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专题11.10 与三角形有关的角（分层练习）（基础练习）
一、单选题
1．如下图所示，能利用图中作法：过点A作 的平行线，证明三角形内角和是 的原理是（ ）
A．两直线平行，同旁内角互补 B．两直线平行，内错角相等
C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等
2．如图，在 中，点P是 的三条角平分线的交点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，直线 ，线段 和线段 垂直于点Q，若 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
4．如图， 平分 ， ，D为垂足， ， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，有A，B，C三个地点，且 ，从A地测得B地的方位角是北偏东 ，那么从C地测B地的方位角是（ ）
A．北偏西 B．南偏西 C．北偏东 D．南偏东
6．以下说法：①如果三角形三个内角的比是 ，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的
一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三
角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果 ，那么 是直角三角形；⑤
在 中，若 ，则此三角形是直角三角形．其中说法正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．如图， 是 的边 上的高．若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色
大课间．如图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，王聪把它抽象成如图的数学问题：已知 ，
， ，则 的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，铅笔放置在 的边 上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转 的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（ ）
A．三角形内角和等于
B．三角形任意两边之差小于第三边
C．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
D．三角形任意两边之和大于第三边
10．将一副直角三角尺按如图摆放在同一平面内，直角顶点E在斜边 上，且点F在 的延长线上，
已知 ， ，当 时， 的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图,将铅笔放置在三角形 ABC 的边 AB 上，笔尖方向为点 A 到点 B 的方向，把铅笔依次绕
点 A、点 C、点 B 按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B 的度数，观察笔尖方向的变化，该操作说明了
_________．
12．如图，有一块含30°的直角三角板，两个顶点放在一张长方形纸片的对边上．若 ，则 的
度数为______．13．如图，将 纸片沿 折叠，使点A落在点 处，且 平分 ， 平分 ，若
，则 ____．
14．我们定义：在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的3倍，这样的三角形我们称之
为“和谐三角形”．如：三个内角分別为 的三角形是“和谐三角形”．概念理解：如图，
，在射线 上找一点 ，过点 作 交 于点 ，以 为端点作射线，交线段
于点 （点 不与 重合），则 的度数为___________， ___________（选填“是”或“不
是”）“和谐三角形”．
15．如图，已知 ，点 是射线 上一动点，当 为直角三角形时，
_______________．
16．如图， 中， ，D为边 上一点，连接 ，把 沿直线 翻折，使点A
落在 边上的点E处，若 ， ______°．17．△ABC中，∠A是最小角，∠B是最大角，且2∠B＝5∠A，若∠B的最大值m°，最小值n°，则
m+n＝_____．
18．如图，在 中， 和 分别平分 和 ，若 ，则 的大小为______ ．
三、解答题
19．证明：直角三角形的两个锐角互余．（在下列方框内画出图形）
已知：
求证：
证明：
20．如图， ， ， ，点C，D，E在同一条直线上．
(1)请说明 与 平行．(2)若 ，求 的度数．
21．如图，在 中，D是 上一点，E是 上一点， 、 相交于点F， ，
， ．求 的度数．
22．如图， 是 的角平分线， 平分 ．
(1)如图1，若 ，求 的度数．
(2)如图2，在 的延长线上取一点 ，连接 ， ，求证： ．23．如图，课本上利用实验剪拼的方法，把 和 移动到 的右侧，且使这三个角的顶点重合，
再利用平行线的性质可以说明三角形内角和定理．
具体说理过程如下：
延长 ，过点C作 ．
___________（两直线平行，内错角相等），
（____________），
（平角定义），
（____________）．
(1)请你补充完善上述说理过程；
(2)请你参考实验1的解题思路，自行画图标注好顶点字母，写出实验2说明三角形内角和定理的过程．24．我们定义：在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的3倍，则这样的三角形称之为
“美好三角形”，如：三个内角分别为 ， ， 的三角形是“美好三角形”．
如图， ，点C在边 上，过点C作 交 于点E，以C为端点作射线 ，交
线段 于点F（点F不与O，E重合）
【概念理解】（1） 的度数为_________， _________（填“是”或“不是”）“美好三
角形”．
【应用拓展】（2）若 ，试说明： 是“美好三角形”．参考答案
1．B
【分析】根据题意得， ，则 ， ，根据平角的性质得
，即可得．
解：根据题意得， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解决本题的关键．
2．D
【分析】根据角平分线性质可得 ， ， ，根据三角形内
角和为 即可解题．
解： 点 是 三条边角平分线的交点，
， ， ，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握角平分线的性质和三角形的内角和定理．
3．B
【分析】由题意知， ， ， ，可得 ，根据
，计算求解即可．解：由题意知， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了垂线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间
的数量关系．
4．D
【分析】先根据垂直的定义得到 ，再根据直角三角形两锐角互余求出 ，则由角平
分线的定义可得 ．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
故选D．
【点拨】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，正确求出
是解题的关键．
5．D
【分析】如图，建立方位图，根据平行线的性质可得 ，再根据直角三角形的两个
锐角互余即可求出 ，即为从C地测B地的方位角.
解：如图，由题意可得 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即从C地测B地的方位角是南偏东 ；
故选：D.【点拨】本题考查了方位角、平行线的性质和直角三角形的性质，属于基础题目，正确理解题意、求
出 的度数是解题的关键.
6．D
【分析】根据三角形的内角和判断①④⑤，根据外角的定义判断②，根据直角三角形的三条高线交于
直角顶点，判断③．
解：①如果三角形三个内角的比是 ，则最大角的度数为： ，那么这个三角形是直
角三角形，说法正确，符合题意；
②如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，根据外角与它相邻的内角互补，得到这个内角是 ，
那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意；
③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；说法正
确，符合题意；
④如果 ，根据 ，得到 ，那么 是直角三角
形；说法正确，符合题意；
⑤在 中，若 ，根据 ，得到 ，则此三角形是
直角三角形．说法正确，符合题意；
综上：说法正确的个数有5个；
故选D．
【点拨】本题考查三角形分类，三角形的内角和，三角形的外角的定义，三角形的高线．熟练掌握相
关知识点，是解题的关键．
7．B
【分析】根据高的定义求出 的度数，所以 可求，利用三角形的外角即可求出 的度数．解：∵ 是 的边 上的高，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了高线的定义和三角形外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相
邻的两个内角的和，是解题的关键．
8．C
【分析】直接利用平行线的性质得出 ，进而利用三角形的外角得出答案；
解：如图所示：延长 交 于点F，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质应用，三角形外角的性质，准确利用三角形外角性质是解题的
关键．
9．A
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于 解答．
解：∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转 的度数，
∴旋转角度之和为 ，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为 ，
∴这种变化说明三角形内角和等于 ．
故选：A．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系是解题的关键．
10．B
【分析】根据三角形外角的性质可进行求解．
解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故选B．
【点拨】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
11．三角形内角和等于180°
【分析】根据旋转后反方向说明旋转度数等于180°解答．
解：笔尖方向发生了由点B到点A的方向，
∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数，
∴旋转角度之和为∠A＋∠B＋∠C，
∵笔尖方向变为点B到点A的方向，
∴旋转角度之和为180°，
∴这种变化说明三角形内角和等于180°．
故答案为：三角形内角和等于180°．
【点拨】本题考查了平角的性质，三角形的内角和定理，理解旋转度数之和与三角形的内角和的关系
是解题的关键．
12．29°
【分析】根据平行线的性质求出∠AGF，根据三角形内角和定理求出即可．
解：∵AB∥CD，∠1=31°，
∴∠AGF=∠1=31°，
∵∠E=90°，∠EFG=30°，
∴∠2=180°-∠E-∠EFG-∠AGF=180°-90°-30°-31°=29°，
故答案为：29°．【点拨】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出∠AGF的度数，
注意：两直线平行，内错角相等．
13． / 度
【分析】先根据角平分线的定义和三角形内角和定理求出 ，进而求出 ，
由折叠的性质可得 ，再根据平角的定义得到
，则 ．
解：∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为80°．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，灵活运用所学知识是解
题的关键．
14． 是
【分析】根据三角形内角和求出 ，由此得到 ．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；∴ ，
∴ 是“和谐三角形”
故答案为： ，是．
【点拨】此题考查了直角三角形两锐角互余的性质，垂直的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题
的关键．
15． 或
【分析】分当 时，当 时，两种情况讨论求解即可．
解：当 时，满足 为直角三角形；
当 时，∵ ，
∴ ；
综上所述， 的度数为 或
故答案为： 或
【点拨】题考查了直角三角形的两锐角互余，分类讨论是解题的关键．
16．25
【分析】根据翻折得出 ， ， ，求出 ，
设 ，则 ，得出 ，根据
，列出方程，解方程即可．
解：根据翻折可知， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
即 ．
故答案为：25．
【点拨】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握
折叠的性质．
17．175．
【分析】由2∠B＝5∠A，得∠B＝ ∠A，根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣∠A；根据题意有∠A≤∠C≤∠B，则∠A≤180°﹣ ∠A，和180°﹣ ∠A≤ ∠A，解两个不等式得30°≤∠A≤40°，
而∠A＝ ∠B，得到∠B的范围，从而确定m，n．
解：∵2∠B＝5∠A，即∠B＝ ∠A，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣ ∠A，
又∵∠A≤∠C≤∠B，
∴∠A≤180°﹣ ∠A，
解得∠A≤40°；
又∵180°﹣ ∠A≤ ∠A，
解得∠A≥30°，
∴30°≤∠A≤40°，
即30°≤ ∠B≤40°，
∴75°≤∠B≤100°
∴m+n＝175．
故答案为：175．
【点拨】本题考查三角形的内角和定理即三角形的内角和为180°．同时考查了不等式的知识．
18． /110度
【分析】由三角形的内角和定理可求得 ，再由角平分线的定义可求得
，从而可求 ．
解： ，
，
和 分别平分 和 ，
， ，
，
．故答案为： ．
【点拨】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形角平分线的定义，解答的关键是明确三角形的内
角和为 ．
19．见分析
【分析】画出图形，利用三角形的内角和定理可求解．
解：如图，
已知：在 中， ．
求证： 与 互余．
证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ 与 互余．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．
20．(1)见分析；(2)
【分析】（1）先证明 得到 ，再等量代换得到 ，由此即可证明
；
（2）先根据平行线的性质求出 ，再由三角形内角和定理求出 的度数即可．
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知平行线的性质与判定条件是
解题的关键．
21．
【分析】先由三角形外角的性质求得 ，再由三角形内角和定理求解即可．
解：∵ ， ，
∴
在 中，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形外角的性质和内角和定理，正确识图是解题的关键．
22．(1) ；(2)证明见分析
【分析】（1）根据三角形内角和定理得出 ，然后由角平分线计算即可；
（2）方法同（1），利用角平分线及三角形内角和定理求解即可．
（1）解： ，
∵ 平分 ， 平分
∴ ，
∴
（2）证明：
∵ 平分 ， 平分
∴ ，
∴
∵ ，
∴∴ ，
∴ ．
【点拨】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的计算，结合图形，找准各角之间的关系是解题
关键．
23．(1) ；两直线平行，同位角相等；等量代换；(2)见分析
【分析】（1）延长 ，过点C作 ，根据平行线的性质得出 ， ，根据
即可证明结论；
（2）过点A作直线 ，根据平行线的性质得出 ， ，再根据
即可证明结论．
（1）解：延长 ，过点C作 ，
（两直线平行，内错角相等），
（两直线平行，同位角相等），
（平角定义），
；
故答案为： ；两直线平行，同位角相等；等量代换．
（2）解：如图所示，过点A作直线 ，
， ，
（平角定义），
．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理的证明，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练
掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
24．（1） ，不是；（2）见分析【分析】（1）先由垂直的定义得到 ，再由三角形内角和定理求出 ，最后根据
“美好三角形”的定义求解即可．
（2）先根据平角的定义得到 ，再根据三角形外角的性质得到 ，最后根据
“美好三角形”的定义求解即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 这三个角中没有任何一个角的度数是另外一个角度数的3倍，
∴ 不是“美好三角形”；
（2）∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是“美好三角形”．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，垂直的定义，正确理解题意是解题
的关键．
