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海淀区2022—2023学年第一学期期末练习
高三数学
2023.01
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合
题目要求 的一项。
（1）已知集合 ， ，若
（A） （B） （C） （D）
（2）在复平面内，复数 对应的点在
（A）第一象限 （B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（3）已知函数 ，在下列区间中，包含 零点的区间是
（A） （B） （C） （D）
（4）已知 ，则
A. B. C. D.
（5）若圆 截直线 所得弦长为2，则
（A）－1 （B）0 （C） 1 （D）2
（6）已知 为等差数列， ， .若数列 满足 ，（
= 1， 2，…），记 的前 项和为 ，则
（A）－32 （B） －80 （C） －192 （D） －224
（7）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级6个班分为甲、乙两
组，每组3个 班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是（A） （B） （C） （D）
（8）设 ， 是两个不同的平面，直线 ，则“对 内的任意直线 ，都有
”是“ ”的
（A）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（9）已知函数 =cos2x在区间 上的最大值为 ，则
的最小值为
（A） （B） （C） （D）
（10）在实际生活中，常常要用到如图1所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如
图2，用一个 与圆柱底面所成角为450的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段
重新拼接就可以得到 “直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若
将圆柱被截开的一段（如图3） 的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，
则截口展开形成的图形恰好是某正弦 型函数的部分图象（如图4）.记该正弦型函数的
最小正周期为 ，截口椭圆的离心率为. 若圆柱的底面直径为2，则
（A）
（B）
（C）
（D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）抛物线 的焦点坐标为 .
（12）在 的展开式中， 的系数为 .（13）如图，在正三棱柱 中， 是棱 上一
点， ，则三棱锥 的体积为 .
（14）设 为原点，双曲线 的右焦点为 ，点 在 的右支上.
则 的渐近线方程是 ； 的取值范围是 .
（15）已知函数 ， .给出下列四个结论：
①当 时，函数 有最小值；
② ，使得函数 在区间 上单调递增;
③ ，使得函数 没有最小值；
④ ，使得方程 有两个根且两根之和小于2.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数 .用五点法画 在区间 上的图
象 时，取点列表如下：
（Ⅰ）直接写出 的解析式及其单调递增区间；
（Ⅱ）在△ 中， ， ， ，求△ 的面积.
（17）（本小题14分）
如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ∥ ，， ， 为棱 的中点.
（Ⅰ ）证明： ∥平面 ；
（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个
作为已知，求二面角 的余弦值.
条件①： ;
条件②： .
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题14分）
H地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考
虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1 （该预测价格与亩
产量互不影响）.
假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.
（Ⅰ）试估计H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为1500元的概率；
（Ⅱ）设H地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 元，求 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）H地区农科所研究发现，若每亩多投入125元的成本进行某项技术改良，则可使
每亩冬小麦 产量平均增加50 kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科
所推广该项技术改良？并说明理由.
（19）（本小题14分）
已知函数 .
（Ⅰ）判断0是否为 的极小值点，并说明理由；（Ⅱ）证明： .
（20）（本小题15分）
已知椭圆 ： 过点 和 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 作直线 交椭圆 于不同的两点 ， ，直线 交 轴于点 ，
直线 交 轴 于点 .若 ，求直线 的方程.
（21）（本小题15分）
对于一个有穷正整数数列 ，设其各项为 ，各项和为 ，集合
中元素的个数为 .
（Ⅰ）写出所有满足 ， 的数列 ;
（Ⅱ ）对所有满足 的数列 ，求 的最小值；
（Ⅲ）对所有满足 的数列 ，求 的最大值.
