽，
2
连接QP'，与另一条河岸相交于F，作FE⊥l 于点E，
1
则EF∥PP'且EF=PP'，
∴四边形EFP'P为平行四边形，
∴P'F=PE，
根据“两点之间线段最短”，QP'最短，即PF+FQ最短．
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．
【变式】如图，平行河岸两侧各有一城镇P，Q，根据发展规划，要修建一条桥梁连接P，Q两镇，已知相
同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，根据平行线的判
定与性质，易证得此时PM+NQ最短.
【详解】解：如图，作PP'垂直于河岸L，使PP′等于河宽，连接QP′，与河岸L相交于N，作NM⊥L，则
MN∥PP′且MN＝PP′，于是四边形PMNP′为平行四边形，故PM＝NP′．根据“两点之间线段最短”，QP′最
短，即PM+NQ最短．观察选项，选项C符合题意．
故选C．
【点睛】本题主要考查最短路径问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
【方法二】实例探索法
题型1.解决最短路径的选址问题
1 .如图，直线a是一条输气管道，M，N是管道同侧的两个村庄，现计划在直线a上修建一个供气站O，向
M，N两村庄供应天然气．在下面四种方案中，铺设管道最短的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．
【详解】解：作点M关于直线a的对称点M'，连接M'N交直线a于O．
根据两点之间，线段最短，可知选项C修建的管道，则所需管道最短．
故选：C．
【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的
条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．
2 .如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥ l ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），
1 2 1 2
使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据两点间直线距离最短，使EFP'P为平行四边形即可，即PP'垂直河岸且等于河宽，接连
QP'即可．
【详解】解：作PP'垂直于河岸l ，使PP'等于河宽，
2连接QP'，与另一条河岸相交于F，作FE⊥l 于点E，
1
则EF∥PP'且EF=PP'，
∴四边形EFP'P为平行四边形，
∴P'F=PE，
根据“两点之间线段最短”，QP'最短，即PF+FQ最短．
∴C选项符合题意，
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称-最短路径问题，解题的关键是利用“两点之间线段最短”．
3.如图，河道l的同侧有M、N两地，现要铺设一条引水管道，从P地把河水引向M、N两地．下列四种方
案中，最节省材料的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他
各点的连线而言．
【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的是：
故选：D．【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之
间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
题型2.求图形的最小周长问题
4.如图，在 中， ， 的垂直平分线交 于 ，交 于 ．
（1）若 ，则 的度数是 ；
（2）连接 ，若 ， 的周长是 ．
①求 的长；
②在直线 上是否存在点 ，使 的值最小，若存在，标出点 的位置并直接写出 的最小
值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）50°（2）①6cm②8cm
【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关
系，可得答案；
（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据两点之
间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB＋PC与AC的关系．．
【详解】解：（1）若∠B＝70°，
∵
∴∠ABC=∠ACB=70°
∴∠A=180°-70°-70°=40°
∵ 的垂直平分线交 于 ，
∴MN⊥AB
∴∠NMA=90°-∠A= 50°，
故答案为：50°；
（2）如图：①∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC＋BC＝14cm，∴BC＝6cm．
②当点P与点M重合时，PB＋CP=AP+PC=AC的值最小，最小值是8cm．
故P点为所求， 的最小值是8cm．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出
PB＝PA．
5.如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接
CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
（1）见详解；（2）
【分析】（1）由等边三角形的性质可知 ,再利用等量代换可得 ，
最后利用SAS可证全等；
（2）由△ABD≌△ACE可知 ,AD=AE,当四边形ADCE的周长取最小值时,即AD取最小值时，此时
AD⊥BC，求出此时BD的值即可得出答案.
【详解】（1）∵△ABC是等边三角形
∵∠DAE=60°
即在 和 中，
（2）∵△ABD≌△ACE
∴ ,AD=AE,
∴四边形ADCE的周长为
∴当四边形ADCE的周长取最小值时,即AD取最小值时，此时AD⊥BC，
【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定及性质是解题
的关键.
6.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是 度；
（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
（1）30；（2）①BC=6cm；②△PBC周长的最小值为14cm．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠A，根据线段垂直平分线的性质可求∠MBA，然后用角的
和差即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的性质可得AM=BM，然后求出△MBC的周长=AC+BC，再代入数据进行
计算即可得解；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC=70°，
∴∠A=40°，
∵MN垂直平分AB，
∴AM=MB，
∴∠MBA=∠A=40°，
∠MBC=∠ABC-∠MBA=30°；
故答案为：30°．
（2）①由（1）可知，AM=BM，
∴△MBC的周长=BM+CM+BC=AM+CM+BC=AC+BC，
∵AB=8cm，△MBC的周长是14cm，
∴BC=14－8=6（cm）；
②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，
如图，∵MN垂直平分AB，
∴PB=PA
∴PB+PC=PA+PC，PA+PC≥AC，
∴P与M重合时，PA+PC=AC，此时PB+PC最小，
∴△PBC周长的最小值=AC+BC=8+6=14（cm）．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等的性质，熟
记并能熟练运用这些性质是解题的关键
【方法三】 成果评定法
一．选择题（共9小题）
1．（2022秋•德州期末）如图：等腰△ABC的底边BC长为6，面积是18，腰AC的垂直平分线EF分别交
AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为
（ ）
A．6 B．8 C．9 D．10
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形
的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点
C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，MA．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC ＝ BC•AD＝ ×6×AD＝18，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，
∴MC+DM＝MA+DM≥AD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝6+ ×6＝6+3＝9．
故选：C．【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
2．（2022秋•澄迈县期末）如图，在正方形网格中有 M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，
则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为
点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另
一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
3．（2022秋•平舆县期末）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若
AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是（ ）
A．13 B．14 C．15 D．13.5【分析】根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求
出AB长度即可得到结论．
【解答】解：∵直线m垂直平分BC，
∴B、C关于直线m对称，
设直线m交AB于D，
∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，
∴△APC周长的最小值是AB+AC＝6+7＝13．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置．
4．（2022秋•肇源县期末）如图，要在街道l设立一个牛奶站O，向居民区A，B提供牛奶，下列设计图形
中使OA+OB值最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】作点A关于l的对出现A′，则OA＝OA′，故此AO+BO＝OA′+OB，然后依据两点之间线段
最短的性质解答即可．
【解答】解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点O，则点O即为所求点．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握轴对称相关的知识是解题的关键．
5．（2023春•阜新期中）如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若AB＝5，AC＝4，BC＝6，则△APC周长的最小值是（ ）
A．9 B．10 C．10.5 D．11
【分析】根据垂直平分线的性质得BP＝PC，所以△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP≥AC+AB＝9．
【解答】解：∵直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，
∴BP＝PC
∴△APC周长＝AC+AP+PC＝AC+AP+BP
∵两点之间线段最短
∴AP+BP≥AB
∴△APC的周长＝AC+AP+BP≥AC+AB
∵AC＝4，AB＝5
∴△APC周长最小为AC+AB＝9
故选：A．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，以及两点之间线段最短．做本题的关键是能得出
AP+BP≥AB，做此类题的关键在于能根据题设中的已知条件，联系相关定理得出结论，再根据结论进
行推论．
6．（2022秋•江北区校级期末）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，
F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点 H一定在BC上，过H作
HF⊥AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，过A作AG⊥BC于G，
根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．
【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，∴点H一定在BC上，
过H作HF⊥AC于F，交CD于E，
则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值＝HF，
过A作AG⊥BC于G，
∵△ABC的面积为12，BC长为6，
∴AG＝4，
∵CD垂直平分AH，
∴AC＝CH，
∴S△ACH ＝ AC•HF＝ CH•AG，
∴HF＝AG＝4，
∴AE+EF的最小值是4，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质
证明AE+EF的最小值为三角形某一边上的高线．
7．（2023•肇东市校级二模）如图△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，CD＝4，CD为△ABC的中线，点E、
点F分别为线段CD、CA上的动点，连接AE、EF，则AE+EF的最小值为（ ）
A．4.8 B．2.4 C．6 D．5
【分析】连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，由等腰三角形的性质得CD⊥AB，则
点A与点B关于直线CD对称，所以AE＝BE，AI＝BI，由BE+EF≥BF，BF≥BG，可以证明当点E与
点I重合，且 BF与BG重合时，AE+EF＝BF＝BG，此时 AE+EF的值最小，由 ×5BG＝ ×6×4＝
S△ABC ，求得BG＝4.8，则AE+EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案．【解答】解：如图，连接BF交CD于点I，连接BE、AI，作BG⊥AC于点G，
∵CD为△ABC的中线，AB＝6，CD＝4，
∴AD＝BD＝ AB＝ ×6＝3，
∵AC＝BC＝5，
∴CD⊥AB，
∴点A与点B关于直线CD对称，
∴AE＝BE，AI＝BI，
∴AE+EF＝BE+EF，
∵BE+EF≥BF，BF≥BG，
∴当点E与点I重合时，AE+EF＝AI+IF＝BI+IF＝BF，
∴当BF与BG重合时，AE+EF＝BF＝BG，此时AE+EF的值最小，
∵ AC•BG＝ AB•CD＝S△ABC ，
∴ ×5BG＝ ×6×4，
∴BG＝4.8，
∴AE+EF的最小值为4.8，
故选：A．
【点评】此题重点考查等腰三角形的“三线合一”、轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、
根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
8．（2023春•海门市期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，
连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）A． B． C．a+ b D． a
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM
交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝ a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝ a+b，
故选：B．
【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题．
9．（2022秋•天山区校级期末）如图，已知∠AOB的大小为 ，P是∠AOB内部的一个定点，且OP＝5，
点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值α等于5，则 ＝（ ）
αA．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长
为PE+EF+FP＝CD，此时周长最小，根据CD＝5可求出 的度数．
【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OαB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于
F．此时，△PEF的周长最小．
连接OC，OD，PE，PF．
∵点P与点C关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠COA＝∠AOP，PE＝CE，OC＝OP，
同理，可得∠DOB＝∠BOP，PF＝DF，OD＝OP．
∴∠COA+∠DOB＝∠AOP+∠BOP＝∠AOB＝ ，OC＝OD＝OP＝5，
∴∠COD＝2 ． α
又∵△PEF的α周长＝PE+EF+FP＝CE+EF+FD＝CD＝5，
∴OC＝OD＝CD＝5，
∴△COD是等边三角形，
∴2 ＝60°，
∴ α＝30°．
故α选：A．
【点评】此题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最
小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．二．填空题（共6小题）
10．（2022秋•孝南区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，D为AB的中点，P为BC上
一动点，连接AP，DP，则AP+DP的最小值是 6 ．
【分析】作A关于BC的对称点A'，连接A′B，易求∠A＝60°，则PA＝A'P，且△AA'B为等边三角形，
AP+DP＝A'P+PD为A'与直线AB之间的连接线段，其最小值为A'到AB的距离＝BC＝6，所以最小值为
6．
【解答】解：作A关于BC的对称点A'，连接A′B，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵PA＝A'P，
∴△AA'B为等边三角形，
∴AP+DP＝A'P+PD为A'与直线AB之间的连接线段，
∴最小值为A'到AB的距离＝BC＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的
关键．
11．（2023春•渭南期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，EF垂直平分线段BC，P是直线EF上的
任意一点，则△ABP周长的最小值是 1 5 ．
【分析】如图，连接PC．求出PA+PB的最小值可得结论．【解答】解：如图，连接PC．
∵EF垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴PA+PB＝PA+PC≥AC＝9，
∴PA+PB的最小值为9，
∴△ABP的周长的最小值为6+9＝15，
故答案为：15．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段
的垂直平分线的性质．
12．（2023春•管城区期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线
EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点G为线段EF上一动点，则△CDG周长的
最小值为 1 1 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面
积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，
故AD的长为CG+GD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC ＝ BC•AD＝ ×4×AD＝18，解得AD＝9，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CG+GD的最小值，
∴△CDG的周长最短＝（CG+GD）+CD＝AD+ BC＝9+ ＝11．
故答案为：11．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
13．（2022秋•渭滨区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别
交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值
为 7 ．
【分析】由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点P，则当A、P、F三点共
线时，△PBF周长最小为AF+FB的长．
【解答】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，
∴A与B关于ED对称，
连接AF，交ED于点P，
∵AP＝PB，
∴△PBF周长＝PB+PF+FB＝AP+PF+FB≥AF+FB，
当A、P、F三点共线时，△PBF周长最小，∵F为BC边的中点，AB＝AC，
∴AF⊥BC，
∴S△ABC ＝ ×BC×AF＝10，
∵BC＝4，
∴AF＝5，
∴△PBF周长＝AF+FB＝5+2＝7，
∴△PBF周长的最小值为7，
故答案为7．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．
14．（2023春•遂平县期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，
DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 80 ° ．
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC
和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2
（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则
A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性
质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
15．（2023春•西峡县期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝34°，在边AB，BC上分别
找一点E，F使△DEF的周长最小，此时∠EDF＝ 112 ° ．
【分析】如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，交BC
于F′，则点E′，F′即为所求，结合四边形的内角和即可得出答案．
【解答】解：如图，作点D关于BA的对称点P，点D关于BC的对称点Q，连接PQ，交AB于E′，
交BC于F′，则点E′，F′即为所求．∵四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B＝ ，
∴∠ADC＝180°﹣ ， α
由轴对称知，∠ADαE′＝∠P，∠CDF′＝∠Q，
在△PDQ中，∠P+∠Q＝180°﹣∠ADC
＝180°﹣（180°﹣34）
＝34°
∴∠ADE′+∠CDF′＝∠P+∠Q＝34，
∴∠E′DF′＝∠ADC﹣（∠ADE′+∠CDF′）
＝180°﹣68°
＝112°
故答案为：112°．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及四边形的内角和定
理等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
三．解答题（共7小题）
16．（2022秋•吉林期末）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，BC＝
20，则△ADE的周长为 2 0 ．
（2）如图③，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，E、P分别是AB、AD上任意一点，若 AB＝6，
△ABC的面积为30，则BP+EP的最小值是 1 0 ．
【分析】教材呈现：根据“SAS”证明△PCA≌△PCB即可；
定理应用：（1）根据线段垂直平分线的性质定理证明AD＝BD，AE＝EC，那么△ADE的周长就转化为
BC的长；
（2）根据等腰三角形的三线合一性质，可知AD是BC的垂直平分线，所以想到过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，此时EP+BP＝CE，EP+CP的值最小．
【解答】教材呈现：证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA＝∠PCB＝90°，
∵AC＝BC，PC＝PC，
∴△PCA≌△PCB（SAS），
∴PA＝PB；
定理应用：解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD＝BD，AE＝EC，
∵△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+EC＝BC＝20，
故答案为：20．
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为点E，交AD于点P，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝ BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴BP＝PC，
∴BP+EP＝CP+EP＝CE，
此时BP+EP的值最小，
在Rt△ABD中，
∴△ABC的面积＝ AB•CE＝3CE＝30，
∴CE＝10，
则BP+EP的最小值为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了轴对称—最短路线问题，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，
根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．17．（2023•老河口市一模）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于
点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠MBC的度数是 3 0 度；
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
【分析】（1）依据△ABC是等腰三角形，即可得到∠ACB的度数以及∠A的度数，再根据MN是垂直
平分线，即可得到MA＝MB，∠MBA＝∠A＝40°，进而得出∠MBC的度数；
（2）①依据垂直平分线的性质，即可得到AM＝BM，进而得出△BCM的周长＝AC+BC，再根据AB＝
AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，即可得到BC的长；
②依据PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，
进而得出△PBC的周长最小值．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴MA＝MB，
∴∠MBA＝∠A＝40°，
∴∠MBC＝30°，
故答案为：30；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，
∴BC＝14﹣8＝6（cm）；
②当P与M重合时，△PBC的周长最小．理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，
∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．
【点评】本题主要考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑
线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
18．（2022秋•思明区期末）如图，在正方形网格中，直线 l与网格线重合，点A，C，A′，B′均在网格
点上．
（1）已知△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请在图上把△ABC和△A′B′C′补充完整：
（2）在以直线l为y轴的坐标系中，若点A的坐标为（a，b），则点A′的坐标为 （﹣ a ， b ） ；
（3）在直线l上画出点P，使得PA+PC最短．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征求解即可；
（3）连接A'C，与直线l交于点P，连接PA，此时PA+PC最短．
【解答】解：（1）如图，△ABC和△A′B′C′即为所求；
（2）由题意可得，点A′的坐标为（﹣a，b）．
故答案为：（﹣a，b）；
（3）如图，点P即为所求．【点评】本题考查轴对称﹣最短路线问题、作图﹣轴对称变换、坐标与图形性质，熟练掌握轴对称的性
质是解答本题的关键．
19．（2022秋•启东市期末）如图，B、C两点关于y轴对称，点A的坐标是（0，b），点C坐标为（﹣
a，﹣a﹣b）．
（1）直接写出点B的坐标为 （ a ，﹣ a ﹣ b ） ；
（2）用尺规作图，在x轴上作出点P，使得AP+PB的值最小；
（3）∠OAP＝ 4 5 度．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的特点即可得到结论；
（2）如图所示，作点A 关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于P，点P即为所求；（3）过B作BD⊥y轴于D，D（0，﹣a﹣b），则BD＝﹣a，OD＝﹣a﹣b，由（2）知A与A′关于x
轴对称，于是得到A′O＝AO＝b，推出A′D＝BD，在Rt△A′DB中，∠A′DB＝90°，A′P＝AP，
于是得到∠BA′D＝∠B＝45°，即可得到结论．
【解答】解：（1）点B的坐标为（a，﹣a﹣b）；
故答案为：（a，﹣a﹣b）．
（2）如图所示，点P即为所求；
（3）过B作BD⊥y轴于D，D（0，﹣a﹣b），
则BD＝﹣a，OD＝﹣a﹣b，
由（2）知A与A′关于x轴对称，
∴A′O＝AO＝b，
∴A′D＝BD，
在Rt△A′DB中，∠A′DB＝90°，A′P＝AP，
∴∠BA′D＝∠B＝45°，
∵A与A′关于x轴对称，
∴∠OAP＝∠DA′P＝45°．
故答案为：45．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短距离问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
20．（2022秋•磁县期末）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到
两个城镇A，B距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？
在图上标出它的位置．（保留作图痕迹）【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点
即为发射塔P的位置．
【解答】解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点，则P点为所求．
【点评】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的作图，是基本作图题，需熟练掌握．
21．（2022秋•安顺期末）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动
点，点P是AD上的一个动点．
（1）若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；
（2）若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．
【分析】（1）利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可解决问题．
（2）利用面积法即可解决问题．
（3）连接PC，把问题转化为两点之间线段最短．【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）∵CE⊥AB，
∴ •BC•AD＝ •AB•CE，
∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝ ．
（3）连接PC．
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC．
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为 ．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质，点到直线的距离垂线段最短等知识，解题的
关键是学会用转化的思想思考问题．
22．（2022秋•大荔县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为12，AB的垂直平分
线EF交AC于点F，若D为BC边的中点，M为线段EF上的一动点，求△BDM周长的最小值．【分析】连接AD、AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形
的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点
A，故AD的长为BM+MD的最小值，从而可得△BDM周长的最小值．
【解答】解：连接AD、AM，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴ ，
解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，AM＝BM，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最小值＝ ．
【点评】此题考查了轴对称﹣最短路线问题，同时涉及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，利
用数形结合的思想是解题关键．
