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专题 11.1 三角形的三边关系、高线、中线及角平分线
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 三角形的分类】........................................................................................................................................1
【考点二 构成三角形的条件】................................................................................................................................3
【考点三 确定第三边的取值范围】........................................................................................................................4
【考点四 画三角形的高】........................................................................................................................................6
【考点五 与三角形的高有关的计算问题】............................................................................................................8
【考点六 根据三角形中线求长度】......................................................................................................................10
【考点七 根据三角形的中线求面积】..................................................................................................................12
【考点八 三角形角平分线的定义】......................................................................................................................15
【考点九 利用网格求三角形面积】......................................................................................................................17
【考点十 三角形的稳定性】..................................................................................................................................20
【过关检测】............................................................................................................................................................22
【典型例题】
【考点一 三角形的分类】
例题：（23-24七年级下·河北邢台·期末）图表示三角形分类，则Q表示的是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【变式训练】
1．（2024七年级下·全国·专题练习）有下列两种图示均表示三角形分类，则正确的是（ ）A．①对，②不对 B．②对，①不对 C．①、②都不对 D．①、②都对
2．（22-23八年级上·全国·单元测试）三角形按边长关系，可分为（ ）
A．等腰三角形，等边三角形 B．直角三角形，不等边三角形 C．等腰三角形，不等边三
角形 D．直角三角形，等腰三角形
3．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）若如图表示三角形分类，则下列说法正确的是（ ）
A． 表示等边三角形 B． 表示锐角三角形
C． 表示等腰三角形 D． 表示三边都不相等的三角形
【考点二 构成三角形的条件】
例题：（22-23七年级下·吉林长春·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）
A． 、 、 B． 、 、
C． 、 、 D． 、 、
【变式训练】
1．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（
）
A．15，12，20 B．4，7，11 C．6，7，15 D．5，5，10
2．（23-24七年级下·江苏扬州·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．2、2、3 B．2、2、5 C．5、5、11 D．1、2、3
3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（
）A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12
【考点三 确定第三边的取值范围】
例题：（23-24七年级下·江苏徐州·期末）一个三角形的两边长分别是2和5，若第三边的长为奇数，则第
三边的长是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）三角形三边长分别为2，a，4．则a的取值范围是 ．
2．（23-24七年级下·四川成都·期末）如果 的两边长a、b满足条件 ，那么这个三
角形的第三边长c的取值范围为 ．
3．（23-24七年级下·河南平顶山·阶段练习）一个三角形的两边长分别为5和7，若第三边x为最长边且为
偶数，则此三角形的周长为 ．
【考点四 画三角形的高】
例题：（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）下列各图中，正确画出 边上的高的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第一一三中学校校考期中）下面四个图形中，线段 是
的高的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， ， ， ，点 ， ， 是垂足，下列
说法错误的是（ ）A． 中， 是 边上的高 B． 中， 是 边上的高
C． 中， 是 边上的高 D． 中， 是 边上的高
【考点五 与三角形的高有关的计算问题】
例题：（2023春·广东惠州·七年级校联考期中）如图，在直角三角形 中， ， ，
， ，则点 到 的距离是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【变式训练】
1．（2023春·广东惠州·八年级校考期中）如图， ， 分别是 的高， ， ， ，
求 的长．
2．（2023春·广东佛山·七年级校考阶段练习）三角形如图， 的边 上的高为 ，中线为
边上的高为 ，已知 ， ， ．(1)求 的面积；
(2)求 的长；
(3) 和 的面积有何关系？
【考点六 根据三角形中线求长度】
例题：（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）如图， 是 的中线， ， ．若
的周长为16，则 周长为__________．
【变式训练】
1．（2023春·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图， 的周长为 ， ， 是
边 上的中线， 的周长比 的周长大2，则 的长为______．
2．（2023春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，在 中， 为边 上的高，点 为边 上的一
点，连接 ．
(1)当 为边 上的中线时，若 ， 的面积为24，求 的长；
(2)当 为 的角平分线时，若 ， ，求 的度数．【考点七 根据三角形的中线求面积】
例题：（2023春·广东茂名·七年级校考阶段练习）如图， 的面积为20，点 ， ， 分别为
的中点，则阴影部分 的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
【变式训练】
1．（2023春·山西太原·七年级山西大附中校考期中）如图， 是 的中线，则下列结论中，正
确的个数有（ ）
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2023春·江苏扬州·七年级校联考阶段练习）如图， 是 的中线，点E、F分别为 的中
点，若 的面积为 ，则 的面积是________ ．【考点八 三角形角平分线的定义】
例题：（2023·云南楚雄·统考一模）如图， ， 平分 ，若 ，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023春·全国·七年级专题练习）如图， 是 的角平分线， ，交AC于点F，已知
，求 的度数．
2．（2023春·上海·七年级阶段练习）已知：如图，BE平分∠ABC，∠1＝∠2．求证：BC//DE．【考点九 利用网格求三角形面积】
例题：（2023春·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，方格纸中小正方形的边长为1， 的三个顶点
都在小正方形的格点上，求 的面积．
【变式训练】
1．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考期中）下图为 的网格，每一小格均为
正方形，已知 ．
(1)画出 中 边上的中线 ；
(2)画出 中 边上的高 ．
(3)直接写出 的面积为_________．
2．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）如图所示方格纸中，每个小正方形的
边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．
(1)画出 中边 上的高 ；(2)画出 中边 上的中线 ；
(3)直接写出 的面积为______．
【考点十 三角形的稳定性】
例题：（23-24七年级下·河南周口·期末）如图所示的斜拉桥是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥
梁，这样做的依据是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）三角形在日常生活和生产中有很多应用，如家用梯子的设计中都有
三角形结构，这样做的依据是三角形具有 ．
2．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，
这是利用了 ．
3．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用
的数学道理是 .【过关检测】
一、单选题
1．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）下列每组数分别是三个木棒的长度（单位： ），能用它们摆
成三角形的是（ ）
A．3 ，4 ，7 B．1 ，5 ，8 C．2 ，2 ，4 D．9 ，9 ， 1
2．（23-24七年级下·贵州毕节·期末）如图，2024年4月27日龙里河大桥正式通车运营，该桥是世界首座
车行道与玻璃步道共桥面的高山峡谷景观桥，大桥为双塔双索面叠合梁半漂浮体系斜拉桥，如图所示的斜
拉桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A．两点确定一条直线 B．垂线段最短
C．三角形的稳定性 D．三角形任意两边之和大于第三边
3．（24-25八年级上·全国·课前预习）下列各图中，正确画出 边上的高线的是（ ）
A． B．C． D．
4．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在 中，关于高的说法正确的是（ ）
A．线段 是 边上的高 B．线段 是 边上的高
C．线段 是 边上的高 D．线段 是 边上的高
5．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，在 中， 是 边上的中线，E是 的中点，连接
，若 的面积为6，则 的面积为（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
二、填空题
6．（22-23七年级上·四川泸州·开学考试）一个三角形的三个角的比是 ，最大的角是 度．这是
一个 三角形．
7．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ．
8．（23-24八年级上·吉林长春·开学考试）如图，在 中，点D在 边上， ．
若 ，则 ．9．（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）在数轴上点A、B、C、D对应的数字分别是 ，若线段
能围成三角形，则x的范围是 ．
10．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在 中， ， 是高， 是中线，
是角平分线， 交 于点G，交 于点H，给出以下结论：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中结论正确的有 ．（只填序号）
三、解答题
11．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知： 、 、 为 的三边长，且 、 满足
．
(1)求 的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若 ，求 的取值范围．
12．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a、b、c是一个三角形的三边长．
(1)若 ， ，则c的取值范围是_______．
(2)试化简： ．
13．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图， 是 的中线， 是 的中线．(1)在 中作 边上的高 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 的长．
14．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③分别是 的网格，每个小正方形的边长均为1，每个
小正方形的顶点称为格点，点 、 、 均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要
求作图，所画点均在格点上．
(1)在图①中，在 右侧找到格点 ，使 ；
(2)在图②中，画出 ，使 ；
(3)在图③中，画射线 ，使 平分四边形 的面积．
15．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）如图所示，已知 分别是 的高和中线，
， ．
试求：
(1) 的长；
(2) 的面积；(3) 和 的周长的差．
16．（23-24八年级上·河南信阳·开学考试）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图1，在 和 中， ， 分别是 和 边上的高线，且 ，则
和 是等高三角形．
【性质探究】
如图1，用 ， 分别表示 和 的面积．
则 ， ．
∵ ，∴ ．
【性质应用】
(1)如图2，D是 的边 上的一点．若 ， ，则 ______．
(2)如图3，在 中，D，E分别是 和 边上的点．若 ， ， ，则
______， ______．
(3)如图3，在 中，D，E分别是 和 边上的点，若 ， ， ，则 ______．
