文档内容
专题 11.1 三角形的边（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点一】三角形的相关概念
（1）三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三
角形.
（2）三角形的基本元素：
基本 三个顶点 三条边 三个内角
元素
表示 点A、B、C必须用大写 方法1：线段AB、BC、 A， B， C.
方法 字母表示 AC.
方法2：顶点所对的边用
a,b,c表示.
图示
三条边AB、BC、AC(或a、b、c)，三内角 A B C 顶点：点A、B、C
（3）三角形的表示方法：顶点A、B、C的三角形，记作 ABC，读作“三角形ABC”
特别指出：符号“ ”代表三角形，其后表示三角形的字母必须用大写字母表示.
【例1】三角形是指( )
A．由三条线段所组成的封闭图形
B．由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接组成的图形
C．由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形
D．由三条线段首尾顺次相接组成的图形
【知识点二】三角形的分类
（1）等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底，
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角
（2）等边三角形三边都相等的三角形叫做等边三角形，即底边和腰相等的等腰三角形是等边三角
形.
【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）若一个三角形三边的长度比为 ，周长为 cm，
则这个三角形三边的长分别为 ，按边分，这个三角形是 三角形．
【知识点三】三角形三边关系
图示 文字语言 符号语言 理论依据
三角形两边之 a+b>c; b+c>a; a+c>b 两 点 之
和大于第在边 间，线段
最短。
三角形两边之 a-b≮c; b-c≮a; a-c≮b
差小于第三边
【例3】（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，在四边形 中， ， ， ，
，则 的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【知识点四】三角形的稳定性
三角形的三条边确定后，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定
性.特别指出：稳定性是三角形所持有的特征，在生产生活中有着广泛的应用，四边形
不具有稳定性.
【例4】（23-24八年级上·重庆渝中·期末）普通家用人字梯一般都会在两旁分别设计一根“拉
杆”，这样设计是利用（ ）A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．四边形具有不稳定性
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】构成三角形的条件
【例1】（22-23八年级上·新疆吐鲁番·阶段练习）若a，b，c为 的三边长，且a，b满足
．
（1）求c的取值范围；
（2）若第三边长c是整数，求c的值．
【举一反三】
【变式1】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知三条线段的长分别是6，m，8，若它们能构成三角形，
则整数m的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
【变式2】（22-23八年级上·江西赣州·期中）给出三条线段： 、 、 ；
三边之比为 ； 、 、 ； 、 、 ．其中能组成三角形的有
（填序号）．
【题型2】求等腰三角形边长或周长（分类讨论思想）
【例2】（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）在等腰 中，三边长分别是a，b，c，并且满
足 ，求 的周长．【举一反三】
【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，则x可
能的值是（ ）
A．9 B．3 C．5 D．4
【变式2】一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ．
【题型3】利用三角形三边关系化简
【例3】（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）已知 ， ， 是 三边的长．
（1）若 ， ， 满足 ，试判断 的形状；
（2）化简 ．
【举一反三】
【变式1】（22-23八年级上·湖北襄阳·期末）已知三角形的三边长分别为 ，则化简
的结果为（ ）
A． B． C．4 D．
【变式2】（23-24七年级下·四川眉山·期中）若 ， ， 是 的三边，试化简：
．
【题型4】利用三角形三边关系进行证明
【例4】（22-23八年级上·山西忻州·阶段练习）如图，点D是 的边 上任意一点，求证：
．
【举一反三】【变式1】（2023八年级·全国·专题练习）如图，已知点 是 内一点， 连接 并延长交
于点 ，求证： ．
【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知O为 内的任一点，求证：
．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中
能搭成一个三角形的是（ ）
A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12
【例2】（2021·黑龙江大庆·中考真题）三个数3， 在数轴上从左到右依次排列，且以这
三个数为边长能构成三角形，则 的取值范围为
2、拓展延伸
【例1】（21-22七年级下·江苏苏州·期末）阅读下列材料：
解方程组：解：由①得
x﹣y＝1 ③，
将③代入②，得
4×1﹣y＝5，
解这个一元一次方程，得
y＝﹣1
从而求得 ．
这种思想被称为“整体思想”．请用“整体思想”解决下面问题：
（1）解方程组： ；
（2）在（1）的条件下，若x，y是△ABC两条边的长，且第三边的长是奇数，求△ABC的周长．
【例2】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）定义：三角形各边均为整数的三角形称为整边三角形，
已知是整边三角形，三角形的三边长分别为a，b，c，且，当时，则符合条件的有 个．
